第四章 6 利用相似三角形测高-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

AB-AD-2,AP-1AB-1. .在Rt△ADP中，PD=√AD+AP=√5 PF=PD,..AF=PF-AP=5-1. :四边形AMEF为正方形， .AM=AF=5-1, ∴.DM=AD-AM=2-(wW5-1)=3-5. (2)M是AD的黄金分割点，理由如下： 微 AD 器器 .M是AD的黄金分割点 10.解：1)05-1 2 ②(105-10) (2)(答案不难一)分割成的“黄金三角形”如图所示， 36/3636 (3)证明：AB=AC,∠A=36, ∠ABC=∠C=72 又：BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD-∠ABC-36, .∠BDC=180°-∠C-∠CBD=72, .AD=BD,BC=BD. 即AD=BC=BD. 又：∠C=∠C,∠CBD=∠A,∴.△CBD∽△CAB, 瓷瓷焉品D是AC的黄金分制点 *5相似三角形判定定理的证明 1.A2.B3.B4.90°5.(8,0) 6.证明：(1)四边形ABCD是菱形， BC=DC,∠D=∠B. 又：DF=BE,.△CDF2△CBE(SAS), .∠DCF=∠BCE. CD∥BH,∴∠H=∠DCF, .∠H=∠BCE. 又：∠B=∠B,.△BECO△BCH (②：BE-AB·AE,能-能 :CB∥DG, ∴.易得△AEGO△BEC, 能能 般腊 .BC=AB,..AG=BE. 由(I),得△CDF≌△CBE,.DF=BE,·AG=DF. 7.C8.4 9.解：(1)，ED⊥AB,∴.∠ADE=90°=∠C 又：∠A=∠A, △ADE△ACB,小是-福 AB=10,AC=8,AE=5, 把-高每得AD=4 (2)在AC上截取CH=CB,连接BH,如图. :∠ACB=60°， .△BCH为等边三角形， .CH=BH=BC=6,∠CHB=60°， .AH=AC-CH=8,∠AHB =120° ∠EDB=60°， ∠ADE=120°， ∴∠ADE=∠AHB 又：∠A=∠A △ADEO△AHB,器-铝即号-解得 AD-3. 10.解：(1DAD+DE=AE (2)BD=20√174m. 6利用相似三角形测高 1.B2.2.33.B 4.解：根据题意，得∠BAC=∠NAM,∠ABC=∠MNA =90°， ∴.△AMN△ACB, 器--o 同理可得△MND△FED, 鉴-院即器-5合o 1.6 由00，得4-15tA 1.6 ,解得AN=25, -草解得N- 故该塔的高度MN为43.5m. 5.B 6.解：如图，过点F作FM∥EC,交AB于点N,交CD于 点M 由题意，得MN=BC=30m,FN =BE=55.2 m,FM-CE-BE+ BC-85.2 m,NB-MC-EF-1.6 m,AN-20- 1.6-18.4(m) DM∥AN, ,.易得△FDM∽△FAN, .DM_FM AN FN' 4器 DM85.2 .DM=28.4m, .CD=CM+DM=1.6+28.4=30(m), .水塔的高度CD为30m, 7.解：如图，过点F作FM⊥EB交EB的延长线于点M, 交DC的延长线于点H,易得∠EMF=∠DHF=90°， 183 上册参考卷案 HM=CB=5/3 m,CH=BM. :∠DFH=∠EFM, ∴.△DFH∽△EFM, .DH_FH EM FM ∠ABG-150°，BE⊥CB, .∠MBF=150°-90°=60°， .∠MFB=30 :BF的长为2m,∴.BM=1m, .MF=√BF-BM=√3m,EM-EB+BM =2.8m, ∴.FH=HM+MF=6V3m, CD+1-63 2.83 .CD=15.8m, ∴.大树CD的高度为15.8m 8.148 7相似三角形的性质 第1课时相似三角形中特殊线段的性质 1.B2.A3.3 4解品与票相等理由如下： :△ABCn△A'B'C', …0-器 :EF,EF分别是这两个三角形的中位线， .EF-EF1 就0=2 品-票…指-器 AB EF :AD,A'D'分别是这两个三角形的角平分线， 滑品…品 5.B6.C7A8Cg,号10支要 11.108 12.解：(1)，'AB∥MN,CD⊥MN, ,.易得△LMNC∽△LBA,CD⊥AB, 解品 :像高MN是35mm,焦距CL是50mm,拍摄的景 物高度AB是4.9m, 90g5-0标得1D=1m… .拍摄点离景物的距离LD是7m. (2)由题意，得AB=2m,LD=4m,MN=35mm 由1，得欲-品 ÷8835-9期得1C-07n ,相机的焦距应词整为70mm, 第2课时相似三角形周长和面积的性质 1.B2.C 3.解：(1)证明：：DE∥BC, 184 数学九年级B$版 ·∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ,△ADE∽△ABC. (2):ADDB=2:3, 治是 由(1)可知，△ADE△ABC, 器船号 CAADE=10, .C△ac=25,即△ABC的周长为25. 4c5号 6.解：(I)证明：：AB∥CD,∠ABD=∠BDC 品-粉-号肥-8-音 品肥 ,△ABDO△BDC. (2),△ABDn△BDC, (品=(》- ∴5m-音5aa-号×1800=80(m) 4 7.A8.C9.①②③ 10.懈：D,E是AB的三等分点， 湿品君 'DF∥EG∥BC,∠ADF=∠AEG=∠B. ∠A=∠A,.△ADF△AEG,△ADFO△ABC, SANEG {AB〉=9 SS::S,=1:35. 1.解：12，反(2号 (3)存在，CA=4,AB=5,CB=3, ∴.CB+CA=AB, ∴.△ABC是直角三角形，且∠C=90°， “△ABC中AB边上的高为号 ①当∠MPQ=90°，且PM=PQ时，如图D. '△PQC∽△ABC, 器会瓷串品赘士锦离 -PQ .P9-5 5 2 5 解得PQ-铝 ②当∠PQM=90°，且PQ=QM时，与①相同，PQ6利用相似三角形测高 要点提示 利用阳光下的影子测高：由于太阳光线可以看成平行光线，所以在同一时刻下所有物体的物高、彩长、太阳光线 所形成动三角形都相从 用一时时的大阳无下装额物禁的南餐一季疆新的部餐 利用标杆测高：由于人，标杆及被测物体帕与地面亚麦，因此三者平行，可构造相似三角形， 利用镜子的反射测高：由入射角等于反尉角及人与被测物体构与地面丞直，可构造相似三角形 乡O1固基础念 4.小明对某塔的高度进行了测量，测量方法如 下：如下图，先在点A处放一平面镜，从点A 知识点1利用阳光下的影子或标杆测高 处沿NA方向后退1m到点B处，恰好在平 1.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已 面镜中看到塔的顶部点M,再将平面镜沿 知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC NA方向继续向后移动15m放在点D处 =12.4m,则建筑物CD的高度是( (AD=15m),从点D处向后退1.6m,到达 A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m 点E处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部 点M.已知小明的眼睛到地面的距离CB= 口口 EF=1.74m,请根据题中提供的相关信息， 求出该塔的高度MN(平面镜大小忽略 第1题图 第2题图 2.如图所示的是在同一时刻两根竹竿在太阳 不计) 光下的影子，其中竹竿AB=2m,它的影长 BC=1.6m,竹竿PQ的影子有一部分落在 墙上，PM=1.2m,MN=0.8m.竹竿PQ的 长为 m. 知识点2利用镜子的反射测高 3.如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB 的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的 右边点E处放置了一个平面镜，并测得BE =12m:②沿着直线BE后退到点D处，眼 睛恰好可以看到镜子里凉亭的顶端A,并测 得ED=3m(平面镜大小忽略不计).已知眼 睛到地面的距离CD=1.6m,∠AEB ∠CED,那么凉亭AB的高度为 ( 第3题困 A.6.3mB.6.4mC.6.5mD.6.6m 数学九年级BS版 O2提能力心…… 都落在斜坡上的F处.经测量，CB长 5,√3m,BF长2m,小树BE高1.8m,斜坡 5.如图，小明在A时测得某树的影长为3m,B BG与平台AB所成的∠ABG=150°.请你 时又测得该树的影长为2m.若两次日照的 光线互相垂直，则该树的高度为 帮小明求出大树CD的高度. ( 第5题图 A.土6mB.√6mC.6m D.√5m 6.(2024一2025榆林府谷期中)如下图，小张所 在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的 高度CD.当小张站在与教学楼和水塔的同 一直线上的点E处时，刚好看到教学楼顶端 A与水塔顶端D在一条直线上，此时他与教 学楼的距离BE为55.2m.已知教学楼AB 的高为20m,BC=30m,小张的眼睛到地面 的距离EF为1.6m.求水塔的高度CD. 03拓思维 8.小玲很想知道法门寺合十舍利 塔的高度AB,于是，她带着测 量工具来到合十舍利塔进行测 量.测量方案如下：如图，首先， C E G 小玲在点C处放置一平面镜，第8题困 她从点C处沿BC后退，当后退1.2m到点E 处时，恰好在镜子中看到塔顶A的像，此时测 得小玲眼睛到地面的距离DE为1.6m:然 7.如下图，平台AB上有一棵直立的大树CD, 后，小玲沿BC的延长线继续后退到点G处， 平台的边缘B处有一棵直立的小树BE,平 用测倾器测得舍利塔的顶端A的仰角为45°， 台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想 此时，测得EG=34.2m,测倾器的高度FG= 利用数学课上学习的知识测量大树CD的 1.6m.已知点B,C,E,G在同一水平直线上， 高度.一天，他发现大树的影子一部分落在 且AB,DE,FG均垂直于BG,则合十舍利塔 平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的 的高度AB为 m. 顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且 上册第四留