精品解析：湖北省武汉武昌区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

八年级数学素养调研 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 某中学为响应“全民运动健康年”号召，举办校园跳绳挑战赛，需从八年级（5）班甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加校级决赛．四人在班级预选赛中的成绩统计如下表（单位：个/分钟）： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩 185 180 183 185 方差 1.2 0.8 1 0.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数（为常数，）的图象一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 8. 食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形，，，按如图所示方式放置，点，，在直线上，点，，在轴上．点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图像有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置． 11. 计算的结果是______． 12. 已知一次函数，如果函数值随增大而增大，那么取值范围是___． 13. 小明参加学校举办的“学宪法讲宪法”主题演讲比赛，他的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分，若依次按照，，的百分比确定最终成绩，那么他的最终成绩是______分． 14. 已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为____________． 15. 已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是__________（填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 16. 如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是的中点，连接，，则的最小值是__________． 三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于，连接，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 19. 睡眠和饮水均是影响学生健康的重要因素．为了解学生每日饮水量的情况，某调查组随机调查了某学校部分初中生的每日饮水量（单位：毫升），根据饮水量分成A，B，C，D，E五组，以下是部分数据和不完整的统计图表： 组别 饮水量区间 频数 A 4 B 12 C a D 36 E 8 请结合以上信息完成下列问题： （1）若总调查人数为100人，则______，______； （2）本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在______组； （3）根据《中国居民膳食指南》建议，初中生每日饮水量应达到1500毫升．该校有2000名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生每日饮水量低于1500毫升的人数． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． （1）如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； （2）如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作平行四边形； （2）在图2中，作关于的对称图形； （3）在图3中，E是格点，在上画点F，使． 22. 某工厂生产A，B两种零件，现有钢材490千克．已知生产1个A零件需用钢材3千克，生产1个B零件需用钢材2千克．生产完成后发现钢材用于生产A零件的数量比用于生产B零件的数量多50千克．运输A，B零件到组装厂的运费分别为10元/个和6元/个． （1）工厂计划生产A零件__________个，生产B零件__________个； （2）工厂需将A，B零件共调出150个运往组装厂，若调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍，设A零件调出m个，总运费为w元． ①求w关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若A零件的运费可优惠a元/个（），B零件运费不变，当总运费的最小值为1000元时，求a的值． 23. 如图1，正方形的边长为2，点P，Q分别在边，上，于O． （1）求证：； （2）如图2，以为边作正方形，连接，若，求的长； （3）在（2）的条件下，将正方形绕点B旋转至图3的位置，连接，，求的值． 24. 如图，直线与轴交于点，与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上向点作匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为，求关于的函数关系式； （3）若点是轴上的点，点是坐标平面内的点若以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学素养调研 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的代号涂黑． 1. 能使有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式．根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得 故选A． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简结合选项即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是同类二次根式， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 3. 某中学为响应“全民运动健康年”号召，举办校园跳绳挑战赛，需从八年级（5）班的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加校级决赛．四人在班级预选赛中的成绩统计如下表（单位：个/分钟）： 选手 甲 乙 丙 丁 平均成绩 185 180 183 185 方差 1.2 0.8 1 0.8 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参赛，那么应选的同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查平均数及方差的应用，根据平均成绩和方差选择成绩好且稳定的选手，平均成绩越高越好，方差越小越稳定． 【详解】解：甲和丁的平均成绩均为185，最高；乙180，丙183，故候选为甲、丁； 甲的方差为1.2，丁的方差为0.8，方差越小成绩越稳定，故丁更优， ∴丁的平均成绩最高且方差最小，符合“成绩好且状态稳定”的要求，应选丁， 故选：D． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需根据运算法则逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：选项A：与非同类二次根式，无法合并，故A错误． 选项B：与非同类二次根式，无法合并，故B错误． 选项C：根据二次根式乘法法则，计算得，故C正确． 选项D：根据二次根式除法法则，化简，则，而选项结果为，故D错误． 故选：C． 5. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：A． 6. 一次函数（为常数，）的图象一定经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象的象限位置由k和的符号共同决定，需分析和时的情况，确定无论k如何变化，图象必定经过的象限 【详解】解：①当时，，即图象与y轴交点坐标为 当时，直线从左到右上升， 若则，图象经过第一、二、三象限；若则，图象经过第一、三、四象限； 当时，直线必经过第一、第三象限； ②当时，直线从左到右下降， 由则，图象经过第一、二、四象限； 综上，一次函数图象一定经过第一象限， 故选：A 7. 四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、若，，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若，，不能判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意． 故选：C． 8. 食用油沸点的温度远高于水的沸点温度（）．小明为了用刻度不超过的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 而且，小明发现，烧了时，油沸腾了．你估计这种油沸点的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由表中数据发现油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把x=110代入即可． 【详解】解：设油温与时间的函数关系是y=kx+b， 则，解得 ∴y=2x+10， 当x=110时，y=2×110+10=230． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式． 9. 如图，正方形，，，按如图所示方式放置，点，，在直线上，点，，在轴上．点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质找出点的坐标是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出点、…的坐标，再根据点的坐标的变化即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点B1的坐标为． 当时，， ∴点A2的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 同理可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，…， ∴点的坐标为， 则的坐标为，即． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，直线与函数的图像有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的交点问题，先将函数化为当时，，当时，，当时，，然后画出函数图像，根据函数图像得出答案即可． 【详解】解：对于函数，当时，，当时，，当时，，函数图像，如图所示： 直线一定经过点， 当直线与直线平行时，，直线与函数的图像有且只有一个公共点， 当直线经过点时，，解得：，此时直线与函数的图像有且只有一个公共点， ∴根据图像可知：当时，直线与函数的图像有且只有两个公共点． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定位置． 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知一次函数，如果函数值随增大而增大，那么的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据一次函数的图象与系数的关系得出关于m的不等式，再解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数，函数值y随x增大而增大， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 小明参加学校举办的“学宪法讲宪法”主题演讲比赛，他的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分、80分、60分，若依次按照，，的百分比确定最终成绩，那么他的最终成绩是______分． 【答案】79 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：他的最终成绩是（分）， 故答案为：79． 14. 已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为____________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积． 【详解】解：如图： 在菱形中，，， 对角线互相垂直平分， ，， 在中，， ． ， 故答案为：24． 【点睛】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，主要考查了学生的计算和推理能力． 15. 已知一次函数（，是常数，），正比例函数（是常数，），下列四个结论，其中正确的是__________（填序号）． ①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则； ②若，则一次函数的图象经过第一、二、四象限； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，则平移后的图象对应的函数解析式为； ④若，当时，总是小于，则． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系解答即可． 本题考查了一次函数平行的条件，平移的性质，图象的分布，一次函数与不等式的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则 本结论正确； ②若，且时，则一次函数的图象经过第一、三、四象限； 故本结论错误； ③将一次函数的图象向左平移2个单位长度，得 整理，得函数解析式为； 故本结论正确； ④若，，， 当时，，， ∴经过定点， 当时，总是小于， ∴， ∴． 故本结论正确， 故答案为：①③④． 16. 如图，在等腰中，，，点在上，点在外，，，是中点，连接，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，证明是解题的关键． 在等腰中，求出，延长至，使，连接，，作于，于，证明，可得，从而得到的最小值为的长，即的最小值为，在中，利用直角三角形的性质可得 ，进而得到，再证明四边形是矩形，可得，，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，，作于，于． ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长，即的最小值为， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为： 三、解答题（共8个小题，共72分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则解答即可； （2）根据二次根式的除法解答即可． 本题考查了二次根式的加减混合运算，二次根式的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于，连接，． （1）求证：； （2）请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）或等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，菱形的判定， （1）根据平行四边形的性质得，即可得，再根据可得结论； （2）由（1）可知，即可知四边形是平行四边形，再添加邻边相等或对角线垂直，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：添加或等（答案不唯一） ， 由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 或由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴四边形是菱形． 19. 睡眠和饮水均是影响学生健康的重要因素．为了解学生每日饮水量的情况，某调查组随机调查了某学校部分初中生的每日饮水量（单位：毫升），根据饮水量分成A，B，C，D，E五组，以下是部分数据和不完整的统计图表： 组别 饮水量区间 频数 A 4 B 12 C a D 36 E 8 请结合以上信息完成下列问题： （1）若总调查人数为100人，则______，______； （2）本次抽查的学生每日饮水量的中位数落在______组； （3）根据《中国居民膳食指南》建议，初中生每日饮水量应达到1500毫升．该校有2000名学生，根据抽样调查结果，估计该校学生每日饮水量低于1500毫升的人数． 【答案】（1）40，36 （2）C （3）估计该校学生每日饮水量低于1500毫升的人数为1120人 【解析】 【分析】根据百分比=频数÷样本容量，频数等于频率乘以样本容量计算即可． 根据中位数的定义解答即可． 利用样本估计总体的思想解答即可． 本题考查的是扇形统计图，条形统计图，中位数的计算，用样本估计总体，会计算样本容量，从题目图表中获取有用信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，C组的频数为， ， 解得， 故答案为：40，36． 【小问2详解】 解：根据题意，中位数应该是第50个数据，第51个数据的平均数， A，B两组共16人，C组有40人,50大于16，56大于51， 故一定落在C组， 故答案为：C； 【小问3详解】 解：根据题意，估计该校学生每日饮水量低于1500毫升的人数为： （人）． 答：估计该校学生每日饮水量低于1500毫升的人数为1120人 ． 20. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． （1）如图1，若点P坐标为，直接写出不等式的解集为______； （2）如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据点P的坐标为，得到其横坐标为4，利用数形结合思想，写出不等式的解集为； （2）利用平移的思想解答即可； （3）根据，四边形是平行四边形，得四边形的面积为，根据的面积是平行四边形面积的，得的面积是，根据点P在直线上，设，故， 解答即可． 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集，平移确定解析式，面积的计算，熟练掌握平移和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得点P的坐标为，得到其横坐标为4， 则不等式的解集为； 故答案为：． 【小问2详解】 解：直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 故， 设直线的解析式为， 把代入得， 故直线的解析式为． 【小问3详解】 解：根据题意，直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 则，四边形是平行四边形， 故四边形的面积为， 根据的面积是平行四边形面积的， 得的面积是， 根据点P在直线上， 设， 故， 故或， 故或． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，作平行四边形； （2）在图2中，作关于的对称图形； （3）在图3中，E是格点，在上画点F，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形； （2）将向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到，连接，，取格点Q，连接，并延长，交于点，连接，，则即为所求． （3）取格点T，连接，交于点F，点即为所求，证明都是等腰直角三角形，且，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意，点B向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点C，只需将点A向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到点D，即可得到所求的平行四边形，画图如下： 则平行四边形即为所求． 【小问2详解】 解：将向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到，连接，，取格点Q，连接，并延长，交于点，连接，，则即为所求； ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∴B、A、N三点共线， ∵和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据平移可得：， ∴， ∴为直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴与关于对称， ∴与关于对称． 【小问3详解】 解：取格点T，连接，交于点F，点即为所求， ∵，， ∴，，且， ∴都是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，则点F即为所求． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 22. 某工厂生产A，B两种零件，现有钢材490千克．已知生产1个A零件需用钢材3千克，生产1个B零件需用钢材2千克．生产完成后发现钢材用于生产A零件的数量比用于生产B零件的数量多50千克．运输A，B零件到组装厂的运费分别为10元/个和6元/个． （1）工厂计划生产A零件__________个，生产B零件__________个； （2）工厂需将A，B零件共调出150个运往组装厂，若调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍，设A零件调出m个，总运费为w元． ①求w关于m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若A零件的运费可优惠a元/个（），B零件运费不变，当总运费的最小值为1000元时，求a的值． 【答案】（1）90，110 （2）①，，且为整数 ② 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意得到各数量之间的关系列出方程和不等式是解题的关键． （1）设工厂计划生产A零件x个，生产B零件y个，根据“生产1个A零件需用钢材3千克，生产1个B零件需用钢材2千克．生产完成后发现钢材用于生产A零件的数量比用于生产B零件的数量多50千克”列出方程组，解之即可； （2）①设A零件调出m个，则B零件调出个，根据两种零件的运费即可得到关系式；然后根据“调出的B零件数量不少于A零件数量的2倍以及（1）中两种零件的生成数量”得到不等式组，解之即可得到m的取值范围；②同①得到，根据一次函数的性质和分情况讨论当总运费的最小值为1000元时a的取值即可． 【小问1详解】 解：设工厂计划生产A零件x个，生产B零件y个，则 根据题意，得 解得 ∴工厂计划生产A零件90个，生产B零件110个； 故答案为：90；110． 【小问2详解】 解：①设A零件调出m个，则B零件调出个， 根据题意，得 根据题意，得 解得， ∴w关于m的函数关系式为，其中，且为整数． ②当A零件的运费可优惠a元/个时，则 ， ∵ ∴当，则，此时随的增大而增大， ， 当时，取最小值，则， 解得； 当，则，此时 不成立舍去； 当，则，此时随的增大而减小， 当时，取最小值，则， 解得， 不符合 不成立舍去； 综上所述，当总运费的最小值为1000元时，的值为． 23. 如图1，正方形的边长为2，点P，Q分别在边，上，于O． （1）求证：； （2）如图2，以为边作正方形，连接，若，求的长； （3）在（2）的条件下，将正方形绕点B旋转至图3的位置，连接，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质与垂直的性质证明，从而可得结论； （2） 过点作于．证明，而，，可得，，求解 ，进一步利用勾股定理可得答案； （3） 连接，，，，与交于，记的交点为，证明，可得 ，即，再进一步利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于． ∵ ，， ∴， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：连接，，，，与交于，记的交点为， ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ，即， ∴ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定；正方形的性质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 24. 如图，直线与轴交于点，与直线相交于点． （1）求点的坐标； （2）动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度在线段上向点作匀速运动，连接，设运动时间为秒，的面积为，求关于的函数关系式； （3）若点是轴上的点，点是坐标平面内的点若以为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式求出x、y的值即可得出P点坐标； （2）先求出A点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）分OP为菱形的边与对角线两种情况进行讨论． 【详解】解：（1）解方程组：得 点的坐标为 （2）， （3）如图，当OP为菱形的边时， ∵P（2，2）， ∴OP＝， ∴N1，N2，N3； 当OP为对角线时，设M（0，a）， 则MP＝a，即22＋（2−a）2＝a2，解得a＝， ∴N点的纵坐标＝2， ∴N4． 综上所述：点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到菱形的性质与一次函数的交点问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $