第二章 一元二次方程 本章小结-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

本章小结 大单元思维导图 特征 ①整式方程：②只含有一个未知数：③未知数的最高次数是2 一般形式 ax2+bx+c=0(ab,c为常数，a≠0) >0,方程有两个不相等的实数根 根的判别式 △=0，方程有两个相等的实数报 元二次方 △<0，方程没有实数根 解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 根与系数的关系 两极之和：十=。；两根之积：=9 a 一般步骤设、列、解、验、答 应用 类型数字问题、几何图形问题、营销问题等 大单元考点训练 考点1一元二次方程的概念及一元二次方 4.若关于x的方程ax2+bx十c=0(a≠0)满足 程的根 4a十2b十c=0和9a-3b+c=0,则该方程的 1.(2025萍乡期末)下列方程中，是关于x的一 两个根分别为 () 元二次方程的是 ( A.2,3 B.2,-3 A3x+-2x+DB}+是-2=0 C.-2,3 D.-2,-3 5.若x=-1是关于x的方程x2+mx十2n=0 C.ax+bx+c=0 D.x2+2x=x2+1 的一个解，则（一2）m的值为 2.方程m.x2-x=2x2-mx十1是关于x的一 6.已知x=一1是一元二次方程x2十ax十b=0 元二次方程，则m的取值范围是 的一个根，求a2+b2一2ab-2的值. A.m≠2 B.m≠0 C.m≠-2 D.m≠士2 3.(2024一2025石家庄赵县期中)若(m一 3)xm4一x一5=0是关于x的一元二次方 程，则m的值为 ( A.1 B.3 C.-1 D.士3 数学九年级BS版 考点2解一元二次方程 等的实数根；③若c是方程ax2十bx十c=0 7.用适当的方法解下列一元二次方程： 的一个根，则一定有ac十b十1=0成立： (1)81x2-1=0. ④存在实数m,n(m≠n),使得am2十bm十c =am2十bt十c.其中正确的是 () A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 11.(2024一2025榆林府谷期中)若关于x的一 元二次方程x2一4x十2k=0有两个相等的 实数根，则k的值为 (2)x(2x-3)=4x-6. 12.设a,3是一元二次方程x2-5x-1=0的 两个实数根，则2a2-11a十3-B的值为 13.已知关于x的一元二次方程c(1一x2) 2bx=a(1十x2),其中a,b,c分别为△ABC (3)x2-4x-1=20. 三边的长.如果方程有两个相等的实数根， 那么△ABC的形状为 考点4一元二次方程的应用 14.(2024重庆A卷)随若经济复苏，某公司近 两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴 (4)(x-2)(3x-5)=1. 税40万元，2023年缴税48.4万元.该公司 这两年缴税的年平均增长率是 15.(2024一2025抚州临川区月考)春节过后， 甲型流感病毒开始悄然传播.某办公室最 考点3一元二次方程根的判别式及根与系 初有2人同时患上甲型流感病毒，经过两 数的关系 轮传播后，办公室现有8人确诊甲型流感 8.若一元二次方程x2一x一2=0的两个根分别为 病毒.请问在两轮传染过程中，平均1人会 ,x2,则1十十x2(1一x)的值是 ( 传染给几个人？ A.4 B.2 C.1 D.-2 9.已知a,b是一元二次方程x2+5x十2=0的 两根，则a√臣+b,层的值是 A.22B.-22C.32 D.-32 10.对于一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)，有 下列说法：①若a十b十c=0,则仔一4ac≥0； ②若方程ax2十c=0有两个不相等的实数 根，则方程ax2十bx十c=0必有两个不相 上册第二章11.解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x十a 一一2=0有两个不相等的实数根， ,.△=[-2(a-1)]-4(a°-a-2)>0,解得a<3. (2)关于x的-一元二次方程x2一2(a一1)x十a2一a -2=0, ∴，x1十x1=2(a-1),x1x4=a°-a-2. ,x十x-x1xa=16, .(1+xm)2-3x1x4=16,即[2(a-1)]-3(a-a -2)=16,解得a1=-1,a=6.:a<3,a=-1. 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程在数字 及几何问题中的应用 1.B2.0.6m 3.解：设AB的长为xcm. 根据题意，得03，工-144. 2 解得x1=12,x1=8: ,.AB的长为12cm或8ctm. 4.解：设原来的两位数个位上的数字为x,则十位上的数 字为x-9, 由题意，得10(x-9)+x-10x-(x2-9)=27,解得 x1=4,x=一3（不符合题意，舍去），.x2-9=7, .10(x2-9)十x=74.故原来的两位数为74. 5.3或5 6.解：(1)2 (2)△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等 理由如下： 当△PCQ的面积与四边形ABPQ的面积相等时， 5aw=号5ae,p号×2(16-40=64× 整理，得2一4t十8=0. :△=(-4)2-4×1×8=-16<0， ∴.此方程没有实数根， .△PCQ的面积不能与四边形ABPQ的面积相等 7A8.C9.452109n或10m 11.解：(1)(12-x) (2)根据题意，得（12-x)=号×242，即2-24x十 23=0,解得x1=1,x4=23(不符合题意，舍去)： .小路的宽为1m, .矩形空地的面积为12×(11+11+1)=276(m). 12.解：不会遇到台风.理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，且最初遇到台风时轮 船从点A处开始航行了th,此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE,则AC= 10t n mile,AE=AB-BE=(50-20tn mile. AC+AE=EC, .(10t)2+(50-20t)2=102 整理，得5f-20t十24=0. A=(-20)2-4×5×24=-80<0, ,方程无实数根， 轮船在途中不会遇到台风。 北 B 第2课时一元二次方程在 营销及其他问题中的应用 1.B2.300(1+x)2=7003.1000(1+x)2=1690 4.A5.A6.B7.B8.D9.A10.5 11.解：(1)设牙誉的日均销售量y关于销售单价x的函 数表达式为y=x十b(k≠0)，将(3.5,10.5)，(5,6) 代人y一x十6，得很.5张+-10,5”解得k-3, 15k+b=6, 1b=21, ,牙膏的日均销售量y关于销售单价x的函数表达 式为y=-3x+21(3≤x≤5.5). (2)根据题意，得(x一3)（一3x十21）=9， 整理，得x一10x+24=0, 解得名1=4，x=6. 3≤x≤5.5，.x=4 故牙膏的销售单价应定为4元 (3)该超市的日均销售利润不能达到13万元.理由 如下： 假设该超市的日均销售利润能达到13万元，根据题 意，得(x-3)(-3x+21)=13, 整理，得3x-30x十76=0. ,△=900-4×3×76=-12<0. ,原方程没有实数根， 假设不成立，即该超市日均销售利润不能达到13 万元 12.解：(1)设从年初到现在该品牌篮球售价平均每次降 价的百分率为x 依题意，得150(1-x)2=96, 解得=0.2=20%，x=1.8(不符合题意，舍去). 故从年初到现在该品难篮球售价平均每次降价的百 分率为20%. (2)乙店买十送一，设只需在乙店购买m个篮球 依题意，得器十m=150,解得m=1500 11 136<1500<137, 11 ∴只需在乙店购买137个篮球， 在甲店购买所需费用为96×0.9×150=12960（元）， 在乙店购买所需费用为96×137-13152（元）. :12960<13152,.去甲店购买合算. 本章小结 1.A2.A3.C4.B5.16 6.解：x=一1是一元二次方程x十ax+b=0的一 个根， ,.1-a十b=0,,.a-b=1 ,∴.a2+b-2ab-2 177 上册参考答案 =(a-b)产-2 =-1. 7.解：1)移项，得81x2=1, 两边同案以81，得广一守 两边开平方，得x=士} 6函=日%=- 1 (2)移项，得x(2x一3)-(4x-6)=0, 因式分解，得(x一2)(2x一3)=0， ,x-2=0或2x-3=0, -2-号 (3)移项，得x2-4x=21, 配方，得x°-4x十4=25，即(x-2)2=25, 两边开平方，得x一2=士5， ,x1=7,xg=一3， (4)整理，得3x2一11x+9=0. △=121-4×3×9=13， “x=11±13 6 =11+压，5-11-13 6 8.A9.B10.B11.212.-4 13.直角三角形14.10% 15.解：设在两轮传染过程中，平均1人会传染给x个 人，则第一轮传染中有2x个人被传染，第二轮传染 中有(2十2x)x个人被传染 根据题意，得2+2x十(2十2x)x=8, 整理，得(1十x)=4, 解得无=1，x=一3（不符合题意，舍去）. 故在两轮传染过程中，平均1人会传染给1个人， 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 1.C2言3A 4.部：(1)随机 (2)画树状图如图， 开提 由树状图可知，所有可能的结果共有12种，且每种结 果出现的可能性相等，其中甲、丁2名同学都被选为 宜传员的结果有2种， “甲，丁2名同学都被选为宜传员的橱率是品= 126 5号6A7 8.解：(1)嘉洪走到十字道口A向北走的概率为3 178 数学九年级BS版 (2)补全树状图如图. 道行A 下一道口 左右 站果朝向 西南北 南东西 北西东 共有9种等可能的结果，嘉祺经过两个十字道口后向 西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参 观的结果有2种，向东参观的结果有2种，∴向西参观 的瓶率为}-}，向南参观的概率一向北参观的概率 三向东参观的概率二号，∴嘉洪经过两个十字道口后 向西参观的概率较大 9.解：(1)根据题意，列表如下： 1 2 ￥ 5 1 1,1)(1.2)1,3)(J,4) (1,5) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 3 (3,1)(3,2) (3,3)(3,4) (3,5 (4,1)(4,2)(4,3)(4,4) (4,5) (5,1)(5.2)(5,3)(5,4)(5,5) (2)根据表格可知，他们写和猜的数字相同的清况一 共有5种，赐能们心灵相通“的概率为务-号 (3)根据题意，所有满足条件的事件如下： ①若a=1,则6=1,2；②若a=2,则6=1,2,3：③若a =3,则b=2,3,4:④若a=4,则b=3,4,5:⑤若a=5, 则b=4,5 由上述可知，共有2+3+3+3+2=13（种）结果， 能们公有灵星“的瓶率为是 第2课时判断游戏是否公平 1.C2.C 3.解：由题意，列表如下： 2 5 4 5 1 (1,1)(1,2)(1,3)1,40(1,5 2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) 由表可知，共有10种等可能的结果，其中两球编号之 和为奇数的结果有5种，两球编号之和为偶数的结果 也有5种， P代小冰获隆)-品-合，P小雪获生一。-是 .P(小冰获胜)=P(小雪获胜)，∴游戏对双方公平 4.D 5.解：(1)根据题意，面树状图如图 开她