精品解析：湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 5，6，7 C. ，， D. 6，7，8 4. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据：4，6，6，8，6，若去掉一个数据6，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图是函数与的图象，下列说法错误的是（ ） A. 函数图象经过原点 B. 直线由直线向上平移5个单位得到 C. 函数的图象与轴交于点 D. 两函数图象倾斜度相同 8. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（ ） A. 3 B. 9 C. D. 9. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值______． 12. 若与最简二次根式可以合并，则____． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是________尺． 15. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 如下图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18. 【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． （1）把小明的求解过程补充完整； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 19. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试的200名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 20. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接，并延长，交的延长线于点F．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，填空： ①当的长为______时，四边形是矩形； ②当的长为______时，四边形是菱形． 21. 学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题， 【课本原型】人教版八年级下册数学课本第11题．原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象． 【数学思考】 （2）结合函数的图象，下列说法错误的是（ ） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 C．当时，或3 D．图像是轴对称图形，对称轴是直线 【深入探究】 （3）函数与的图象有两个交点，求n的取值范围． 22. 2025年五一随着“东门美食街”的开街，竹溪县旅游迅速火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，东门某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需34元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需140元． （1）求A，B两种食材单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共20千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 23. （1）【教材改编】如图1，四边形ABCD是正方形，点G、E分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． （2）【类比探究】如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边上任意一点，，且交正方形外角的平分线于点P．求证：． （3）【知识迁移】如图3，在（2）问的条件下，连接，过点E作交于点M，连接，若，，请直接写出的长． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上． （1）求线段的长度； （2）过点D作垂直于x轴于点E，已知点，求出的函数解析式； （3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”．根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，正确，故本选项不符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，原计算错误，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 8，15，17 B. 5，6，7 C. ，， D. 6，7，8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A．由于，故能构成直角三角形，符合题意； B．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意； C．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意； D．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 4. 下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义和竖直检验法的应用．关键在于理解函数的定义：对于每一个值，只能对应一个值．通过竖直检验法可以快速判断曲线是否表示函数关系． 要判断一条曲线是否表示是的函数，需要依据函数的定义：对于每一个值，只能对应一个值．可以通过“竖直检验法”来判断：如果在某条曲线上画一条竖直线，这条竖直线与曲线的交点不超过一个，则该曲线表示是的函数；否则，不表示函数关系． 【详解】解：选项A：无论画哪条竖直线，与曲线的交点最多只有一个，因此表示是的函数． 选项B：存在某些竖直线与曲线相交于两个不同的点，这意味着对于某些值，有两个不同的值，因此不表示是的函数． 选项C：无论画哪条竖直线，与曲线的交点最多只有一个，表示是的函数． 选项D：也满足竖直检验法，表示是的函数． 因此，不能表示是的函数的是选项 B． 故选：B． 5. 一组数据：4，6，6，8，6，若去掉一个数据6，则下列统计量中发生变化的是（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了众数、平均数、中位数和方差， 分别计算原数据与去掉一个6后的新数据的众数、平均数、中位数和方差，比较变化情况． 【详解】解：A．6出现3次，出现次数最多，是众数， 去掉一个6后，数据变为4，6，6，8，众数仍为6（出现2次），未变； B．原平均数； 新平均数，未变； C．原数据排序后为4，6，6，6，8，中位数为6； 新数据排序后为4，6，6，8，中位数为，未变； D．原方差为， 新方差为，方差变化． 综上，变化统计量为方差， 故选：D． 6. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，由点E在的延长线上，，求得，由平行四边形的性质得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点E在的延长线上，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 7. 如图是函数与的图象，下列说法错误的是（ ） A. 函数的图象经过原点 B. 直线由直线向上平移5个单位得到 C. 函数的图象与轴交于点 D. 两函数图象倾斜度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，一次函数与正比例函数的性质，分别根据一次函数及正比例函数的性质、函数图象平移的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵函数是正比例函数，∴函数的图象经过原点，正确，不符合题意； B、由“上加下减”的法则可知，直线由直线向上平移5个单位得到，正确，不符合题意； C、∵当时，，∴函数的图象与y轴交于点，故原说法错误，符合题意； D、∵函数与的比例系数相同，∴两函数图象倾斜度相同，正确，不符合题意． 故选：C． 8. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流I的值是（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．求将已知数据代入公式，解方程即可求出电流的值． 【详解】解：已知，，，代入公式得：， 化简得：， ∴； 因此，电流的值为， 故选A． 9. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 10. 如图，在边长为4的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，连接，，由勾股定理得，证明是的中位线得，由此得当为最大时，则为最大，因此当点E与点C重合时，为最大，最大值是线段的长，为，据此可得的最大值． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，则为最大， ∵E，F分别是，上的动点， ∴当点E与点C重合时，为最大，最大值是线段的长，为， ∴的最大值为． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，请写出一个满足上述要求的k的值______． 【答案】2（满足k＞0即可） 【解析】 【分析】根据函数图象经过第一、三象限，可判断k＞0，任取一个正值即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限， ∴k＞0． 故答案为：2（满足k＞0即可）． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题关键是明确正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限时，k＞0． 12. 若与最简二次根式可以合并，则____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得：， 故答案为：3． 13. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据题意结合图象即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 14. 我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是________尺． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，列出方程是解题的关键．设绳索的长为x尺，根据题意知，可列出关于 的方程，即可求解． 【详解】解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 15. 如图，在菱形纸片中，点E在边上，将菱形沿折叠，点A、B分别落在，处，，垂足为F．若，，则________，______． 【答案】 ①. ##30度 ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，结合折叠得到，，，根据三角函数得到，，结合角度关系得到，进而可求出的度数，证明．在中，求出，得出，在中，求出，进而得出即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∵菱形沿折叠，点A、B分别落在、处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴． 在中，， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查菱形性质，折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，绝对值，零次幂，先化简二次根式以及绝对值，零次幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 17. 如下图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】144 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形． 18. 【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． （1）把小明的求解过程补充完整； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】（1）中位线， （2）三角形中位线定理 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【小问1详解】 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； 【小问2详解】 小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 19. 某校为增强学生身体素质，以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练，并对学生进行专项体能测试．以下是某次八年级男生引体向上测试成绩的抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取若干名男生的测试成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，用x（引体向上个数）表示成绩，分成四组：A组，B组，C组，D组． 【描述数据】根据抽取的男生成绩，绘制出如下不完整的统计图． 【分析数据】抽取的八年级男生测试成绩的平均数为8，中位数为8，众数为11．根据以上信息，解答下列问题： （1）求A组人数，并补全条形统计图； （2）估计该校八年级参加测试的200名男生中成绩不低于10个的人数； （3）从平均数、中位数和众数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）12人，见解析； （2）90人； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形图与扇形图，中位数、众数、方差和加权平均数，理解中位数、众数、方差的意义以及和加权平均数的计算方法是解决问题的关键． （1）用组的频数除以组的频率，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出组的频数，进而补全条形统计图； （2）用200乘样本中成绩不低于10个人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数的含义解答即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 故组人数为：(人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：(人， 答：估计该校八年级参加测试的200名男生中成绩不低于10个的人数大约有90人； 【小问3详解】 从平均数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩的平均个数为8个． 从中位数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩至少有一半不低于8个． 从众数看，估计该校八年级男生引体向上测试成绩为11个的最多．(答案不唯一，任选其中一个说明即可)． 20. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接，并延长，交的延长线于点F．连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，填空： ①当的长为______时，四边形是矩形； ②当的长为______时，四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②． 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及菱形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，由点是的中点，得，而，证明，则，所以四边形是平行四边形； （2）①当时，则，所以，因为，所以是等边三角形，则，所以，则是矩形； ②当时，则，而，所以是等边三角形，则，所以四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形、四边形都是平行四边形，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ∴四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形，理由如下： ，， 是等边三角形， ， ∵四边形、四边形都是平行四边形， ， ， ∴四边形是菱形， 故答案为： 21. 学习一次函数时，王老师带领同学们探索了课本上的一道函数题， 【课本原型】人教版八年级下册数学课本第11题．原题为：“画出函数的图象”． 【初步探究】王老师和同学们对此函数的图象和性质进行了探究，部分过程如下． 自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值列表如表：根据表格的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … （1）请补全该函数的图象． 【数学思考】 （2）结合函数的图象，下列说法错误的是（ ） A．函数图象关于y轴对称 B．当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 C．当时，或3 D．图像是轴对称图形，对称轴是直线 【深入探究】 （3）函数与的图象有两个交点，求n的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）A；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质与图象，数形结合是解答本题的关键． （1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象的性质判断即可； （3）求得直线过点和过点时的的值，结合图象根据即可求得的取值范围． 详解】解：（1）补全函数图象如下： （2）观察函数的图象， A．函数图象关于直线对称，说法错误，故选项符合题意； B．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，说法正确，故选项不合题意； C．当时，或3，说法正确，故选项不合题意， D．图象是轴对称图形，对称轴是直线，说法正确，故选项不合题意； 故答案为：A； （3）解：当经过点时，， 解得， 当经过点时，， 解得， 所以，两个函数图象有两个交点时，n的取值范围是． 22. 2025年五一随着“东门美食街”的开街，竹溪县旅游迅速火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．“当好东道主，热情迎嘉宾”，东门某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需34元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需140元． （1）求A，B两种食材的单价； （2）该小吃店计划购买两种食材共20千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）A种食材的单价为19元，B种食材的单价为15元 （2）当A，B两种食材分别购买15，5千克时，总费用最少为360元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元，再列出方程组，进行解方程，即可作答． （2）根据题意，设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克，再求出，然后设总费用为y元，整理得，结合一次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：设A种食材的单价为a元，B种食材的单价为b元， 根据题意得， 解得：， 答：A种食材的单价为19元，B种食材的单价为15元； 【小问2详解】 解：设A种食材购买x千克，则B种食材购买千克， 根据题意，， 解得：， 设总费用为y元， 根据题意，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y最小， ∴最少总费用为（元）， 答：当A，B两种食材分别购买15，5千克时，总费用最少为360元． 23. （1）【教材改编】如图1，四边形ABCD是正方形，点G、E分别是边、的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．求证：． （2）【类比探究】如图2，四边形ABCD是正方形，点E是边上任意一点，，且交正方形外角的平分线于点P．求证：． （3）【知识迁移】如图3，在（2）问的条件下，连接，过点E作交于点M，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，证明，得到； （3）过点P作于点F，过点P作于点G，证明，得出，从而得到四边形是平行四边形，得出，根据，得到，由此得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点G、E分别是边AB、BC的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵CF平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在AB上截取，连接EG， 同理（1）可得：，，， ∴， ∴； （3）解：∵若，， ∴， 过点P作于点F，过点P作于点G， ∴，四边形CFPG是矩形， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形CFPG是正方形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形EMDP是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，掌握添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上． （1）求线段的长度； （2）过点D作垂直于x轴于点E，已知点，求出的函数解析式； （3）若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点（不与点B、C重合），是否存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的E点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再求的长即可； （2）根据全等三角形的判定证明，得出，设设直线的解析式为，利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可知，设，，，然后分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③为平行四边形的对角线时；利用平行四边形的性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵垂直于x轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 由（2）可知， 设，，， ①当为平行四边形对角线时，，， 解得，， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得，， ∴； ③为平行四边形的对角线时，则F点在的延长线上，与题意矛盾，这种情况不成立； 综上所述：E点坐标或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$