第二十二章 二次函数 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

本章小结 0。。++。+++。4为。。。4。+。。000+4+0.0。。 大单元思维导图 图象和性质 升口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 二次函数的 一段式：y=2+bx+e(a≠0) 图象和性质 表达形式 顶点式：y=ax-h+k(a≠0】 交点式：y=a(x-)(x-2)(a≠0) 二者关系 抛物线与x轴的公共点情况→一元二次方程根的情况 次函数 二次函数与 元二次方程 利用图象解方程 见何图形面积问题 实际问题与二 建立二次函数模型，利用二次函数的性质解决 次函数 最大利润问题 实际问题中的最值等问题 建立造当坐标系解决实际问题 大单元考点训练 考点1二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的 -2 0 3 图象和性质 -24-8 -3 -15… 1.(2024一2025龙南期中)抛物线y=一x2+ 则下列结论正确的是 2x十4的顶点坐标是 ( A图象开口向上 A.(-1,5) B.(1,5) B.当x>0时，y随x的增大而诚小 C.(1,-5) D.(-1,5) C.图象经过第二、三、四象限 2.二次函数y=3.x2十2x十c的图象与y轴的 D.图象的对称轴是直线x=1 交点坐标是(0,2c一1)，则c的值为( 5.抛物线y=ax2十bx十c上部分点的横坐标 A.1 B.2 x、纵坐标y的对应值如下表： c D.-1 -2 -1 0 y 0 4 6 6 3.已知二次函数的图象如图所 示，则该二次函数的解析式 下列结论不正确的是 是 A抛物线的开口向下 A.y=-3(x-1)2+3 B抛物线的对称轴为直线工-司 B.y=3(x-1)2+3 第3题图 C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0) C.y=-3(x+1)2+3 D.二次函数y-ar2+b证十e的最大值为羽 D.y=3(x+1)2+3 4.(2024陕西)已知一个二次函数y=ax2+bx 6已知二次函数y=ar-2x+(a为常数， 十c的自变量x与函数值y的几组对应值如 且a>0),有下列结论：①函数图象一定经过 下表： 第一、二、四象限：②函数图象一定不经过第 数学九年级RJ板 三象限；③当x<0时，y随x的增大而减 考点2二次函数图象的平移 小：④当x>0时，y随x的增大而增大.其 11.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2 中正确的是 () (m一1)x十m(m>1)沿y轴向下平移3个 A.①②B.②③C.② D.③④ 单位长度后得到的抛物线的顶点一定在 7.写出一个二次函数，其图象满足：①开口向 () 下；②与y轴交于点(0，一3).这个二次函数 的解析式可以是 A.第一象限 B.第二象限 8.(2024一2025新余分宜期中)已知抛物线y C.第三象限 D.第四象限 =ax2+bx+c(a<0)过A(-2,0),O(0,0), 12.在平面直角坐标系中，已知抛物线G:y=ax B(-3,),C(3,2)四点，则y1 2(填“>”“<”或“=”). 的开口方向及大小与能物线y=一十8 9.当-1≤x≤3时，二次函数y=x2-4x十5 相同，则a= :现将平面直角 有最大值m,则m的值为 10.(2024德阳)如下图，抛物线y=x2一x+c 坐标系先向右平移2个单位长度，再向上 与x轴交于点A(一1,0)和点B,与y轴交 平移3个单位长度，抛物线G不随之移动， 于点C 则在新平面直角坐标系内，抛物线G的解 (1)求抛物线的解析式. 析式为 (2)当0<x2时，求y=x2一x十c的函数 值的取值范围。 考点3二次函数图象与字母系数 13.在如图所示的二次函数y=ax2+bx十c的 图象中，某同学观察得出下面四个结论： ①c>1:②b-4ac>0;③2a-b<0;④a+b 十c<0.其中正确的有 () A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 第13题图 第14题图 14.二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如 图所示，则下列结论错误的是 ) A.abe0 B.函数的最大值为a一b十c C.当-3≤x≤1时，y≥0 D.4a-2b+c<0 上册第二十二南 考点4二次函数与一元二次方程 角坐标系，水火箭从发射点O发射后落在 15.二次函数y=ax2十bx十c的部分图象如图 水平地面A处.科普员提供了该型号水火 所示，则下列结论错误的是 ( 箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过 A.若（一2，y1),(5,y2)是图 程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y 象上的两点，则y>y (单位：m)与离发射点O的水平距离x(单 B.3a十c=0 位：m)的几组数据如下表： C.方程ax2十bx十c=-2有 水平距离x/m0341015202227 两个不相等的实数根 第15题图 竖直高度/m03.244.18987.043.24 D.当x≥0时，y随x的增大 (1)根据上表，请求出抛物线的解析式。 而减小 (2)当水火箭飞行至离发射点O的水平距 16.(2024武汉)抛物线y=ax2+bx十c(a,b,c 离为5m时，请计算水火箭距离地面OA的 是常数，a<0)经过（一1,1），(m,1)两点，且 竖直高度 0<m<1.有下列四个结论： ①b>0: ②若0<x1,则a(x-1)2十b(x-1)十c A v/m ① 图② >1: ③若a=一1，则关于x的一元二次方程 ax2十bx十c=2无实数根： ④点A(x1,为)，B(x,y)在抛物线上，若 ,工1>工，总有y<2,则0< 1 x1十x8>- 其中正确的是 (填序号) 考点5二次函数的应用 17.(教材变式)如图，有 一抛物线形拱桥，当 水面 拱顶离水面2m时， 水面宽4m,当水面宽 第17题图 增加(26一4)m时，水面下降的高度是 18.模型观念(2024兰州)在校园科技节期间， 科普员为同学们进行了水火箭的发射表 演，如图①所示的是某型号水火箭的实物 图，水火箭发射后的运动路线可以看作是 一条抛物线，为了解水火箭的相关性能，同 学们进一步展开研究.如图②，建立平面直 数学九年级RJ版得1=一号×7十骨X7+2,解得=号 ≤<号， .符合条件的的整数值为4和5。 本章小结 1.B2.A3.A4.D5.C6.B 7.y=一x2-3(答案不唯一)8.>9.10 10.解：(1)，抛物线y=x2一x十c与x抽交于点A(一1,0)， ,1+1十c=0,解得c=一2， .抛物线的解析式为y=x2一x一2， (2):地物线y=x一工一2的对称轴为直线x■一2× -1 z,且0<x≤2,1>0， “当x=名时，函数有最小值，最小值为一号 当x=0时，y=一2： 当x=2时，y=4一2-2=0， .当0<x≤2时，y■x一x十c的函数值的取值范围为 、9 ≤y≤0. 1.D12.-y=-2+2-3 13.B14.D15.D16.②③④17.1m 18.解：(1)由题意，得(10,8)，(20,8)是关于对称轴对称的点， .对称轴是直线x=15,.顶点坐标是15,9). 设抛物线的解析式为y=a(x一15)产十9. :抛物线过点(0,0)，∴.0=225a十9，解得a=一亦 指物线的解折式为y=一女一15)户十8 1 2)由题意，得将x=5代人y=一云红一15》十9，得y 六6-152+9=5. 故当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火 箭距离地面OA的竖直高度为5m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1课时旋转及其特征 1.D2.B3.B4.D5.A6.(-4,8) 7.解：△ABC为等边三角形， ,∠BAC=80,AB=AC :将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置， ,,AD=AE,CE=BD=14,∠DAE=∠BAC=60°， △ADE为等边三角形，，DE=AD=10, ,.△DEC的周长=DE+DC+CE=10+15+14=39. 8.(2,10)9.A10.211.23 12.解：(1)证明：，将线段CD绕点C须时针旋转90至CE, ∴.CD=CE,∠DCE=90° ∠ACB=90", ',∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD, 即∠ACD=,∠BCE (AC-BC. 在△ACD与△BCE中，∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴，△ACD2△BCE(SAS). (2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3/2, ∠ABC=∠A=45,AB=6. 由I)可知，△ACDa△BCE,且0=3， ∠A=∠CBE=45,AD-BE=2, 176 数学九年级RJ版 ,∠DBE=∠ABC十∠CBE=90”,BD=AB-AD=4. 在Rt△BDE中，∠DBE=90°， .DE=BE十BD,∴.DE=√2+4=2W5 13.解：(1)BE=DC 理由：，'△ABD和△AEC都是等腰直角三角形，∠BAD ∠CAE=90°， ,AB=AD,AE=AC,∠BAD+∠BAC=∠CAE十 ∠BAC,即，∠DAC=∠BAE, ,将△ADC绕点A逆时针旋转90”，能与△ABE完全重 合，.BE=DC (2)∠AOD=∠AOE 理由：如图，过点A分别作AM⊥DC于点 M,AN⊥BE于点N 由(1)，得△ADC2△ABE S△c-S△A8E 2DC·AM=2BE·AN 又，DC=BE,.AM=AN. ,AM⊥DC,AN⊥BE,.∠AOD=∠AOE. 第2课时旋转作图 1.C2.B 3.解：(1)如图①，线段BE即为所求， (2)如图②，点P即为所求. 恩① 4.C5.A6.(-3,1D 7.解：点B的坐标为（一2,3）或(2，一3) 23.2中心对称 23.2.1中心对称 1.C2.03.C4.2135.(3,-1)6.D7.4.5 8.①关于点A成中心对称②号 23.2.2中心对称图形 1.C2.D3.A 4.解：(1)中心对称 (2)(答案不唯一)如图①、图②所示 图① 图② 5.B6.(0,1)7.10 23.2.3关于原点对称的点的坐标 1.B2.D3.A4.55.D6.(-1,2),(-3,-2)7.10 8.2 9.解：()如图所示，△ABC即为所求，A(一1，一1)，B1(-4, -2),C(-3,-4). (2)如图所示，△PAB即为所求，P(2,0),