第一章 特殊平行四边形 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）结

AB-DA, ∠ABN=∠DAM, BN=AM, ,∴.△ABN2△DAM(SAS). (2)由(1)，得△ABN≌△DAM, .∠BAN-=∠ADM, ∴.∠BAN+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°， .∠APM=180°-（∠BAN+∠AMP)=90° 7.30或150°8.D9.2.5 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠DAE=∠BCF=45°.AD=CB. (AD=CB, 在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF, AE=CF, .△ADE2△CBF(SAS). (2),AB=AD=4W2, .BD=AB+AD=V√(42)2+(42)-8. 四边形ABCD是正方形， ∴.AC=BD=8,BD⊥EF ..OD=OB=OA=OC=4. 又，AE=CF=2, ..0A-AE=OC-CF,OE=OF=4-2=2, ,四边形BEDF为平行四边形 BD⊥EF,∴□BEDF为菱形 DE=√OD+OE=√4+2=25， .四边形BEDF的周长为4DE=8V5, 11.解：(1)30 (2)①证明：由折叠的性质，得AB=BM,∠A ∠BMP. :四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠C=90, .BM=BC,∠C=∠BMP=∠BMQ=90° 在Rt△MBQ和Rt△CBQ中， (BQ-BQ. BM=BC, .Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL). 第2课时正方形的判定 1.B2.453.是 4.证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-2,0) B(0,-2),C(2,0),D(0,2), 得OA=OB=OC=OD=2, ∴四边形ABCD为矩形， 又：AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是正方形 5.2 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=D( ∠A=∠D=90°. M为AD的中点，∴.AM=DM 在△ABM和△DCM中， AM=DM, ∠A=∠D, AB=DC, ∴.△ABMe△DCM(SAS). ®号 7.D8.A9.D10.√② 11,解：四边形PQEF是正方形，理由如下： 由题意，得AP=BQ=CE=DF 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D =90°， ∴.AF=BP=CQ=DE, ,.△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF, ..FP-PQ=QE-EF, .四边形PQEF是菱形。 :△AFP≌△BPQ, ∠APF=∠BQP, ,∠BPQ+∠APF=∠BPQ+∠BQP=9O°， .∠FPQ=90°， ,四边形PQEF是正方形 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠B=∠ADH=90 又：BK=DH, ,△ABKe2△ADH(SAS),,.AK=AH (2)证明：：四边形ABCD和四边形CEFG均是正 方形， ,∴.AB=BC,∠B=∠E=90,CE=EF "BK=CE,,∴.BK=EF,BK+KC=KC+CE,即BC =KE, .AB=KE,,.△ABK≌△KEF(SAS), ∠BAK=∠EKF :∠BAK+∠BKA=90°， ,∠BKA+∠EKF=90,.∠AKF=90 同理可得△ABK2△KEF≌△HGF2△ADH, ∴.AK=KF=HF=AH,.四边形AKF日是菱形， ,菱形AKFH是正方形。 (3)5 本章小结 1.C2.B3.A4.26 5.证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， .AD垂直平分BC,.EB=EC,FB=FC :CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD :DB=DC,.△EBD2△FCD(AAS), ..EB=FC,..EB=BF=FC=EC, ,四边形BECF是菱形 6.B7.C8.30 9.解：（答案不唯一）(1D① (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD 173 上册参考答案 (AB=DC, 在△ABM和△DCM中，∠1=∠2， BM-CM, ,∴.△ABM≌△DCM(SAS). ∠A=∠D. 又.AB∥CD ∴.∠A+∠D=180°，.∠A=∠D=90°， ∴.□ABCD为矩形 10.证明：(1)在△AOB和△DOC中， ∠ABO=∠DCO, OB-OC, ∠AOB=∠DOC, ,∴.△AOB2△DOC(ASA),.OA=OD :E,F分别为AO,DO的中点， 0E=名A0,0F=D0.0E=0E (2)在Rt△AB0中，∠A=30°， B0-7A0,∠B0A=60 ,BO=EO,,,△BOE为等边三角形， .∠OBE=60°，同理△COF为等边三角形，∠B0 =60° 又OE=OF,∴.BO=OF=BE=CF :∠OBE=∠BCF, .BE∥CF,四边形BECF是平行四边形 :OB=OF,∠BOE=60°， .∠OBF=∠OFB=30°， ,,∠EBF=∠OBE+∠OBF=90° ,四边形BECF为矩形 11.A12.B13.614.C15.1616.2-1 17.解：(1)①DBC⊥CF②BC=CD+CF (2)BC⊥CF成立；BC=CD十CF不成立，正确结 为CD=CF+BC 证明：，四边形ADEF为正方形， .AD=AF,∠DAF=90 :∠DAF-∠BAD+∠BAF=90°，∠BAC=∠CA +∠BAF=90°， ∠BAD=∠CAF (AB-AC. 在△DAB与△FAC中，∠BAD=∠CAF, AD=AF, .△DAB≌△FAC(SAS), ,·∠ABD=∠ACF,BD=CF ,∠BAC-90°，AB=AC, ,∴.∠ACB=∠ABC=45, .∠ACF=∠ABD=180°-∠ABC=180°-4 =135, .∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°， ,BC⊥CF :CD=BD+BC,BD=CF, .CD=CF+BC. 174 数学九年级BS版 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 1.B2.C3.5x2-x-3=04.C 5.(32-x)(20-x)=5406.D7.a≠18.-2 9.x2+(x+2)2+(x+4)F=251 10.解：根据一元二次方程的定义可知，m一4≠0，解得 m≠士2，故当m≠士2时，这个方程是一元二次 方程， 第2课时一元二次方程的 解及其估算 1.A2.A3.20244.20245.C6.D7.C 8.-4.39.x1=-4,x2=-110.2 11.解：(1)4 （2由题意，得受=3，m=6 把x=2代入x2-mx十n=0,得2-6×2十n=0,解 得n=8,.mn=6X8=48. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时直接开平方法与用配方法 求解二次项系数为1的一元二次方程 1.A2.D3.x=2,x=0 4.解：(1)移项，得(x+1)=36, 两边开平方，得x十1=士6， …=5,=-7. (2)整理为一般式，得x一2=0， 移项，得x=2, 两边开平方，得x=士√区， ∴=W2,x=一2 5.A6.B7.x1=x=38.11 9.解：移项，得-x=1,配方，得-x+}=1+ 子即(x-2)》”- 两边开平方，得一音-士停“五-5，云 =1-6 2 (2)移项，得x2-6x■7，配方，得x一6x十9=7十9， 即(x-3)°=16， 两边开平方，得x一3=士4，.x1=7,x=一1. 10.②11.B12.C13.C14.2 15.解：(1)两边开平方，得3x十4=4x十3或3x十4= 一(4x+3), 解得x1-1,x:=一1. 2移项，得2-号-1 配方，得-号+号1+ (》”-9 两边开平方，得x一}士四 3本章小结 大单元思维导图 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形定义 有一组邻边相等，并且有一个角是 定义人直角的平行四边形叫微正方形 四条边相等，对角线互相垂直性质 四个角都是直角，四条边相等； 性质对角线相等且互相垂直平分 由定义别定 正 形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 别定 有一组邻边相等的矩形是正方形 四边相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的矩形是正方形 到定 两条对角线长的泰积的一半 面积 特殊平 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形定义 四边形 四个角都是直角，对角线相等 推论：直角三角形斜边上的中线 性质 等于斜边的一半 由定义判定 对角线相等的平行四边形是矩形 到定 有三个角是直角的四边形是矩形 。。e+。+。e。。。,。g。:。。。。。。。。g 大单元考点训练心… 考点1菱形的性质与判定 使点A与原点O重合，则平移后点C的对 1.如图，菱形ABCD中，连接AC,BD.若∠1 应点的坐标为 =20°，则∠2的度数为 ( A.(32-3,-3) A.20° B.60 C.70° D.80 B.(3√2-2,3) C.(32+3,-3) 第3题图 D.(3√2+3,3) 4.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°， 第1题调 第2题困 延长BC到点E,在∠DCE内作射线CM, 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交 使得∠ECM=30°.过点D作DF⊥CM,垂 于点O,E为边BC的中点，连接OE.若AC =6,BD=8,则OE= ( 足为F.若DF=√6，则BD的长为 A.2 B哥 C.3 D.4 3.(2024一2025梅州五华期中）如图，菱形 ABCD的顶点A,B的坐标分别为(1,2)， (一2，-1)，BC∥x轴.将菱形ABCD平移， 第4题图 上册第一草 5.如下图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC (2)添加条件后，请证明口ABCD为矩形. 边上的中线，点E在DA的延长线上，连接 BE,过点C作CF∥BE交AD的延长线于 点F,连接BF,CE.求证：四边形BECF是 菱形. 10.如下图，AD和BC相交于点O,∠ABO ∠DCO=90°，OB=OC,E,F分别是AO, DO的中点. (1)求证：OE=OF. (2)若∠A=30°，求证：四边形BECF是 矩形. 考点2矩形的性质与判定 6.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点 O.要使它成为矩形，需再添加的条件是() A.BO=OD B.AC=BD C.AC⊥BD D.BD平分∠ABC 第6题国 第7题国 7.如图，P是矩形ABCD的对角线AC上一 点，过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于 点E,F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8,则 图中阴影部分的面积为 ( A.10 B.12 C.16 D.18 8.在□ABCD中，AB=5,BC=6.若AC= BD,则口ABCD的面积为 考点③直角三角形斜边上的中线等于斜边的 9.条件开放题如右图，点M 一半 在□ABCD的边AD上， 11.如图，在Rt△ABC中， BM=CM.请从以下三个条B的 ∠ACB=90°，∠A= 件中选择一个作为已知条件，使口ABCD为 30°，AB=4,CD⊥AB于 矩形 点D.若E是AB的中 第11题图 ①∠1=∠2：②AM=DM;③∠3=∠4. 点，连接CE,则DE的长为 () (1)你添加的条件是 (填序号). A.1 B.2 C.3 D.4 数学九年级BS版 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC 面积为 =6,线段DE的两个端点D,E分别在边 17.推理能力如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AC,BC上滑动，且DE=4.若M,N分别 AB=AC,D为直线BC上一动点（点D不与 是DE,AB的中点，则MN的最小值为 点B,C重合).以AD为边在AD右侧作正方 ( 形ADEF,连接CF. A.2 B.3 C.3.5 D.4 (I)【观察猜想】如图①，当点D在线段BC 上时， ①BC与CF的位置关系为 ②BC,CD,CF之间的数量关系为 第12题图 第13题园 13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.通过 (2)【数学思考】如图②，当点D在线段CB 尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC 的延长线上时，上述结论是否仍然成立？ 若成立，请给子证明：若不成立，请你写出 于点D,E,连接CD.若CE=}AE=-1,则 正确结论再给予证明。 CD的长为 考点4正方形的性质与判定 14.（2024一2025榆林府谷期 D 中)如图，四边形ABCD是 图① 周② 正方形，延长AB到点E,使 AE=AC,连接CE,则∠E 第14题图 的度数是 ( A.25°B.45°. C.67.5°D.75 15.如图，在直线1上摆放着三个正方形，其中 正放的两个正方形的顶点M,N分别是斜 放的正方形相邻两边的中点，三个正方形 的面积依次为S,S2,Ss.若S=1,S=3, 则S= . 第15题图 第16题图 16.如图，正方形ABCD的边长为1.将其绕顶 点C按逆时针方向旋转一定角度到正方形 FGCE的位置，使得点B落在对角线CF 上，EF与AB的交点为H,则阴影部分的 上册第一草