精品解析：江西省景德镇市乐平市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

江西省景德镇市乐平市2024-2025学年七年级下学期 期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故该选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于0.00000002m，0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：； 故选A． 3. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作法和全等三角形的判定．掌握证明三角形全等是关键． 根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案 【详解】解：从角平分线的作法得出，与的三边全部相等， 则． 故选：A． 4. 作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高线，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键 根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：作边上的高，是从顶点出发，引对边的垂线段， 据此，符合题意的是； 故选：D． 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹枝列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（　　）（提示：可过点画的平行线再计算．） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质．过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了用函数图象表示变量之间的关系，根据题意，对照下面四幅图进行比较即可． 【详解】根据题意可知，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水已没过孩童头顶，这时水缸内的水位会上升，司马光急中生智，举起一块大石头砸破水缸，水流出后，孩童得救，此时水位会迅速下降． 所以D比较符合故事情节． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，王红华老师把家里的密码设置成了数学问题．美美同学来家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王红华家里的网络，那么他输入的密码是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的乘法，以及探索规律，数字规律可由前面两个等式发现规律，也是解题的关键．根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母、、的指数组成，依此即可求解． 【详解】解：根据前面两个等式， 王※ 红※ 得出密码规律：由汉字的拼音与化简后、、的指数组成． 华※ 故答案为：． 8. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 【答案】④③②① 【解析】 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②①． 故答案为：④③②①． 9. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 【答案】 ①. ②. 和 ③. 3和1 【解析】 【分析】此题主要考查了常量与变量，规律型：数字变化类，正确得出棋子个数变化规律是解题关键． 解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加 （或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 【详解】解：第一个图需棋子 ； 第二个图需棋子； 第三个图需棋子； 第个图需棋子枚． 其中变量是，常量是 1 和3． 故答案为：． 10. 已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点P作交于点F，由作图可知是的平分线，根据角平分线的性质得，即可求得的面积． 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 由作图可知，是的平分线， ∵，， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 11. 如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．根据图象，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可． 【详解】解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为． 故答案为：24． 12. 如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本小题共5题，每题6分） 13. （1）计算： （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘方的含义，积的乘方，单项式除以单项式，掌握相应的运算的运算法则是解本题的关键； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，化简绝对值，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式，再合并即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 14. 把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 利用三角形内角和定理及，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出度数． 【详解】解：，，， ，， ， ， ， 在中，， 的度数为 ． 15. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A 、B 、C 都在格点上，请用无刻度直尺在给定的网格中作图． （1）图 1 中 （2）在图1的格点中，作点B 关 于的对称点； （3）在图2的格点中，作点D 使得． 【答案】（1） （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）利用网格正方形的轴对称的性质确定即可； （3）利用网格正方形的特点取格点，，，，从而可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，，即为所求； ∵，，， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查的是求解网格三角形的面积，轴对称的性质，全等三角形的作图，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键． 16. 在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图1方式折叠，然后打开，得到图2所示的图形．同学们按照图2画线，然后沿实线将正方形分割成如图3所示的七块区域，并按①～⑦进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． （1）如果区域⑥对应的周长为3，是区域⑦的周长为 　 　． （2）下列说法正确的是 　 　． A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 （3）宝藏被藏在区域⑥的概率为 　 　． 【答案】（1）3 （2）D （3） 【解析】 【分析】（1）根据区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长，得出区域⑦的周长等于区域⑥的周； （2）根据概率的意义对选项进行逐一判断； （3）由图可知，区域⑥的面积是大正方形面积的，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由图2可知，区域⑥是平行四边形，该平行四边形相邻两边中，较短的边长是区域⑦斜边长的一半，较长的边长是区域⑦直角边的长， ∴区域⑦的周长等于区域⑥的周长， ∵区域⑥对应的周长为3， ∴区域⑦对应的周长为3， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：A．找到宝藏的概率跟所选择区域的形状无关，找到宝藏的概率跟所选择区域的面积有关，故该选项错误； B．区域③可能找到宝藏，故该选项错误； C．在区域①能找到宝藏的事件是随机事件，所以改选项错误； D．因为区域④⑥⑦的面积相同，都是大正方形面积的，所以在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同，故该选项正确， 故选：D； 【小问3详解】 解：由图可知，区域⑥的面积是大正方形面积的，所以在区域⑥的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠与剪拼，几何概率的应用等知识，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键． 17. 如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． （1）试说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． （1）先证明，即可证明； （2）由，得到，，由是中点，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， 中点， ， ， ， ， 即的长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是_________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是_________cm2 项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________ 【答案】（1）见解析；（2）C；（3）900；（4）在轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变化，全等三角形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 任务一：根据轴对称变换的性质作出图形； 任务二：利用轴对称图形的性质判断即可； 任务三：四边形的面积等于对角线乘积的一半； 小结：根据轴对称图的性质解决问题． 【详解】解：（1）任务一：图形如图所示： （2）任务二：∵，，． ∴，是的垂直平分线； ∴，即平分，故A选项结论正确，不合题意； ，故D选项结论正确，不合题意； ∴故B选项结论正确，不合题意； 与不一定正确. 故C选项结论不正确，符合题意； 故选：C． （3）任务三：四边形的面积． 故答案为：900； （4）项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 故答案为：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分． 19. 为了了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了_______名同学； （2）补全条形统计图； （3）估计该校名同学中喜爱足球活动的人数； （4）经调查发现，“喜欢跑步”的5名同学中，有3名男同学和2名女同学，若从这5名同学中随机抽取一名参加课外活动总结会，则恰好抽到一位女同学的概率为______． 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，概率公式，样本估计总体，掌握样本百分比估算总体数量的计算，概率的计算是关键． （1）根据跑步的人数，百分比进行计算即可； （2）由样本容量得到足球的人数，由此即可补全条形统计图； （3）根据样本百分比估算总体数量的计算即可； （4）根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴在这次问卷调查中，一共抽查了名同学， 故答案为：； 【小问2详解】 解：样本容量为， ∴足球的人数为（人）， ∴补全条形统计图如下， 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校名同学中喜爱足球活动的人数约为人； 【小问4详解】 解：有5名同学，其中女生有2名， ∴恰好抽到一位女同学的概率为， 故答案为：． 20. 填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FGBC，交直线AB于点G．如图，且∠ABC＝45°． 求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD； ①证明：∵AD，BE为高 ∴∠ADB＝∠BEC＝90° ∵∠ABC＝45° ∴∠BAD＝∠　 　＝45° ∴AD＝　 　； ∵∠BEC＝90° ∴∠CBE+∠C＝90°（ 　 　） 又∵∠DAC+∠C＝90° ∴∠CBE＝∠DAC（ 　 　） 在△FDB和△CDA中， ∵∠FDB＝∠CDA＝90°， AD＝BD ∠CBE＝∠DAC ∴△FDB≌△CDA（ 　 　） ②∵△FDB≌△CDA， ∴DF＝DC（ 　 　） ∵GFBC ∴∠AGF＝∠ABC＝45°，（ 　 　） ∴∠AGF＝∠　 　， ∴FA＝FG； ∴FG+DC＝FA+DF＝AD． 【答案】①见解析；②见解析 【解析】 【分析】①利用等角对等边可得AD=BD，根据余角的性质证明∠CBE=∠DAC，最后利用ASA证明△FDB≌△CDA； ②由△BDF≌△ADC可证得DF=DC，根据AD=AF+FD，可得AD=AF+DC；再由GF∥BD，∠ABC=45°，可证得AF=GF，最后得出FG+DC=AD． 【详解】解：①证明：∵AD，BE为高． ∴∠ADB=∠BEC=90°． ∵∠ABC=45°， ∴∠BAD=∠ABD=45°． ∴AD=BD． ∵∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=90°（三角形的内角和定理）． 又∵∠DAC+∠C=90°， ∴∠CBE=∠DAC（同角的余角相等）． △FDB和△CDA中， ， ∴△FDB≌△CDA（ASA）． ②∵△FDB≌△CDA， ∴DF=DC（全等三角形的对应边相等）． ∵GF∥BC， ∴∠AGF=∠ABC=45°（两直线平行，同位角相等）． ∴∠AGF=∠FAG． ∴FA=FG． ∴FG+DC=FA+DF=AD． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的运用，解题时注意：利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． （1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ； （2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ； （3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； （4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3）25 （4） 【解析】 【分析】（1）根据图形，用两种方法列出等式即可解答； （2）根据图形，用两种方法列出等式即可解答； （3）直接运用（2）所得结论即可解答； （4）先列式表示出阴影部分的面积，然后再整理，将相关数据代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：大长方形的面积为 也可以表示为， 所以． 故答案为． 【小问2详解】 解：根据题意可知：图形的面积为， 图形的面积也可以表示为， 所以． 故答案． 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴． 【小问4详解】 解：由题意可知，阴影部分的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式、列代数式等知识点，灵活运用完全平方公式进行解题是解答本题的关键． 22. 甲骑电动车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为（）与甲行驶的时间为（）之间的关系如图所示． （1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． （2）以下是点、点、点所代表的实际意义，请将、、填入对应的横线上． ①甲到达终点 ．②甲乙两人相遇 ．③乙到达终点 ． （3）两地之间的路程为 千米； （4）求甲、乙各自的速度； （5）求甲出发多少小时后甲、乙两人相距180千米． 【答案】（1）甲行驶的时间；甲、乙两人间的距离 （2）①；②；③ （3）240 （4）甲的速度是40千米/时，乙的速度是80千米/时 （5）小时或小时 【解析】 【分析】本题考查函数图象在实际问题中的应用，正确理解图象各点意义、熟练把握行程问题各量的关系是解题关键． （1）根据函数的定义可得答案； （2）甲到达终点时S应该最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时S为0；乙到达终点时S不算最大，因为此时甲还没有到达终点．据此三点可得答案． （3）由（2）中S的最大值即为两地之间的路程． （4）由（2）可得甲、乙的行驶时间，再根据速度=路程÷时间可以得到求解． （5）根据路程差÷速度=时间差可以得解． 【小问1详解】 解：根据函数的定义可得：在上述变化过程中，自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人间的距离； 【小问2详解】 由图象可知①P为甲到达终点时，②M为甲乙两人相遇时，③N为乙到达终点时． 【小问3详解】 根据函数图象和图象中的数据可知甲、乙两人间的最大距离为240千米，所以AB两地之间路程为240千米． 【小问4详解】 由（1）可得甲、乙的行驶时间分别为和， 所以甲的速度是：，乙的速度是：； 【小问5详解】 ①相遇之前：（小时） ②相遇之后：（小时）． ∴甲出发小时或小时后甲、乙两人相距180千米． 六、解答题（本大题12分） 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），，证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2024-2025学年七年级下学期 期末考试数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温，气凝胶是一种具有纳米多孔结构的新型材料，颗粒尺寸通常小于0.00000002m，0.00000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明和的全等的依据是（ ） A B. C. D. 4. 作的边上的高，下列作法中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹枝列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（　　）（提示：可过点画的平行线再计算．） A. B. C. D. 6. 《宋史·司马光传》中记载：群儿戏于庭，一儿登瓮，足跌没水中．众皆弃去，光持石击瓮破之，水迸，儿得活．下面各图比较符合故事情节是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，王红华老师把家里的密码设置成了数学问题．美美同学来家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王红华家里的网络，那么他输入的密码是_______． 8. 投掷一枚形状规则、质地均匀骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 9. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图形的棋子数______（用含n的式子表示），其中变量是______，常量是______． 10. 已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是______． 11. 如图1，底面积为的空长方体容器内水平放置着由两个实心圆柱体组成的“几何体”，现向容器内均匀注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间t之间的关系如图2所示，若“几何体”下方圆柱体的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的底面积为__________． 12. 如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为__________． 三、解答题（本小题共5题，每题6分） 13. （1）计算： （2）计算：． 14. 把一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，，求的度数． 15. 如图在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点A 、B 、C 都在格点上，请用无刻度直尺在给定的网格中作图． （1）图 1 中 （2）在图1的格点中，作点B 关 于的对称点； （3）在图2的格点中，作点D 使得． 16. 在综合与实践课上，同学们想运用数学知识设计一个寻宝游戏．同学们将一张正方形纸片按照图1方式折叠，然后打开，得到图2所示的图形．同学们按照图2画线，然后沿实线将正方形分割成如图3所示的七块区域，并按①～⑦进行编号，随后将一个“宝藏”埋藏在某个区域内． （1）如果区域⑥对应的周长为3，是区域⑦的周长为 　 　． （2）下列说法正确的是 　 　． A．找到宝藏概率跟所选择区域的形状有关 B．在区域③不可能找到宝藏 C．在区域①一定能找到宝藏 D．在区域④⑥⑦找到宝藏的概率相同 （3）宝藏被藏在区域⑥的概率为 　 　． 17. 如图，在和中，，，是中点，，垂足为点． （1）试说明：； （2）若，求长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是_________（单选题） A．平分 B． C． D． 驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是_________cm2 项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________ 19. 为了了解全校名同学对学校设置的体操、篮球、足球、跑步、舞蹈等课外活动项目的喜爱情况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目（每人选一项）进行了问卷调查，将数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整），请回答下列问题： （1）在这次问卷调查中，一共抽查了_______名同学； （2）补全条形统计图； （3）估计该校名同学中喜爱足球活动的人数； （4）经调查发现，“喜欢跑步”的5名同学中，有3名男同学和2名女同学，若从这5名同学中随机抽取一名参加课外活动总结会，则恰好抽到一位女同学的概率为______． 20. 填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FGBC，交直线AB于点G．如图，且∠ABC＝45°． 求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD； ①证明：∵AD，BE为高 ∴∠ADB＝∠BEC＝90° ∵∠ABC＝45° ∴∠BAD＝∠　 　＝45° ∴AD＝　 　； ∵∠BEC＝90° ∴∠CBE+∠C＝90°（ 　 　） 又∵∠DAC+∠C＝90° ∴∠CBE＝∠DAC（ 　 　） 在△FDB和△CDA中， ∵∠FDB＝∠CDA＝90°， AD＝BD ∠CBE＝∠DAC ∴△FDB≌△CDA（ 　 　） ②∵△FDB≌△CDA， ∴DF＝DC（ 　 　） ∵GFBC ∴∠AGF＝∠ABC＝45°，（ 　 　） ∴∠AGF＝∠　 　， ∴FA＝FG； ∴FG+DC＝FA+DF＝AD． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到，这样就用图形面积验证了完全平方公式． （1）类似地，写出图2中所表示的数学等式为 ； （2）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的数学等式为 ； （3）利用上面（2）的结论解决问题：若，求的值； （4）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 22. 甲骑电动车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为（）与甲行驶的时间为（）之间的关系如图所示． （1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． （2）以下是点、点、点所代表的实际意义，请将、、填入对应的横线上． ①甲到达终点 ．②甲乙两人相遇 ．③乙到达终点 ． （3）两地之间的路程为 千米； （4）求甲、乙各自的速度； （5）求甲出发多少小时后甲、乙两人相距180千米． 六、解答题（本大题12分） 23. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $