14.2 三角形全等的判定 同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.2 三角形全等的判定 第1课时 三角形全等的判定(一)(“SAS”) 知识梳理 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“ ”). A)知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 判定两个三角形全等的基本事实——“边角边” ( ) 1.根据图14-2-1中所给定的条件，可知全等三角形是 ( ) A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①②③均不全等 2. (2024 河西区期末) 如图 14-2-2 所示,AB =DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则可增加的条件是 ( ) A.∠1=∠2 B.∠A=∠D C.∠E=∠C D.∠ABE=∠DBE 3. 如图14-2-3所示,点 D 在AB 上,点 E 在AC上,AB =AC, AD=AE,则 ≌△AEB,理由是 . 4. (2024 河东区期末)如图14-2-4,AD 平分∠BAC,AB=AC,点 E在AD上.求证:∠1=∠2. 知识点 2 全等三角形的判定(“SAS”)的简单应用 5. (教材习题 14.2T3 变式)如图 14-2-5 所示,AA',BB'表示两根长度相同的木条.若O是 AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为（ ） A.8cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 6. (2024北京房山区期末)如图14-2-6①,小涵在解决该问题时想到这样的测量方法：在陆地上选一点 C，使得从点 C 能够直接走到点 A和点 B.延长AC 到点 D,使CD=CA,再延长BC 到点 E,使CE=CB.量出 ED 的长,那么ED 的长便是鱼塘的宽AB 的长.请根据小涵的方法，在图②中画出图形，并说明理由. 7.新情境日常生活如图14-2-7所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F 在同一条直线上,且AF=DC,BC=EF,BC∥EF.求证:AB=DE. B规律方法综合练 训练思维 8. (2024河东区月考)如图14-2-8,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点 B,D,E 在同一直线上.若∠1=25°,∠2=35°,则∠3的度数是( ) A.50° B.55° C.60° D.70° 9. (2024河西区期中)如图 14-2-9,∠BAD=90°,AC 平分∠BAD,CB=CD,则∠B 与∠ADC满足的数量关系为 ( ) A.∠B=∠ADC B.2∠B=∠ADC C.∠B+∠ADC=180° D.∠B+∠ADC=90° 10. 如图14-2-10,在四边形 ABCD 中,E 为 BC边的中点. AE 平分∠BAD,∠AED=90°,F 为AD 上一点,AF=AB. 求证:(1)△ABE≌△AFE; (2)AD=AB+CD. 拓广探究创新练 提升素养 11. 如图14-2-11,在△ABC中,∠BAC=∠B=60°,AB=AC,D,E 分别是边BC,AB 所在直线上的动点,且BD=AE,直线AD 与EC交于点 F. (1)当点 D,E 分别在边 BC,AB 上运动时,∠DFC 的度数是否发生变化?若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律. (2)当点 D,E 分别运动到CB,BA 的延长线上时，(1)中的结论是否改变?请说明理由. 第2课时 三角形全等的判定(二)(“ASA”“AAS”) 知识梳理 1. 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ASA”). 2. 的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”) 知识要点分类练 夯实基础 A 知识点 1 全等三角形的判定(“ASA”)的应用 1. (2024西青区期末改编)如图 14-2-12,在△ABC和△DEF 中,AB=DE,∠A=∠D,添加下列一个条件后可以用 ASA 判定△ABC≌△DEF 的是 ( ) A. AB∥DE B. BF=CE C.∠ACE=∠DFB D. AC=DF 2. 如图14-2-13,已知AB=AD,∠1=∠2,要根据“ASA”使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是 . 3. (2024 北京房山区期末)如图 14-2-14,B 是线段AD 上一点,BC∥DE,AB=ED,∠A=∠E.求证:△ABC≌△EDB. 4. (2024 部分区期末改编)如图14-2-15,已知点B,C,E 在同一条直线上,∠B =∠E =∠ACD=60°,AB=CE,求证:BC=DE. 知识点 2 全等三角形的判定 (“AAS”)的应用 5. (2024 西青区期末改编)如图14-2-16,在△ABC和△DEF 中,AB=DE,∠A=∠D,添加下列一个条件后可以用 AAS 判定△ABC≌△DEF 的是 ( ) A. AB∥DE B. BF=CE C.∠ACE=∠DFB D. AC=DF 6. 如图14-2-17,点 E 在△ABC 的外部,点 D 在BC边上.若∠1=∠2,∠E=∠C,AE=AC,则△ABC 与△ADE 全等吗?请说明理由. B规律方法综合练 训练思维 7. (2024 河北区期末)如图14-2-18,CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为 B,E,AE,BC 相交于点 F,若AB=BC=16,CF=8,连接DF,则图中阴影部分的面积为 . 8. 如图 14-2-19，在平面直角坐标系中有点B(-1,0)和点 A(0,2),以点 A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC，则点C 的坐标为 . 9. (教材例2 变式)如图14-2-20,已知点 D 在 AC上,点 E 在 AB 上,△ABD≌△ACE,BD,CE 交于点 O,则△OBE 与△OCD 全等吗?请说明理由. 10. (2024 红桥区期末) 如图 14-2-21,在△ABC中,D 为边 BC 的中点,过点 B 作 BE∥AC交AD 的延长线于点 E. (1)求证:△BDE≌△CDA; (2)若AD⊥BC,求证:∠ABD=∠EBD. 拓广探究创新练 提升素养 11. 如图 14-2-22,AE 与 BD 交于点 C,AC=EC,BC=DC,AB=6 cm,点 P 从点 A 出发,沿A→B→A 的方向以 3c m/s的速度运动;点 Q 从点 D 出发,沿 D→E 的方向以1 cm/s的速度运动.点 P ,Q 同时出发,当点P 回到点A 时，P，Q两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为t(s). (1)直接写出线段 BP 的长；(用含 t 的式子表示) (2)连接 PQ,当线段 PQ 经过点 C 时,求t的值. 第 3课时 三角形全等的判定(三)(“SSS”) 知识梳理 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 知识要点分类练 夯实基础 ▴ 知识点 1 用“SSS”判定三角形全等 1.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识.如图14-2-23 是油纸伞的张开示意图,AE=AF,GE=GF,则△AEG≌△AFG 的依据是 ( ) A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 2. (2024滨海新区期末)如图14-2-24,已知 BC=DC，添加下列条件后，能判定△ABC≌△ADC 的是 ( ) A. AB=AD B.∠BAD=∠BCD C.∠B=∠DAC D.∠BAC=∠DAC 3. (2024 内江)如图14-2-25,点 A,D,B,E 在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F 的度数. 知识点2 有关尺规作图 4. 如图14-2-26,已知△ABC,小明通过尺规作图、裁剪、重合的操作，探究一种三角形全等的判定方法，以下是小明的操作过程： 第一步：尺规作图. 作法:(1)作射线 DM; (2)以点 D 为圆心，线段 BC 的长为半径画弧,交射线 DM 于点E; (3)以点 D 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧； (4)以点 E 为圆心，线段 AC 的长为半径画弧，与前弧相交于点 F； (5)连接DF,EF. 第二步：把作出的△DEF 剪下来，放到△ABC 上. 第三步:观察发现△ABC 和△DEF 重合. 根据小明的操作过程，请你写出小明探究的判定三角形全等的方法是 . 知识点 3 全等三角形的判定和性质的综合应用 5.要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图14-2-27 所示的卡钳，O 为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD,若圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD 的长了，其中的依据是全等三角形的判定条件 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 6. 如图14-2-28,在△ABC 和△BDE 中,点C在边BD 上,边AC 交边 BE 于点 F.若AC=BD,AB=ED,BC=BE,则∠ACB 等于 ( ) A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF 7. (2024 滨海新区月考)如图 14-2-29 所示,某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去 ( ) A.① B.② C.③ D.①和② 8. 如图 14-2-30,已知 AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线. 求证:∠3=∠1+∠2. B)规律方法综合练 训练思维 9. 已知:如图 14-2-31 所示,AB=CD,AD =BC,给出以下结论:①∠A=∠C;②AB∥CD;③AD∥BC,其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 10. 如图14-2-32,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∠BAD =20°,DE⊥AC 于 点 E,则∠EDC= °. 11. 已知:如图 14-2-33,△AOD 和△BOC 的边AD 与 BC 相交于点 E,连接OE,且 CE=DE,OC=OD,AE=BE. (1)求证:OE 平分∠COD; (2)求证:∠AOC=∠BOD. 拓广探究创新练 提升素养 12. 在△ABC中,AB=AC,D,E 分别是边AC,BC 上一点,连接AE,BD 交于点G. (1)如图 14-2-34①,F 是 AE 上一点,连接CF,若∠BAC=∠BGE =∠EFC,求证:AG=CF; (2)如图②,∠BAC=90°,AE⊥BD 于点G,CF⊥AC,交 AE 的延长线于点 F,连接DE.若∠ADB=∠CDE,求证:AD=DC. 第 4课时 与全等三角形判定有关的尺规作图 A知识要点分类练 夯实基础 知识点 作一个角等于已知角 1. 如图14-2-35,已知:∠AOB. 求作:∠A'O'B',使 作法： (1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB 于点C,D; (2)画一条射线O'A',以点O'为圆心, 长为半径画弧，交O'A'于点C'； (3)以点 为圆心， 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D'； (4)过点 D'画射线O'B',则 这样作出的∠A'O'B'和∠AOB 就是相等的.依据是 . 2.下面四个图是小明用尺规过点 C 作AB 边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是( ) 3. 已知:如图14-2-37,线段a 和∠α. 求作△ABC,使AB=AC=a,∠A=∠α. B.规律方法综合练 训练思维 4. 如图 14-2-38, 在 Rt△ABC中,∠A=90°,∠ACB=62°,按 以 下 步 骤 作 图：(1)以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段 BA，BC 于点M,N;(2)以点 C 为圆心，BM 的长为半径画弧，交线段CB 于点 D;(3)以点 D 为圆心,MN的长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点E;(4)过点 E 作射线CE,与 AB 相交于点F,则∠AFC= °. 5.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.一个缺角的三角形残片如图14-2-39 所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形，并说出作图依据. 6. 如图14-2-40,以 B 为顶点,射线 BC 为一边,利用尺规作∠EBC,使得∠EBC=∠A. 第 5课时 直角三角形全等的判定 (“HL”) 知识梳理 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). A)知识要点分类练 夯实基础 知识点 1 用“HL”判定直角三角形全等 1. 如图14-2-41,∠A=∠D=90°,AC=DB,则判定△ABC≌△DCB 的依据是 ( ) A. HL B. ASA C. AAS D. SAS 2. 如图14-2-42,已知点 A,D,C,F 在同一条直线上,∠B=∠E=90°,AB=DE,若添加一个条件后,能利用“HL”判定 Rt△ABC ≌Rt△DEF，则添加的条件可以是 (只需写一个，不添加辅助线). 3. 如图 14-2-43,AB=CD,BE⊥AC 于点 E,DF⊥AC 于点F,AF=CE. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:AB∥CD. 知识点 2 直角三角形全等的灵活运用 4. 如图14-2-44,有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上.已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等.若∠ABC=32°,则∠DFE 的度数是 ( ) A.32° B.62° C.58° D.68° 5.如图14-2-45，小明和小芳以相同的速度分别同时从点C，B出发，小明沿CD 行走，小芳沿BA 行走,并同时到达点 D,A.若AC⊥BC,DB⊥BC,则AC 与DB 相等吗? 为什么? 6. 如图14-2-46 所示,C,D 两地分别位于路段AB 的端点的正北方向与正南方向，现有两车分别从E,F 两地出发(点 A,F,E,B 在同一直线上)，以相同的速度沿直线行驶，相同时间后分别到达C，D两地，休整一段时间后又以原来的速度沿直线行驶，最终同时到达 A，B 两点,那么CE 与 DF 平行吗?为什么? B)规律方法综合练 训练思维 7. 如 图 14-2-47, 在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 AC 上一点,DE⊥AB 于点E,且BE=BC.若AC=8,则AD+ED 等于 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 8. 如图 14-2-48,四边形 ABCD 中,连接 BD,AB⊥AD,CE⊥BD 于点E,AB=CE,BD=CD.若AD=5,CD=7,则BE= . 9. 如图 14-2-49,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12 cm,BC=6 cm,一条线段 PQ=AB,P,Q两点分别在直线AC 和AC 的垂线 AX 上移动，点P 从点A 开始移动，且移动的速度为3cm/s.设点 P 移动的时间为t s,若以点 A,B,C 为顶点的三角形与以点A，P，Q为顶点的三角形全等，则t 的值为 . 10. (2024 南开区期中)如图14-2-50,AB=BC,∠BAD=∠BCD =90°,D 是 EF 上一点,AE⊥EF 于点 E,CF⊥EF 于点 F,AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF. 拓广探究创新练 提升素养 11. 如图14-2-51①,AB=12,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=8.点 P 在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度由点 A 向点B 运动，同时,点Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动.它们的运动时间为t(s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当t=2时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段PQ 的位置关系； (2)如图②,将图①中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q 的运动速度为每秒x个单位长度，是否存在实数 x，使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在，求出相应的x，t 的值；若不存在，请说明理由. 第1课时 三角形全等的判定(一)(“SAS”) 知识梳理 两边和它们的夹角SAS 1. C 2. A 3. △ADC SAS 4. 略 5. B 6. 略 7. 略 8. C 9. C 10. 略 11. 解:(1)∠DFC 的度数不发生变化. 在△ABD 和△CAE 中 ∴△ABD≌△CAE(SAS). ∴∠BAD=∠ACE. ∴∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠ACE=∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°. (2)不改变. 理由如下：当点 D，E 分别运动到CB，BA 的延长线上时，如图. ∵∠ABD = 180°-∠ABC = 120°, ∠BAC=120°, ∴∠ABD=∠CAE.在△ABD 和△CAE 中, ∴△ABD≌△CAE(SAS).∴∠D=∠E. ∵∠EAF=∠BAD, ∴∠DFC = ∠EAF + ∠E = ∠BAD +∠D=∠ABC=60°. 第 2课时 三角形全等的判定(二) (“ASA”“AAS”) 知识梳理 1.两角和它们的夹边 角边角 2.两角分别相等且其中一组等角的对边相等 1. A 2. ∠B=∠D 3. 略 4. 证明:∵∠B=∠E=∠ACD=60°, ∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB =120°-120°-∠ACB,∴∠BAC=∠ECD. 在△ABC 和△CED中 ∴△ABC≌△CED(ASA),∴BC=DE. 5. C 6 解:△ABC≌△ADE、理由:∵∠ADC =∠B +∠1 = ∠2 +∠ADE,∠1= ∠2,∴∠B=∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中, (△ABC≌△ADE(AAS). 7 . 328. (-2,3) 9. 解:△OBE≌△OCD.理由如下:∵△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C,AB=AC,AD=AE.∴AB-AE= AC-AD,即 BE= CD.在△OBE 和△OCD 中 ∴△OBE≌△OCD(AAS). 10. 略 11. (1)当0≤t≤2时,BP=(6-3t) cm,当2<t≤4时,BP=(3t-6) cm. (2)1.5或3 第3课时 三角形全等的判定(三)(“SSS”) 1. D 2. A 3. (1)证明略 (2)80°4. SSS5. B 6. D 7. C 8. 证明:在△ABD 和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE(SSS). ∴∠BAD=∠1,∠ABD=∠2. ∵∠3=∠BAD+∠ABD,∴∠3=∠1+∠2. 9. D 10. 20 11. 略 12. 证明:(1)∵∠BGE =∠BAG+∠ABG,∠BAC = ∠BAG + ∠CAF, ∠BAC =∠BGE,∴∠BAG +∠ABG =∠BAG +∠CAF,∴∠ABG=∠CAF.又∵∠EFC=∠CAF+∠ACF,∠BAC=∠EFC, ∴∠BAG +∠CAF =∠CAF +∠ACF,∴∠BAG=∠ACF. 在△ABG 和△CAF 中, ∴△ABG≌△CAF(ASA),∴AG=CF. (2)在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ABC=∠ACB=45°.∵CF⊥AC, ∴ ∠DCE = ∠FCE = 45°, ∠F +∠CAF=90°. ∵AE⊥BD,∴∠CAF+∠ADB=90°,∴∠F=∠ADB. 又∵∠ADB=∠CDE,∴∠CDE=∠F.在△CDE 和△CFE中 ∴△CDE≌△CFE(AAS),∴DC=FC. ∵∠BAC = 90°,CF⊥AC,∴∠ACF =∠BAD=90°.∴ △ACF ≌ △BAD (AAS),∴AD=FC,∴AD=DC. 第 4课时 与全等三角形判定有关的尺规作图 1. OC C' CD SSS 2. A 3. 略 4. 56 5. 略 6.解：①当所作的角在 BC上方时，如图. ②当所作的角在 BC 下方时，如图. 第5课时直角三角形全等的判定(“HL”)知识梳理 斜边和一直角边 1. A 2. AC=DF(或 AD=CF) 3. 略 4. C 5. 解:AC=DB.理由:∵AC⊥BC,DB⊥BC,∴△ACB 与△DBC 均为直角三角形.由题意得 BA = CD. 在 Rt△ACB 与 Rt△DBC中， ∴ Rt△ACB ≌ Rt△DBC(HL).∴AC=DB. 6. CE∥DF.理由略 7. B 8. 2 9. 2 或4 10. 略 11. 解:(1)△ACP 与△BPQ 全等,PC⊥PQ.理由如下:当t=2时,AP=BQ=2×2=4,BP=AB-AP=12-4=8=AC.∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴∠PAC=∠PBQ=90°. 在△PAC 和△QBP 中 ∴△PAC≌△QBP,∴∠APC=∠PQB. ∵∠PQB +∠QPB = 90°, ∴∠APC +∠QPB=90°,∴∠CPQ=90°,即 PC⊥PQ. (2)存在实数x,使得△ACP 与△BPQ 全等.理由如下： 若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,即 解得 若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,即 解得 学科网（北京）股份有限公司 $$