1.2 二次根式的性质 暑假题型专练 2024--2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假题型专练 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.的值为( ) A.－1 B.－3 C.1 D.0 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列运算中，正确的是(       ) A.＝24 B.＝3 C.＝±9 D.－＝－ 4.化简        ． 5.当时，二次根式的值是        6.计算：． 7.当时，求代数式的值． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.是某三角形三边的长，则等于（    ） A. B. C.10 D.4 2.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A. B. C. D. 3.已知，，则（　　） A. B. C.或 D.或 4.已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限，则化简+=         5.已知a＞0，＜0，化简=                     ． 6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 2.实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A. B. C. D. 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 4.如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简      ．    5.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是      ． 6.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 7.阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.已知，则a的取值范围是(      ) A.a＞0 B.a＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a＜1 2.能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3.化简的结果是(      ) A.－ B.－ C. D. 4.化简：（x≥0，y≥0）= ． 5.化简：          ． 6.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 7.化简下列各式： (1)；               (2)  (a－1)；           (3)    (x＜2)． 五、最简二次根式的识别 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2.在、、、中，最简二次根式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列各式 ①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 4.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       5.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：              ，所以它不是最简二次根式． 6.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 7.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A.0 B.2 C.4 D.6 3.如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　） A.4 B. C. D. 4.已知：最简二次根式与的被开方数相同，则       ． 5.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 6.已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 7.已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 2.化简为（　　） A. B. C. D.1 3.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 4.化简：       ． 5.阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”      ． 6.先阅读下列材料然后作答． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假题型专练（参考答案） 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.的值为( ) A.－1 B.－3 C.1 D.0 【答案】C 【解析】原式=-2+1+2=1． 故选C. 2.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A选项：正确； B选项：，故是错误的； C选项：，故是错误的； D选项：被开方数为负数，无意义，故是错误的； 故选A． 3.下列运算中，正确的是(       ) A.＝24 B.＝3 C.＝±9 D.－＝－ 【答案】D 【解析】根据平方根的性质，可知，故A不正确；根据二次根式的性质，可得=，故B不正确；根据算术平方根的意义，可知=9，故不正确；根据二次根式的性质，可知－＝－，故D正确. 故选D. 4.化简        ． 【答案】 【解析】， 故答案为：． 5.当时，二次根式的值是        【答案】2 【解析】∵a=-3 ∴， 故答案是：2． 6.计算：． 【答案】﹣1． 解： =3-1+1-4 =﹣1． 7.当时，求代数式的值． 【答案】1 解： 当时， 原式 ． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.是某三角形三边的长，则等于（    ） A. B. C.10 D.4 【答案】D 【解析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 2.把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】（a-1）=-（1-a）=． 故选A． 3.已知，，则（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】由，，求出，，再由即可得到答案． ∵，， ∴，， ∴，， 当，时，； 当，时，； 故选：． 4.已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限，则化简+=         【答案】5﹣2m 【解析】由一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限可以确定m的取值范围，然后再化简+． 解：∵一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限， ∴m﹣2＜0，3﹣m＞0， ∴+ =|m﹣2|+|3﹣m| =5﹣2m． 故填空答案：5﹣2m． 5.已知a＞0，＜0，化简=                     ． 【答案】3 【解析】由已知确定出b<0，继而得出a-b+1＞0，b-a-4＜0，再根据二次根式的性质进行化简即可得. ∵a＞0，＜0， ∴b＜0， ∴a-b+1＞0，b-a-4＜0， ∴ =a+4-b-（a-b+1） =3， 故答案为3. 6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】解：（1）， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了数轴，二次根式的化简； 先根据数轴得出，再利用二次根式的性质化简即可． 解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：C． 2.实数在数轴上的位置如图所示，化简：（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据实数在数轴上的位置，得到，判断，再由二次根式性质化简，去绝对值后，运用整式加减运算法则求解即可得到答案． 解：由实数在数轴上的位置，如图所示： ， ， ， 故选：D． 3.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A. B. C. D.0 【答案】B 【解析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：B． 4.如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简      ．    【答案】 【解析】本题考查了整式的加减和去绝对值，二次根式化简，立方根，根据数轴分别判断，，，的正负，然后去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 解：由数轴可知，，，则， ∴ ， 故答案为：． 5.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是      ． 【答案】1 【解析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 6.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】解：由实数，在数轴上的位置，得： ，，， 原式 ． 7.阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 【答案】（1）解：∵的相反数是， ∴表示的数是， ∵是与C的“关联点”， ∴表示的数是． （2）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， ∵B是A与C的关联点， ∴点C表示的数是． （3）解：点A表示的数是， 设点B表示的数是x，则点P表示的数是， 分三种情况∶①当点P是A与B的关联点时，则： ， 解得：， ∴； ② 当点A是P与B的关联点时，则： ， 解得：，； ③ 当点B是A与P的关联点时，则， 解得， 综上所述，点P表示的数是或6或． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.已知，则a的取值范围是(      ) A.a＞0 B.a＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a＜1 【答案】C 【解析】根据二次根式的性质解答，注意a是分母，不能为0. 依题意得, ∴0a1，故选C. 2.能使等式成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 3.化简的结果是(      ) A.－ B.－ C. D. 【答案】B 【解析】先由式子得出x的取值为x0，故可化简求解. ∵x0， ∴== -x，选B. 4.化简：（x≥0，y≥0）= ． 【答案】2xy 【解析】根据限制条件“x≥0，y≥0”及二次根式的性质与化简解答． ∵x≥0，y≥0， ∴=2|x|•|y|==2xy，即=2xy； 故答案是：2xy． 5.化简：          ． 【答案】 【解析】根据二次根式的性质进行化简即可． 解：； 故答案为：． 6.如图，△ABC中，∠B＝90°，点P从点B开始沿BA边以1 cm/s的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动．求经过多少秒后，△BPQ的面积为35 cm2 ，此时P，Q两点间的距离是多少厘米． 【答案】解：设经过t秒后△BPQ的面积为35 cm2，则BP＝t cm，BQ＝2t cm， ∴S△BPQ=BPBQ=t·2t＝35， 解得t＝或t＝－ (负根舍去)． ∴PQ＝ (cm)． 故经过秒后，△BPQ的面积为35cm2，此时P，Q两点间的距离是cm. 7.化简下列各式： (1)；               (2)  (a－1)；           (3)    (x＜2)． 【答案】解：（1）===， （2）(a－1) =(a－1) =， （3）===. 五、最简二次根式的识别 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 2.在、、、中，最简二次根式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式可得答案． 二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选A． 3.下列各式 ①；②；③；④；⑤；其中一定是最简二次根式的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可． ①；②=；③=；④是最简二次根式；⑤是最简二次根式. 故选：C． 4.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       【答案】2 【解析】因为a为正整数，当a=1时, = 不是最简二次根式，当a=2时， = 是最简二次根式，所以二次根式是最简二次根式， 则最小的正整数a为2 故答案为：2． 5.二次根式因为不符合最简二次根式的条件：              ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【解析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 6.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 【答案】解：根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 7.在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简． （1），（2），（3），（4），（5）． 【答案】解：（1），含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式． （2），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式； （3），被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式； （4），在二次根式的被开方数中，含有小数，不是最简二次根式； （5），被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 2.若是正整数，则满足条件的最小正整数值为（    ）． A.0 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【解析】先化简，然后依据是正整数可得到问题的答案． ， ∵是正整数， ∴为完全平方数， ∴的最小值是． 故选：D. 3.如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　） A.4 B. C. D. 【答案】C 【解析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线． 由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可． 解：连接， 四边形是矩形， ， ∵且为的中点， ，， 在中， ， 在中， ． 在中． 故选：C． 4.已知：最简二次根式与的被开方数相同，则       ． 【答案】12 【解析】由题意列出方程组求解即可得到答案. 由题意得，解得， ∴7+5=12， 故答案为：12. 5.已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为      ． 【答案】68 【解析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． ∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 6.已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 7.已知和是相等的最简二次根式． 求，的值； 求的值． 【答案】解：∵和是相等的最简二次根式， ∴． 解得，， ∴的值是，的值是； ． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 解：解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2.化简为（　　） A. B. C. D.1 【答案】C 【解析】将根号里面的式子变形成完全平方式，再开平方化简求值 解：＝. 故选C. 3.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 4.化简：       ． 【答案】 【解析】利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5.阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式”      ． 【答案】/ 【解析】仿照题意进行求解即可． 解： ， 故答案为：． 6.先阅读下列材料然后作答． 【答案】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$