《3.1勾股定理（二）》导学案 暑假预习手册22-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册22-《3.1勾股定理（二）》 ( 一．预习 目标 1.了解勾股定理证明的多种思路和方法，体会数学中的数形结合思想。 2.能够理解并掌握至少一种勾股定理的证明过程，提升逻辑推理能力。 3.初步学会运用勾股定理的证明思路去解决一些简单的数学问题或解释相关几何现象 。 ) ( 一、 预习内容 【 复习回顾 】 （1） 回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a 2 +b 2 =c 2 。 （2） 思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 方法一：赵爽弦图 1. 历史背景 ：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。 赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2. 探究赵爽弦图的思路与方法 3. 原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4. 证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为 ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b) 2 ，大正方形面积为c 2 ，可得2ab+(a - b) 2 =c 2 ，化简后得到 2 a+b 2 =c 2 ，从而证明了勾股定理。 c 2 ＝ ab × 4＋(b－a) 2 ＝2ab＋a 2 －2ab＋b 2 ＝a 2 ＋b 2 . ) ( 方法二：毕达哥拉斯的证明 毕达哥拉斯（古希腊数学家）对勾股定理的证明是基于图形面积的等量关系，核心思路是通过构造全等图形，利用面积守恒推导直角三角形三边关系 。 证明步骤 ： （ 1 ） .构造图形：以直角三角形的三条边为边长，分别向外作三个正方形，设直角边为a、b，斜边为c，三个正方形的面积分别为a ² 、b ² 、c ² 。 （ 2 ） .分割与全等：将以斜边c为边的正方形分割成若干部分，通过几何变换（如平移、旋转）证明：分割后图形的总面积等于以a、b为边的两个正方形面积之和。 （ 3 ） .结论推导：由于图形面积不变，因此得出a ² + b ² = c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c 2 ＝(a＋b) 2 － ab × 4＝a 2 ＋2ab＋b 2 －2ab＝a 2 ＋b 2 . 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为 “ 毕达哥拉斯定理 ” 。 方法三：总统 法（总统巧证勾股定理） 美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 证明步骤 ： （1） 构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 （2） 计算梯形面积：梯形面积公式为： S 梯形 = (a + b)(a + b)。   计算三个三角形的总面积：2 × ab + c 2 = ab + c 2 。 （3） 等式推导：梯形面积等于三个三角形面积之和， (a + b)(a + b) = ab + c 2 a ² + b ² = c ² ) ( 方法 四 ：青朱出入图（无字的证明） 1. 历史背景 “ 青朱出入法 ” 是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的 “ 出入相补 ” （即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 【 小结 】 ：勾股定理的证明分两种 第一种类型：等面积 两算法 以赵爽的 “ 弦图 ” 为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型：无字证明 以刘徽的 “ 青朱出入图 ” 为代表， “ 无字证明 ” 。 ) ( 三．经典例题 例1. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时 ∠ FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a 2 +b 2 =c 2 . 例2. 将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放, ∠ ACB= ∠ DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =S △ABD +S △BCD ,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. ) ( 例3. 小明从家出发向正东方向走了60 m,接着向正北方向走了80 m,这时小明离出发点多远? 例4 .如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1 ，S 2 ，S 3 ，且S 1 ＝4，S 3 ＝16，则S 2 ＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 2 . 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形 拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF 2 的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 3.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 4.1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S △EDA ＝S △CEB B．S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCD C．S △EDA +S △CEB ＝S △CDE D．S 四边形AECD ＝S 四边形DEBC ) ( 5.如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b） 2 的值是（　　） A．13 B．25 C．33 D．144 6 .在Rt△ 中， ， ，则 （ ） A．9 B．18 C．20 D．24 7 .如图，在 中， ，正方形 的面积分别为25和144，则 的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 8 .图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 9 . 如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（   ）个. ①S A +S B +S C +S D =49； ②S E +S F =49； ③S A +S B +S F =49； ④S C +S D +S E =49 A．1 B．2 C．3 D．4 （二）填空题 10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边长的正方形面积为________． 1 1 . 如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 与点 重合，得折痕 ，则 的周长等于____cm． ) ( 1 2 . 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 1 3 . 如图直线 上有三个正方形 ， ， ，若 ， 的面积分别为 和 1 ，则 的面积为 ______ 1 4 . 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB²+BC²+AC²= _________ （ 三）解答题 15. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a 2 +b 2 =c 2 . 16 .细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于 的长度； （4）你能计算出 的值吗？ ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 2 ．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A．（a+b） 2 ＝c 2 B．（a ﹣ b） 2 ＝c 2 C．a 2 +b 2 ＝c 2 D．a 2 ﹣ b 2 ＝c 2 3 .在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 4 .四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 5 .如图,在△ABC中, ∠ C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN ⊥ AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 6 .如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S 1 ,S 2 ,则S 1 +S 2 的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 7 ．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞ a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　） A．b 2 + （b﹣a） 2 B．b 2 + a 2 C．（b + a） 2 D．a 2 + 2ab ) ( 8 ． 根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 9 ．如图在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲 ，S 乙 ，S 丙 ，S 丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 1 0 ．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ．若S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＝18，则S 2 的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 二．填空题 1 1 ．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a + b） 2 的值为 　　 ． 1 2 ．如图，Rt △ ABC的周长为 ，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm 2 ，则 △ ABC的面积是 　　 cm 2 ． 13. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 .若正方形EFGH的边长为4,则S 1 +S 2 +S 3 = 　　　　 .( )  图① 图② ) ( 1 4 ． 如图是“赵爽弦图” ， △ ABH， △ BCG， △ CDF 和△DAE是四个全等的直角三角形 ， 四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形．如果AB＝10 ，EF ＝2 ， 那么AH等于________． 1 5 ．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 16 .如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 、正方形 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 17 .用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为 　 　 ． 1 8 .如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于 　 　 ． 1 9 .把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 　 　 ． 20 .如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ， 则S 1 +S 2 +S 3 =________. ) ( 三．解答题（60分） 2 1 ．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a 2 +b 2 ＝c 2 ； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b） 2 的值． 22 .(1)我国著名的数学家赵爽早在公元3世纪就把一个长方形分成四个全等的直角三角形,用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图 ① ),这个正方形称为赵爽弦图,验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中,两直角边a、b与斜边c满足关系式:a 2 +b 2 =c 2 ,称为勾股定理. 证明: ∵ 大正方形的面积表示为S=c 2 ,又可表示为S= 　　　　　　　　　 ,  ∴ 　　　　　　　　　　 =c 2 ,  ∴ 　　　　　　　 ,  即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图 ② ),也能验证这个结论,请你帮助小明完成验证的过程; (3)如图 ③ 所示, ∠ ABC= ∠ ACE=90°,请你添加适当的辅助线证明结论a 2 +b 2 =c 2 . 2 3 ．在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH ⊥ AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC=3 ，BC=2 ，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC 2 + BC 2 =AB 2 ． ) ( 24 .勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1) ① 请叙述勾股定理; ② 勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2) ① 如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S 1 +S 2 =S 3 的有 　　　　 个.  ② 如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1 ,S 2 ,直角三角形面积为S 3 ,请判断S 1 ,S 2 ,S 3 的关系并证明. 25 ．在学习勾股定理时，我们学会运用图（ Ⅰ ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b） 2 ，也可表示为c 2 +4 × ab，即（a+b） 2 ＝c 2 +4 × ab．由此推出勾股定理a 2 +b 2 ＝c 2 这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（ Ⅱ ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（ Ⅲ ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y） 2 ＝x 2 +2xy+y 2 ． 26. (1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； (2)如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点共线，试证明∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册22-《3.1勾股定理（二）》 ( 一．预习 目标 1.了解勾股定理证明的多种思路和方法，体会数学中的数形结合思想。 2.能够理解并掌握至少一种勾股定理的证明过程，提升逻辑推理能力。 3.初步学会运用勾股定理的证明思路去解决一些简单的数学问题或解释相关几何现象 。 ) ( 一、 预习内容 【 复习回顾 】 （1） 回忆勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a 2 +b 2 =c 2 。 （2） 思考勾股定理适用的条件，明确只适用于直角三角形，且揭示了直角三角形三边的数量关系。 勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。 方法一：赵爽弦图 1. 历史背景 ：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。 赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 2. 探究赵爽弦图的思路与方法 3. 原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 4. 证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为 ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b) 2 ，大正方形面积为c 2 ，可得2ab+(a - b) 2 =c 2 ，化简后得到 2 a+b 2 =c 2 ，从而证明了勾股定理。 c 2 ＝ ab × 4＋(b－a) 2 ＝2ab＋a 2 －2ab＋b 2 ＝a 2 ＋b 2 . ) ( 方法二：毕达哥拉斯的证明 毕达哥拉斯（古希腊数学家）对勾股定理的证明是基于图形面积的等量关系，核心思路是通过构造全等图形，利用面积守恒推导直角三角形三边关系 。 证明步骤 ： （ 1 ） .构造图形：以直角三角形的三条边为边长，分别向外作三个正方形，设直角边为a、b，斜边为c，三个正方形的面积分别为a ² 、b ² 、c ² 。 （ 2 ） .分割与全等：将以斜边c为边的正方形分割成若干部分，通过几何变换（如平移、旋转）证明：分割后图形的总面积等于以a、b为边的两个正方形面积之和。 （ 3 ） .结论推导：由于图形面积不变，因此得出a ² + b ² = c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c 2 ＝(a＋b) 2 － ab × 4＝a 2 ＋2ab＋b 2 －2ab＝a 2 ＋b 2 . 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为 “ 毕达哥拉斯定理 ” 。 方法三：总统 法（总统巧证勾股定理） 美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 证明步骤 ： （1） 构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 （2） 计算梯形面积：梯形面积公式为： S 梯形 = (a + b)(a + b)。   计算三个三角形的总面积：2 × ab + c 2 = ab + c 2 。 （3） 等式推导：梯形面积等于三个三角形面积之和， (a + b)(a + b) = ab + c 2 a ² + b ² = c ² ) ( 方法 四 ：青朱出入图（无字的证明） 1. 历史背景 “ 青朱出入法 ” 是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的 “ 出入相补 ” （即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 【 小结 】 ：勾股定理的证明分两种 第一种类型：等面积 两算法 以赵爽的 “ 弦图 ” 为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系； 第二种类型：无字证明 以刘徽的 “ 青朱出入图 ” 为代表， “ 无字证明 ” 。 ) ( 三．经典例题 例1. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置,连接CF,此时 ∠ FAC=90°,AB=a,BC=b, AC=c.请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理:a 2 +b 2 =c 2 . 【 解析 】因为S 梯形BCFG =S △AFG +S △AFC +S △ACB = ab+ c 2 + ab=ab+ c 2 , S 梯形BCFG = ·(FG+BC)·BG= (a+b)(a+b)= a 2 +ab+ b 2 , 所以ab+ c 2 = a 2 +ab+ b 2 , 整理得a 2 +b 2 =c 2 . ) ( 例2. 将两个全等的直角△ABC与直角△DAE按如图方式摆放, ∠ ACB= ∠ DEA=90°, BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c.连接BD,过点D作BC延长线的垂线,垂足为F,容易得出S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =S △ABD +S △BCD ,请用含a,b,c的式子表示出上面四个三角形的面积,完成勾股定理的证明. 【解析】S △ABC = BC·AC= ab,S △ACD = AC·DE= b 2 ,S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD = ab+ b 2 ,因为 ∠ ACB=90°,所以 ∠ BAC+ ∠ ABC=90°,在△ABC和△DAE中, 所以△ABC ≌△ DAE,所以 ∠ ABC= ∠ DAE,所以 ∠ BAC+ ∠ DAE=90°,即 ∠ BAD=90°,因为 ∠ ACB= ∠ DEA=90°,所以DE ⊥ AC,AC ⊥ BC,因为DF ⊥ BF,所以四边形CEDF是矩形,所以DF=CE=AC-AE=b-a,所以S △ABD = AB·AD= c 2 ,S △BCD = BC·DF= ×a×(b-a)= ab- a 2 ,S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD = c 2 + ab- a 2 , 所以 ab+ b 2 = c 2 + ab- a 2 ,所以a 2 +b 2 =c 2 . 例3. 小明从家出发向正东方向走了60 m,接着向正北方向走了80 m,这时小明离出发点多远? 【解析】如图,由题意得:AO=60 m,AB=80 m,OA ⊥ AB,所以 ∠ OAB=90°, 在Rt△OAB中,由勾股定理得,OB 2 =OA 2 +AB 2 =60 2 +80 2 =10 000,所以OB=100 m, 所以这时小明离出发点100 m. 例4 .如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 【解析】(1)设AB=x米,因为AB+AC=16米,所以AC=(16-x)米,在Rt△ABC中, ∠ ABC=90°,BC=8米,由勾股定理得:AC 2 =AB 2 +BC 2 ,即(16-x) 2 =x 2 +8 2 ,解得x=6. 答:旗杆在离底部6米的位置断裂. (2)如图,过点B作BD ⊥ AC于点D,则 = AC·BD= AB·BC,所以AC·BD=AB·BC,由(1)可知,AC=16-6=10(米),所以BD= = =4.8(米). 答:点B到AC的距离为4.8米. ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1 ，S 2 ，S 3 ，且S 1 ＝4，S 3 ＝16，则S 2 ＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 【答案】B 【解析】由勾股定理得，AC 2 ＝AB 2 ﹣BC 2 ＝16﹣4＝12， 则S 2 ＝AC 2 ＝12， 故选：B． 2 . 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形 拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF 2 的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 【答案】C 【解析】∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时， ∴小正方形的边长＝24﹣10＝14， ∴EF 2 ＝14 2 +14 2 ＝392， 故选：C． 3.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、∵ ab c 2 ab （a+b）（a+b）， ∴整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、∵4× ab+c 2 ＝（a+b） 2 ， ∴整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 、∵4× ab+（b﹣a） 2 ＝c 2 ， ∴整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 4.1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S △EDA ＝S △CEB B．S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCD C．S △EDA +S △CEB ＝S △CDE D．S 四边形AECD ＝S 四边形DEBC ) ( 【答案】B 【解析】根据勾股定理可得：S △EDA +S △CDE +S △CEB ＝S 四边形ABCD ．故选：B． 5.如图，是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b） 2 的值是（　　） A．13 B．25 C．33 D．144 【答案】C 【解析】根据题意，结合勾股定理a 2 +b 2 ＝17，四个三角形的面积＝4× ab＝17﹣1，∴2ab＝16，联立解得：（a+b） 2 ＝17+16＝33．故选：C． 6 .在Rt△ 中， ， ，则 （ ） A．9 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【解析】∵Rt△ 中， ， ，∴ 2 =18故选B. 7 .如图，在 中， ，正方形 的面积分别为25和144，则 的长度为（ ） A．13 B．169 C．12 D．5 【答案】A 【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC 2 +BC 2 =AB 2 ，又∵AC 2 =144，BC 2 =25， ∴AB 2 =25+144=169，∴AB= =13． 故选：A． 8 .图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 【答案】C 【解析】依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x 2 =12 2 +5 2 =169， 解得x=13． 故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76． 故选C． 9 . 如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（   ）个. ①S A +S B +S C +S D =49； ②S E +S F =49； ③S A +S B +S F =49； ④S C +S D +S E =49 A．1 B．2 C．3 D．4 ) ( 【答案】D 【解析】如图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形E的面积．正方形C与D的面积和等于正方形F的面积．并且正方形E与F的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=7 2 =49．所以4个选项都正确故选：D （二）填空题 10 . 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边长的正方形面积为________． 【答案】25 【解析】 由勾股定理得：AB= =5，所以以AB为边长的正方形的面积为5 2 =25．故答案为25． 1 1 . 如图，在 中， ， ， ，将 折叠，使点 与点 重合，得折痕 ，则 的周长等于____cm． 【答案】7 【解析】 在 中， ， ， ，由勾股定理，得 ，由翻折的性质，得 ， 的周长为 7（cm）． 1 2 . 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 【答案】81 【解析】 两个阴影正方形的面积和为15 2 -12 2 =81，故答案为81. 1 3 . 如图直线 上有三个正方形 ， ， ，若 ， 的面积分别为 和 1 ，则 的面积为 ______ 【答案】 16 【解析】 由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC 2 =AB 2 +BC 2 =AB 2 +DE 2 ，即S b =S a +S c =11+5=16． 1 4 . 在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB²+BC²+AC²= _________ 【答案】 2 【解析】本题考查的是勾股定理的定义根据勾股定理的定义即可得到结果． ) ( 根据勾股定理得 ，所以 ， （ 三）解答题 15. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明a 2 +b 2 =c 2 . 解 ： ∵大正方形的面积为c 2 ,一个直角三角形的面积为 ab,小正方形的面积为(b-a) 2 , ∴c 2 =4× ab+(b-a) 2 =2ab+b 2 -2ab+a 2 , 即a 2 +b 2 =c 2 . 16 .细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题： ； ； ； ……， （1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述变化规律； （2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为： ； （3）利用上面的结论及规律，请作出等于 的长度； （4）你能计算出 的值吗？ 解：（1） ； ； ； ……，由此规律得 ； （2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （3） 是直角边为1的等腰直角三角形的斜边长， 是直角边分别为1、 的直角三角形的斜边长， 是直角边分别为1、 的直角三角形的斜边长，……；据此规律， 是直角边分别为1、 的直角三角形的斜边长，如图，线段 的长度就是 ， （4） ． ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　） A． B． C． D． 【 答案 】C 【 解析 】A、 ∵ +c 2 + ab＝ （a+b）（a+b）， ∴ 整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、 ∵ 4 × +（b ﹣ a） 2 ＝c 2 ， ∴ 整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、 ∵ 4 × +c 2 ＝（a+b） 2 ， ∴ 整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C． 2 ．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（　　） A．（a+b） 2 ＝c 2 B．（a ﹣ b） 2 ＝c 2 C．a 2 +b 2 ＝c 2 D．a 2 ﹣ b 2 ＝c 2 【 答案 】C 【解答】根据题意得：S＝ （a+b）（a+b），S＝ ab+ ab+ c 2 ， ∴ （a+b）（a+b）＝ ab+ ab+ c 2 ，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c 2 ，整理得：a 2 +b 2 ＝c 2 ．故选：C． 3 .在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用如图所示的图形,验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律,它体现的数学思想是(　　) A.统计思想　 B.分类思想 C.数形结合思想 　D.函数思想 【 答案】 C　 【 解析】 由图形关系转化为数量关系,体现数形结合思想,故选C. 4 .四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间空出的部分是一个小正方形,这样就组成了一个“赵爽弦图”(如图),大正方形的面积为13,小正方形的面积为1,则组成弦图的每个小直角三角形的两条直角边边长的和为(　　) A.5　　　　B.7　　　　C.25　　　　D.3 【 答案】 A　 【 解析】 设小直角三角形的两条直角边的边长分别为a、b,由题意可得 ab×4=13-1,a 2 +b 2 =13, ∴ ab=6, ∴ (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 =(a 2 +b 2 )+2ab=13+2×6=13+12=25, ∴ a+b=5或a+b=-5(舍去),故选A. ) ( 5 .如图,在△ABC中, ∠ C=90°,M是AB的中点,点N在AC上,MN ⊥ AB,若AC=8,BC=4,则NC的长为(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 【 答案】 C　 【 解析】 如图所示,连接BN, ∵ M为AB的中点,MN ⊥ AB, ∴ AN=BN,设NC=x,则AN=BN=AC-NC =8-x, ∵∠ C=90°, ∴ CN 2 +BC 2 =BN 2 , ∴ x 2 +4 2 =(8-x) 2 ,解得x=3, ∴ NC=3,故选C. 6 .如图所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S 1 ,S 2 ,则S 1 +S 2 的值等于(　　) A.2π　　　　B.4π　　　　C.8π　　　　D.16π 【 答案】 A　 【 解析】 在Rt△ABC中,AB 2 =AC 2 +BC 2 =4 2 =16,S 1 = π= ·AC 2 ,S 2 = π= ·BC 2 , ∴ S 1 +S 2 = (AC 2 +BC 2 )= ×16=2π.故选A. 7 ．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b ＞ a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　） A．b 2 + （b﹣a） 2 B．b 2 + a 2 C．（b + a） 2 D．a 2 + 2ab 【 答案 】 A 【解答】 ∵ DE=b﹣a，AE=b， ∴ S 四边形ABCD =4S △ ADE + a 2 =4 × × （b﹣a）•b=b 2 + （b﹣a） 2 ．故选：A． 8 ． 根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 ) ( 【 答案】 B 【解答】解：由图1可得，a 2 ﹣ b 2 ＝（a+b）（a ﹣ b），即图1可以说明平方差公式； 由图2可得，（a+b） 2 ＝ ab × 4+c 2 ，化简，得：a 2 +b 2 ＝c 2 ，即图2可以说明勾股定理； 故选：B 9 ．如图在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲 ，S 乙 ，S 丙 ，S 丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【 答案 】 ．D 【 解析】 连接AC，由勾股定理得AB 2 +BC 2 =AC 2 ，AD 2 +CD 2 =AC 2 ，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 1 0 ．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ．若S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＝18，则S 2 的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 【 答案 】 B 【解析】 ：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S 1 =（CG+DG） 2 =CG 2 +DG 2 +2CG•DG=GF 2 +2CG•DG，S 2 =GF 2 ，S 3 =（NG-NF） 2 =NG 2 +NF 2 -2NG•NF，∴S 1 +S 2 +S 3 =GF 2 +2CG•DG+GF 2 +NG 2 +NF 2 -2NG•NF=3GF 2 =18，∴GF 2 =6， ∴S 2 =6，故选：B 二．填空题 1 1 ．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么（a + b） 2 的值为 　　 ． 【 答案 】 25 【 解析 】根据勾股定理可得a 2 + b 2 =13，四个直角三角形的面积是： ab × 4=13﹣1=12，即：2ab=12 则（a + b） 2 =a 2 + 2ab + b 2 =13 + 12=25．故答案是：25． ) ( 1 2 ．如图，Rt △ ABC的周长为 ，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．若这两个正方形的面积之和为25 cm 2 ，则 △ ABC的面积是 　　 cm 2 ． 【 答案 】 5 【 解析 】如图，a 2 =c 2 + b 2 =25，则a=5．又 ∵ Rt △ ABC的周长为 ， ∴ a + b + c=5 + 3 ， ∴ b + c=3 （cm）． ∴△ ABC的面积= bc= [ （c + b） 2 ﹣（c 2 + b 2 ） ] ÷ 2= [ （3 ） 2 ﹣25 ] ÷ 2=5（cm 2 ）．故答案是：5． 13. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 .若正方形EFGH的边长为4,则S 1 +S 2 +S 3 = 　　　　 .( )  图① 图② 【 答案 】 　48 【 解析 】 　设八个全等的直角三角形较长的直角边的长为a,较短的直角边的长为b, 则S 1 =(a+b) 2 ,S 3 =(a-b) 2 ,a 2 +b 2 =EF 2 =16,∵S 2 =4 2 =16,∴S 1 +S 2 +S 3 =(a+b) 2 +16+(a-b) 2 =2(a 2 +b 2 ) +16=2×16+16=48. 1 4 ． 如图是“赵爽弦图” ， △ ABH， △ BCG， △ CDF 和△DAE是四个全等的直角三角形 ， 四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形．如果AB＝10 ，EF ＝2 ， 那么AH等于________． 【 答案】6 【 解析】 ∵AB＝10 ，EF ＝2 ， ∴ 大正方形的面积是100 ， 小正方形的面积是4 ， ∴ 四个直角三角形面积和为100－4＝96.设AE＝ a，DE ＝b ， 则4× ab＝96 ， ∴ 2ab ＝96 ，a 2 ＋b 2 ＝100 ， ∴ (a＋b) 2 ＝a 2 ＋b 2 ＋2ab＝100＋96＝196 ， ∴ a ＋b＝14. 又 ∵ a－b＝2 ， 解得a＝8 ，b ＝6. ∴ AE ＝8 ，DE ＝6 ， ∴ AH ＝DE＝6. 1 5 ．一株美丽的勾股树如图所示，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是 　 ． 【 答案 】 10 【 解析】 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S 1 ，C、D的面积和为S 2 ，S 1 +S 2 ＝S 3 ，于是S 3 ＝S 1 +S 2 ，即S 3 ＝2+5+1+2＝10．故答案是：10． ) ( 16 .如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 、正方形 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】如图，∵正方形 、正方形 的面积分别为25、144，∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169- ×5×12=169-30=139 故答案为：139． 17 .用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为 　 　 ． 【答案】4 【解析】Rt△ABF中，AB＝10，AF＝8， 由勾股定理得：BF 6， ∴FG＝8﹣6＝2， ∴小正方形EFGH的面积＝2 2 ＝4， 故答案为：4． 1 8 .如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，且AH：AE＝3：4．那么AH等于 　 　 ． 【答案】6 【解析】∵AB＝10，AH：AE＝3：4， 设AH为3x，AE为4x， 由勾股定理得：AB 2 ＝AH 2 +AE 2 ＝（3x） 2 +（4x） 2 ＝（5x） 2 ， ∴5x＝10， ∴x＝2， ∴AH＝6， 故答案为：6． 1 9 .把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为 　 　 ． 【答案】1 【解析】3﹣2＝1， 1×1＝1． 故图2中小正方形ABCD的面积为1． 故答案为：1． 20 .如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ， 则S 1 +S 2 +S 3 =________. ) ( 【答案】 18 【 解析 】 ：过点A作AI ⊥ EH，交HE的延长线于点I， ∴∠ I= ∠ DFE=90°， ∵∠ AEI+ ∠ DEI= ∠ DEI+ ∠ DEF=90°， ∴∠ AEI= ∠ DEF， ∵ AE=DE， ∴△ AEI ≌△ DEF(AAS)， ∴ AI=DF， ∵ EH=EF， ∴ S △AHE =S △DEF ， 同理：S △BDC =S △GFI =S △DEF ， S △AHE +S △BDC +S △GFI =S 1 +S 2 +S 3 =3×S △DEF ， ∵ 正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16， ∴ DE 2 =DF 2 +EF 2 , ∴△ DEF是Rt三角形，且 ∠ DFE=90°， ∴ S △DEF = ×3×4=6， ∴ S 1 +S 2 +S 3 =18.故答案为：18. 三．解答题（60分） 2 1 ．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： （1）试说明：a 2 +b 2 ＝c 2 ； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b） 2 的值． 解：（1）∵大正方形面积为c 2 ，直角三角形面积为 ab，小正方形面积为（b﹣a） 2 ， ∴c 2 ＝4× ab+（a﹣b） 2 ＝2ab+a 2 ﹣2ab+b 2 即c 2 ＝a 2 +b 2 ； （2）由图可知：（b﹣a） 2 ＝3，4× ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b） 2 ＝（b﹣a） 2 +4ab＝3+2×10＝23． 22 .(1)我国著名的数学家赵爽早在公元3世纪就把一个长方形分成四个全等的直角三角形,用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图 ① ),这个正方形称为赵爽弦图,验证了一个非常重要的结论:在直角三角形中,两直角边a、b与斜边c满足关系式:a 2 +b 2 =c 2 ,称为勾股定理. 证明: ∵ 大正方形的面积表示为S=c 2 ,又可表示为S= 　　　　　　　　　 ,  ∴ 　　　　　　　　　　 =c 2 ,  ∴ 　　　　　　　 ,  即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (2)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图 ② ),也能验证这个结论,请你帮助小明完成验证的过程; (3)如图 ③ 所示, ∠ ABC= ∠ ACE=90°,请你添加适当的辅助线证明结论a 2 +b 2 =c 2 . 解 (1) ∵ 大正方形的面积表示为S=c 2 ,又可表示为S=4× ab+(b-a) 2 , ∴ 4× ab+(b-a) 2 =c 2 , ∴ a 2 +b 2 =c 2 , 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.故4× ab+(b-a) 2 ;4× ab+(b-a) 2 ; a 2 +b 2 =c 2 . (2)证明:大正方形的面积= ab×4+c 2 =(a+b)(a+b),整理,得2ab+c 2 =a 2 +b 2 +2ab,即a 2 +b 2 =c 2 ) ( (3)证明:如图,过A作AF ⊥ AB,过E作EF ⊥ AF于F,延长FE交BC的延长线于D,则四边形ABDF是长方形. ∵∠ ACE=90°, ∴∠ ACB+ ∠ ECD=90°. ∵∠ ABC=90°, ∴∠ ACB+ ∠ BAC=90°, ∴∠ BAC= ∠ ECD, ∵∠ B= ∠ D=90°, ∴ △ABC ≌△ CDE(AAS), ∴ CD=AB=b,DE=BC=a, ∴ S 长方形ABDF =b(a+b)=2× ab+ c 2 + (b-a)(a+b), ∴ a 2 +b 2 =c 2 . 2 3 ．在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，以三边为边分别向外作正方形，如图所示，过C作CH ⊥ AB于H，延长CH交MN于点I． （1）如图（1）若AC=3 ，BC=2 ，试通过计算证明：四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2）请利用图（2）证明直角三角形勾股定理：AC 2 + BC 2 =AB 2 ． 解：（1） ∵ 在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，AC=3 ，BC=2 ， ∴ AB= = ， ∴ ， 即 ， ∴ CH= ， ∴ AH= ， ∴ S 四边形AHIN =AH•AN=18， ， ∴ 四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． （2） ∵ 四边形AHIN的面积等于正方形AEFC的面积． ∴ AC 2 =AH•AB，同理可得：BC 2 =BH•AB， ∴ AC 2 + BC 2 =AH•AB + BH•AB=AB 2 ． 24 .勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今. (1) ① 请叙述勾股定理; ② 勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件) (2) ① 如图4、图5、图6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,则这三个图形中面积关系满足S 1 +S 2 =S 3 的有 　　　　 个.  ) ( ② 如图7所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1 ,S 2 ,直角三角形面积为S 3 ,请判断S 1 ,S 2 ,S 3 的关系并证明. 解 ： (1) ① 如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a 2 +b 2 =c 2 . (或者:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方) ② 证明:在题图1中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即c 2 = ab×4+(b-a) 2 ,化简得a 2 +b 2 =c 2 .在题图2中,大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和,即(a+b) 2 =c 2 + ab×4,化简得a 2 +b 2 =c 2 . 在题图3中,梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和,即 (a+b)(a+b)= ab×2+ c 2 , 化简得a 2 +b 2 =c 2 . (2) ① 3. ② S 1 +S 2 =S 3 .证明: ∵ S 1 +S 2 = π + π +S 3 - π , ∴ S 1 +S 2 = π(a 2 +b 2 -c 2 )+S 3 , ∵ a 2 +b 2 =c 2 . ∴ S 1 +S 2 =S 3 . 25 ．在学习勾股定理时，我们学会运用图（ Ⅰ ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b） 2 ，也可表示为c 2 +4 × ab，即（a+b） 2 ＝c 2 +4 × ab．由此推出勾股定理a 2 +b 2 ＝c 2 这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．（1）请你用图（ Ⅱ ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）请你用图（ Ⅲ ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y） 2 ＝x 2 +2xy+y 2 ． 解：（1）大正方形的面积为：c 2 ，中间小正方形面积为：（b ﹣ a） 2 ； 四个直角三角形面积和为：4 × ab；由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，即有：c 2 ＝（b ﹣ a） 2 +4 × ab＝b 2 ﹣ 2ab+a 2 +2ab＝a 2 +b 2 ；（2）如图示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y） 2 ，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x 2 +2xy+y 2 所以有：（x+y） 2 ＝x 2 +2xy+y 2 成立； 2 6 . (1)如图①是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； (2)如图②，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，且B、C、D三点共线，试证明∠ACE＝90°； (3)伽菲尔德(Garfield，1881年任美国第20届总统)利用(1)中的公式和图②证明了勾股定理(1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上)，现请你尝试该发明过程． 解：(1)(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 . (2)证明：∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC＝∠DCE，又∵∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠BCA＋∠DCE＝90°.又B、C、D三点共线，即∠BCD＝180°，∴∠ACE＝90°. (3)证明：∵S Rt△ABC ＝ ab，S Rt△CDE ＝ ab，S Rt△ACE ＝ c 2 ，∴S 梯形ABDE ＝S Rt△ABC ＋S Rt△CDE ＋S Rt△ACE ＝ab＋ c 2 .∵S 梯形ABDE ＝ (a＋b)(a＋b)＝ (a＋b) 2 ，∴ab＋ c 2 ＝ (a＋b) 2 ，由(1)得(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，∴ab＋ c 2 ＝ (a 2 ＋2ab＋b 2 )，∴a 2 ＋b 2 ＝c 2 . ) 学科网（北京）股份有限公司 $$