第一章 3 第2课时 正方形的判定-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

3正方形的性质与判定（课程标准变动内容） 第2课时正方形的判定 第1课时正方形的性质 1.C2.B3.AC⊥BD(答案不唯一) 1.A2.C3.B4.20°5.56.2 4.解：四边形PQEF是正方形， 7.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AD=AB, 理由：在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF,AB=BC= ∠DAP=∠BAP=45°.在△ABP和△ADP中，AB=AD, CD=DA, ∠BAP=∠DAP,AP=AP,∴.△ABP≌△ADP(SAS), '.BP=QC=ED=FA」 .BP=DP」 又∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°， (2)'AB=AP,.∠ABP=∠APB ',△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF(SAS) 又.∠BAP=45°，∴.∠ABP=67.5° ∴.FP=PQ=QE=EF,∠APF=∠PQB,∴.四边形PQEF 17 为菱形. 8.60或120°9.B10.2 :∠PQB+∠BPQ=90,∠APF+∠BPQ=90°， 11.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD⊥CD,GE⊥CD, ∴.∠FPQ=90°， ∴.∠ADE=∠GEC=90°， .菱形PQEF为正方形 .AD∥GE,∴.∠DAG=∠EGH. 5.解：(1)四边形BPCO为平行四边形. (2)AH⊥EF.理由：连接GC交EF于点O,如图所示. BD为正方形ABCD的对角线， D 理由：四边形ABCD为平行四边形，OC=OA=2AC, .∠ADG=∠CDG=45°.又.DG G 人 DG,AD=CD,.△ADG≌△CDG OB=OD=2BD.:分别以点B,C为圆心，2AC,2BD H (SAS),.∠DAG=∠DCG.在正方形 长为半径画弧，两弧交于点P,∴.OB=CP,BP=OC,∴.四边 ABCD中，∠ECF=90°.又GE⊥CD, 形BPCO为平行四边形. GF⊥BC,.四边形FCEG为矩形， (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPCO为正方形 .OE=OC,∴.∠OEC=∠OCE, :AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，平行四边形BPCO为矩形 ∴.∠DAG=∠OEC.由(1)，得∠DAG=∠EGH, .∠EGH=∠OEC,∴.∠EGH+∠GEH=∠OEC+ AC=BD,0B=号5D,0C=2AC,∴0B=0C,矩形 ∠GEH=∠GEC=90°，∠GHE=90°，.AH⊥EF. BPCO为正方形. 12.解：(1)证明：如图①所示，设∠1，∠2. 6.B7.D8.D9.4 .四边形ABCD是正方形，AE⊥EF,AB=BC, 10.解：(1)证明：由翻折的性质可知： ∴.∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90°， △ADE≌△GDE,△DCF≌△DGF, ∴∠1=∠2.点H,E分别是边AB,BC的中点， ∴.AD=DG=DC,∠A=∠DGE=90°，∠C=∠DGF= .BH=BE=AH=CE, 180°-90°=90° :∠B=90°，∴.四边形ABCD是矩形 ·∠BHE=45.·∠FCG=2∠DCG=45°， ,DA=DC,∴，矩形ABCD是正方形 ∴.∠AHE=∠ECF=135°. (2)设AE=EG=x,则BE=6-x. 在△AHE和△ECF中， 点F是BC的中点，BF=FC. 1∠1=∠2， .AB=BC=6,..BF=FC=GF=3, AH=CE, ∴.EF=x+3,BF=3.在Rt△BEF中， ∠AHE=∠ECF, .EF2=BE2++BF2, '.△AHE≌△ECF(ASA) .(x+3)2=(6-x)2+32,x=2, ..AE-EF. AE的长为2. 11.解：(1)OE=OF 证明：MN∥BC,∴.∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.又 .CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,∴.∠OCE=∠BCE, ∠OCF=∠DCF,.∴.∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC, ..EO=CO,FO=CO,..OE=OF. (2)不可能.理由：如图所示，连接BF.,CE平分∠ACB, CF平分∠ACD, (2)AE=EF仍然成立. 1 1 证明：如图②所示，延长BA到点M,使AM=CE ∠ECF=7∠ACB+Z∠ACD=(ZACB+∠ACD)= .∠AEF=90°，∴.∠FEG+∠AEB=90°. 90°.若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC,但在△GFC中，不 ,∠BAE+∠AEB=90°， 可能存在两个角为90°，.不存在四边形BCFE为菱形. ∴.∠BAE=∠FEG, .∠MAE=∠CEF,,AB=BC, ∴.AB+AM=BC+CE, 即BM=BE,∴.∠M=45°， ∴.∠M=∠FCE D 在△AME和△ECF中， (3)当点O运动到边AC的中点时，四边形AECF是矩形. I∠MAE=∠CEF, 理由如下：，当点O运动到AC的中点时，AO=CO. AM=CE, 又EO=FO,.四边形AECF是平行四边形.，FO=CO， I∠M=∠FCE, ..AO=CO=EO=FO,..AO+CO=EO+FO,AC= ∴.△AME≌△ECF(ASA), EF,∴.平行四边形AECF是矩形. ∴.AE=EF. (4)当点O运动到AC的中点，且满足△ABC是∠ACB为 直角的直角三角形的条件时，四边形AECF是正方形. ∴.∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 .∠EBF=∠DBC=60° AECF是矩形，已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，则 又BE=BF, ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，.AC⊥EF,. ∴.△BEF是等边三角形， 矩形AECF是正方形. ∴，EF=BE=BF.当BE⊥AD,即E为AD的中点时，BE有 专题一特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2.B3.54.√5+15.2或25-2 最小值V个一-7-25，此时△55F的面积为×(2,5)- 6解：，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处， 35. ..EG=AE, .△BEG的周长为EG+BE+BG=AB+BG. 4B5(3,) ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， 6.解：如图所示，取AB的中点E,连接OE,DE,OD.OD≤ ∴.AB=AD,∠DAB=60°， OE十DE,∴当O,D,E三点共线时，点D到点O的距离最 ∴.△ABD是等边三角形，AB=BD=2十6=8， 大，此时OD=OE+DE. .△BEG的周长为8+6=14. .AB=2,BC=1, 7.B8.B9.3 40 ∴OE=AE=2AB=1, 10.证明：(1)由折叠的性质，得CD=ED,BE=BC. DE=√AD+AE=√12+1严=√2， ,四边形ABCD是矩形， ∴.OD的最大值为w2十1. ∴.AD=BC,AB=CD,∠BAD=90°， M ..AB=DE,BE=AD. 又BD=BD, ∴.△ABD≌△EDB(SSS), ∴.∠EBD=∠ADB,∴.BF=DF. (2).AD=BE,DE=AB,AE=AE, ∴.△AED≌△EAB(SSS), 7.B8.D9.C10.3√5-3 ∴∠AEB=∠EAD=号1S0-∠AFE). 11.解：(1)结论：AM⊥BN 证明：四边形ABCD是正方形， 由1)知，∠EBD=∠ADB=2(180-∠BFD. ∴.AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°. .BM=CN, N∠AFE=∠BFD, ∴.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AEB=∠EBD,.AE∥BD ∴.∠BAM=∠CBN. 11.B12.60120 ∠CBN+∠ABN=90°， 13.解：(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°.△AEM的 .∠ABN+∠BAM=90°， 周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM. ∴.∠APB=90°，∴.AM⊥BN. :AB=AD=4,M是AD的中点， (2)如图所示，以AB为斜边向外作 .△AEM的周长为4+2=6(cm). 等腰直角三角形AEB,∠AEB= (2)EP-AE+DP. 90°，作EF⊥PA于点F,作EG⊥ E 理由如下：如图所示，取EP的中点 M PB交PB的延长线于点G,连 G,连接MG,则在梯形AEPD中，MG 接EP. 为中位线， G :∠EFP=∠FPG=∠G=90°， MG=2(AE+PD).在R△EMP .四边形EFPG是矩形， ∴.∠FEG=∠AEB=90°， 中，MG为斜边EP的中线，∴.MG= B ∴.∠AEF=∠BEG. 1 P,EP-AE+DP. 又：∠EFA=∠G=90°，EA=EB, '.△AEF≌△BEG(AAS), 专题二特殊平行四边形中的最值问题 ∴.EF=EG,AF=BG, 1.A2.5 .矩形EFPG是正方形，.PA+PB=PF十AF+PG一BG 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4, =2PF=2EF」 ∴.△ABD,△CBD都是边长为4的等边三角形. EF≤AE,∴.EF的最大值为AE=2√2， .AE+CF=4,..CF=4一AE=AD-AE=DE」 ∴.△APB周长的最大值为4十4√2， 在△BDE和△BCF中， 本章综合提升 (DE=CF, ∠BDE=∠C=60°， 【本章知识归纳】 BD=BC=4, 相等垂直垂直相等一半直角 ∴.△BDE≌△BCF(SAS),'.BE=BF 直角相等一半相等直角相等 (2)·△BDE≌△BCF,∠EBD=∠FBC, 直角直角相等相等垂直平分 相等垂直直角相等第2课时 正方形的判定（答案P4) 通基仙> 5.(2023·十堰中考)如图所示，☐ABCD的对角 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> 线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心， 知识点1正方形的判定 AC,2BD长为半径面孤，两孤交于点P,连 1 1.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= 90°，如果添加一个条件，使得该四边形成为正 接BP,CP 方形，那么所添加的这个条件可以是( ) (1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由. A.∠D=90° B.AB=CD (2)请说明当口ABCD的对角线满足什么条件 C.AB=BC D.AC=BD 时，四边形BPCO是正方形？ 2.当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都 相等，四个角都相等时，这个四边形是( ) A.平行四边形 B.正方形 C.菱形 D.长方形 3.推理能力》如图所示，在矩形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,试添加一个条 件 ,使得矩形ABCD为正方形， 4.如图所示，有4个动点P,Q,E,F分别从正方 形ABCD的4个顶点出发，沿着AB,BC, CD,DA以同样的速度向B,C,D,A各点移 动.判断四边形PQEF的形状，并说明理由. 知识点2中点四边形 6.新视野》如图所示，已知点E,F,G,H分别是 菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH 是() A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形 7.顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是 正方形，则原四边形可能是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 -九年级：上册数学，B5 16 通能力922 通素养》99 8.如图所示，在菱形ABCD中，点E,F,G,H分 11.探究拓展》如图所示，在△ABC中，点O是 别是边AB,BC,CD和DA的中点，连接EF, 边AC的上一个动点，过点O作直线MN∥ FG,GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确 BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交 的是() △BCA的外角平分线于点F. A.AB=√2EF B.AB=2EF (1)探究OE与OF的数量关系并加以证明. C.AB=√3EF D.AB=√5EF (2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE H 可能是菱形吗？若可能，请加以证明；若不可 能，则说明理由 (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四 边形AECF是矩形，请说明理由 第8题图 第9题图 (4)在(3)问的基础上，△ABC满足什么条件 9.如图所示，菱形ABCD的边长为4，∠DAB= 时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 60°，对角线AC,BD相交于点O,点E,F同时 从点O出发，在线段AC上以0.5cm/s的速 度反向运动（点E,F分别到达A,C两点时停 止运动)，设运动时间为ts.连接DE,DF, BE,BF,当t=s时，四边形DEBF 为正方形 10.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B= 90°，将△AED,△DCF分别沿着DE,DF翻 折，点A,C都分别与EF上的点G重合. (1)求证：四边形ABCD是正方形 (2)若AB=6,点F是BC的中点，求AE 的长 G 17 优计学案·课时通一