第一章 3 正方形的性质与判定-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 要点提示 正方形的定义：有一组邮边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形的性质：(1)具有矩形与菱形的所有性质，(2)正方形的四个角都是直角，四条边相等，(3)正方形的对角线 互相垂直平分且相琴，(4)正方形的对称性，①正方形是轴对称图形，共有四条对称轴，即两条对角线所在的直线 和过每一组对边中点的两条直线；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对南线的文点， O1固基础念 5.如图，将边长为3的正方形 ABCD沿其对角线AC平移， 知识点1正方形的定义 使点A的对应点A满足AA 1.如图，一个四边形添加下列条件中的三个能 得到正方形：a.两组对边分别相等；b.一组 =号AC,则所得正方形 第5题图 对边平行且相等；c.一组邻边相等：d.一个 A'B'CD'与原正方形ABCD重叠部分的面 角是直角，顺次添加的条件：①a→c→d:②b 积是 →d→c;③a→b→c,正确的是 ( 6.如下图，正方形ABCD中，点M,N分别在 悉加杀件 AB,BC上，且BM=CN,AN与DM相交于 四边形 正方形 点P 第1题周 (1)求证：△ABN≌△DAM A.仅① B.仅③ (2)求∠APM的大小. C.②③ D.①② 知识点2正方形的性质 2.(2024广东)完全相同的4个正方形面积之 和是100，则每个正方形的边长是( ) A.2 B.5 C.10 D.20 3.如图，正方形ABCD的边长为1，E,F分别 是对角线AC上的两点，EG⊥AB,EI⊥AD, FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J, 则图中阴影部分的面积等于 ◆易错点点的位置不确定而致错 7.以正方形ABCD的边AD作 第3题固 第4题图 4.如图，P是正方形ABCD内位于对角线AC 等边三角形ADE,连接BE, 下方的一点，∠1=∠2，则∠P的度数为 CE,则∠BEC的度数是 上册第一草 02提能力 …念O3拓思维 8.(2024重庆B卷)如图，在边长为4的正方形 11.(2024一2025吉安月考)【操作感知】(1)如 ABCD中，E是BC上一点，F是CD延长线 图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一 上一点，连接AE,AF,AM平分∠EAF交 点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点 CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度 M处，把纸片展平，连接PM,BM.若 为 ( ∠DPM=60°，则∠MBC的度数为 A.2 B.5 C.6 12 0. 【迁移探究】(2)如图②，将矩形纸片换成正 方形纸片，将正方形纸片ABCD按照(1)中 的操作进行折叠，并延长PM交CD于点 Q,连接BQ. 第8题期 第9题周 ①求证：△MBQ≌△CBQ: 9.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分 ②若正方形ABCD的边长为4，P为AD 别是CD,AD边上的点，AE与BF相交于 的中点，则CQ的长为 点H.若AF=DE=1,G是BE的中点，则 GH的长为 10.如下图，在正方形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两 点，且AE=CF,连接DE,DF,BE,BF (1)求证：△ADE≌△CBF, (2)若AB=4√2，AE=2,求四边形BEDF 的周长。 数学九年级BS版 第2课时正方形的判定 要点提示 正方形的判定方法：(1)定义法，有一组部边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，(2)判定定理， ①对角孩湘号的菱形是正方形：②对角我至相亚黄的矩形是正方形：③有一个角是直角的菱形是正方形；④有一 蘸郁这相等的類形是正方形 O1固县础 知识点2中点四边形 5.(2024福建)如图，正方形AB 知识点1正方形的判定 CD的面积为4，E,F,G,H分 1.如图，在□ABCD中，添加下列条件，不能使 别为边AB,BC,CD,AD的中 口ABCD成为正方形的是 点，则四边形EFGH的面积为 A.AB=BC,∠ABC=90 第5题图 B.∠ABC=90°，AC-BD 6.如下图，在矩形ABCD中，M,N分别是边 C.AB=BC.AC=BD 第1题 AD,BC的中点，E,F分别是线段BM,CM D.AC=BD,AC⊥BD 的中点 2.如图，把一张矩形纸片对折两次，然后沿虚线 (1)求证：△ABM≌△DCM. 剪下一个角.当虚线与折痕所成的锐角的度 数为 时，剪下的这个角展开可以 (2)当AB与AD的比值为 时，四 得到一个正方形. 边形MENF是正方形 第2题图 第3题图 3.如图，已知AC=√2cm.小红做了如下操作： 分别以点A,C为圆心，1cm长为半径作弧， 两弧分别相交于点B,D,连接AB,BC,CD, DA,BD,则四边形ABCD 正方 形（填“是”或“不是”） 4.如下图，在平面直角坐标系中，四边形AB CD的顶点坐标分别是A(-2,0),B(0, ◆易错点选择正方形的判定方法不正确 -2),C(2,0),D(0,2).求证：四边形ABCD 导致判断错误 是正方形 7.在菱形ABCD中，AC,BD相交于点O. y 增加下列条件能判定四边形ABCD是正 D0,2 方形的是 ( A(-2.0 C29 ①AC⊥BD;②AC=BD;③AB=BC B0.-2 ④AB⊥BC. A.①②B.①③C.②③D.②④ 上册第 02提能力念 点B,C,D,A移动.请判断四边形PQEF 的形状，并说明理由. 8.(教材变式)如图，AC, BD是四边形ABCD的 对角线，E,F分别是 第8题图 AD,BC的中点，M,N分别是AC,BD的中 点，连接EM,MF,FN,NE.要使四边形 EMFN为正方形，则需添加的条件是 A.AB=CD,AB⊥CD B.AB-CD.AD-BC C.AB=CD,AC⊥BD D.AB=CD,AD∥BC 9.将图①中的两个三角形按如图②所示的方 …03拓思维… 式摆放，其中四边形ABCD是矩形，连接 12.如右图，已知四边形AB PQ,MN.甲、乙两人有如下结论： CD和四边形CEFG均是 甲：若四边形ABCD是边长为1的正方形， 正方形，点K在BC上，延 则四边形PQMN必是正方形； 长CD到点H,使DH= 乙：若四边形PQMN是正方形，则四边形 BK=CE,连接AK,KF,HF,AH. ABCD必是边长为1的正方形. (1)求证：AK=AH. 下列判断正确的是 ( (2)求证：四边形AKFH是正方形. A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确 (3)若四边形AKFH的面积为10，CE-1, C.甲、乙都不正确D.甲、乙都正确 则点A,E之间的距离为 图① 图② 第9题图 第10题图 10.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边 的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF 的对称点记为B,连接BD,BE,BF,当BD 的长为 时，四边形BEBF是正 方形. 11.如下图，有4个动点P,Q,E,F分别从正方 形ABCD的4个顶点A,B,C,D同时出 发，沿着AB,BC,CD,DA以同样的速度向 数学九年级BS版(2)当k=2时，四边形DEBF是矩形.理由如下： 当BD=EF时，□DEBF是矩形 由题意可知，EF-号AC 当BD=AC 郎部-2时，口DEBF是矩彩 12.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..0A=OC,OB=OD. AE=CF,..OE=OF, .BD,EF互相平分， ∴.四边形DEBF是平行四边形 (2)分以下两种情况讨论： ①当点E在线段AO上，点F在线段OC上时， 若四边形DEBF是矩形， 则EF=BD=12cm AE=CF=2t cm, ,.16-2-2t=12. 解得t=1: ②当点E在线段OC上，点F在线段OA上时， 若四边形DEBF是矩形， 则EF=BD=12cm AE=CF=2t cm, ,.2t-12+2t=16, 解得t=7. 综上所述，当t的值为1或7时，以D,E,B,F为顶点 的四边形是矩形 第3课时矩形的性质与判 定的综合应用 1.A2.C3.AD=AB4.5 5.解：(1)证明：，△OAB是等边三角形， ..OA=OB. :四边形ABCD是平行四边形， 0A-OC-AC.OB-OD-BD, .AC=BD, ,□ABCD是矩形 (2):▣ABCD是矩形， .∠BAD=90°，BD=2OB. :△OAB是等边三角形， ∴.OB=AB=6 ,.BD=12, ,∴.AD=√BD-AB=63 6.解：如图，过点C作CE⊥DH于点E,则∠CEH ∠CED=90° DH AB. .∠AHD=∠BHE=90 ∠B=90°，.四边形BCEH是矩形， HE=BC=1. 在RL△AHD中，∠A=60°， .∠ADH=90°-∠A=30 172 数学九年级BS版 又：∠ADC=90°， ∴∠CDE=90°-∠ADH=60°， .∠DCE=90°-∠CDE=30°， DE-CD-5, .DH=HE+DE=1+5=6. 7.D8,599 10.解：(1)证明：：CE∥OD,DE∥AC, ∴四边形OCED是平行四边形. 又：四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,即∠COD=90°， ∴.四边形OCED是矩形， (2),在菱形ABCD中，AB=4, ∴.AB=BC=CD=4, 又：∠ABC=60°， △ABC是等边三角形， ∴.AC=4, 0c-4c-3 .0D=/CD-OC=V4-2=23, ∴.四边形OCED的面积是23×2=45. 11.解：(1)t15-2t (2)证明：：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD, ∴.∠GAF=∠HCE. 又，G,H分别是AB,CD的中点， AG-=号AB=2CD=CH 又AE=CF=tcm, :.AF=CE, △AFG≌△CEH(SAS), ,∴.GF=HE 同理可得△AGE≌△CHF(SAS), ∴GE=HF, ∴.四边形EGFH是平行四边形 (3)如图，连接GH,易得四边形 BCHG是矩形， ∴.GH=BC=4cm, ∴.当EF=GH,即|5-2t=4时， □EGFH是矩形， 解得t=0.5或4.5， 故当：的值为0,5或4,5时，四边形EGFH为矩形. 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.D2B3号4.1355.4 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD=BC,∠DAM=∠ABN=90 .BM-CN...AB-BM-BC-CN, 即AM=BN. 在△ABN和△DAM中， AB-DA, ∠ABN=∠DAM, BN=AM, ,∴.△ABN2△DAM(SAS). (2)由(1)，得△ABN≌△DAM, .∠BAN-=∠ADM, ∴.∠BAN+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°， .∠APM=180°-（∠BAN+∠AMP)=90° 7.30或150°8.D9.2.5 10.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠DAE=∠BCF=45°.AD=CB. (AD=CB, 在△ADE和△CBF中，∠DAE=∠BCF, AE=CF, .△ADE2△CBF(SAS). (2),AB=AD=4W2, .BD=AB+AD=V√(42)2+(42)-8. 四边形ABCD是正方形， ∴.AC=BD=8,BD⊥EF ..OD=OB=OA=OC=4. 又，AE=CF=2, ..0A-AE=OC-CF,OE=OF=4-2=2, ,四边形BEDF为平行四边形 BD⊥EF,∴□BEDF为菱形 DE=√OD+OE=√4+2=25， .四边形BEDF的周长为4DE=8V5, 11.解：(1)30 (2)①证明：由折叠的性质，得AB=BM,∠A ∠BMP. :四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠C=90, .BM=BC,∠C=∠BMP=∠BMQ=90° 在Rt△MBQ和Rt△CBQ中， (BQ-BQ. BM=BC, .Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL). 第2课时正方形的判定 1.B2.453.是 4.证明：由四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-2,0) B(0,-2),C(2,0),D(0,2), 得OA=OB=OC=OD=2, ∴四边形ABCD为矩形， 又：AC⊥BD, ∴.四边形ABCD是正方形 5.2 6.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形，.AB=D( ∠A=∠D=90°. M为AD的中点，∴.AM=DM 在△ABM和△DCM中， AM=DM, ∠A=∠D, AB=DC, ∴.△ABMe△DCM(SAS). ®号 7.D8.A9.D10.√② 11,解：四边形PQEF是正方形，理由如下： 由题意，得AP=BQ=CE=DF 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D =90°， ∴.AF=BP=CQ=DE, ,.△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF, ..FP-PQ=QE-EF, .四边形PQEF是菱形。 :△AFP≌△BPQ, ∠APF=∠BQP, ,∠BPQ+∠APF=∠BPQ+∠BQP=9O°， .∠FPQ=90°， ,四边形PQEF是正方形 12.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠B=∠ADC=90°， .∠B=∠ADH=90 又：BK=DH, ,△ABKe2△ADH(SAS),,.AK=AH (2)证明：：四边形ABCD和四边形CEFG均是正 方形， ,∴.AB=BC,∠B=∠E=90,CE=EF "BK=CE,,∴.BK=EF,BK+KC=KC+CE,即BC =KE, .AB=KE,,.△ABK≌△KEF(SAS), ∠BAK=∠EKF :∠BAK+∠BKA=90°， ,∠BKA+∠EKF=90,.∠AKF=90 同理可得△ABK2△KEF≌△HGF2△ADH, ∴.AK=KF=HF=AH,.四边形AKF日是菱形， ,菱形AKFH是正方形。 (3)5 本章小结 1.C2.B3.A4.26 5.证明：：AB=AC,AD是BC边上的中线， .AD垂直平分BC,.EB=EC,FB=FC :CF∥BE,∴∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD :DB=DC,.△EBD2△FCD(AAS), ..EB=FC,..EB=BF=FC=EC, ,四边形BECF是菱形 6.B7.C8.30 9.解：（答案不唯一）(1D① (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD 173 上册参考答案