1.2 二次根式的性质 暑假巩固练习 2024--2025学年浙教版八年级数学下册

浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假巩固 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 2.已知a为实数，那么等于（  ） A.a B.﹣a C.﹣1 D.0 3.下列运算中，正确的是(       ) A.＝24 B.＝3 C.＝±9 D.－＝－ 4.当时，二次根式的值是        5.已知， ，且ab<0，则=           . 6.计算：． 7.当时，求代数式的值． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.当时，化简的结果是（     ） A.1 B. C.a D. 2.若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（ ） A.7 B.2x+2y﹣7 C.11 D.9﹣4y 3.当时， ______． A.0 B.6 C. D. 4.已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限，则化简+=         5.化简：       ． 6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（   ） A. B. C.1 D. 2.如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 3.实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A. B. C.a D. 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =           ． 5.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是      ． 6.（1）实数，，在数轴上对应点的位置如图，化简：． （2）若三边长为，，，满足，试判断的形状，说明理由． 7.实数，，在数轴上的对应点如图所示．化简：． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 2.化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3.当a＜0时，化简的结果是(      ) A. B. C.－ D. 4.化简：＝         ；＝          ；＝       ． 5.化简=     ． 6.化简： (1)；         (2)；          (3)． 7.作图：在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边分别为，4，. 五、最简二次根式的识别 1.下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2.在、、、中，最简二次根式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       5.下列根式：，，，，，，中，最简二次根式共有        个． 6.已知A＝2，B＝，C＝，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，请求出a的值． 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 2.已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A.23 B.21 C.15 D.5 3.已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是   ． 5.已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：      ． 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 7.若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 2.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 3.如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点．再分别以点．为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点．作射线交边于点．过点作于点，若，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4.化简的结果为    ． 5.阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简         . 6.先阅读下列材料然后作答． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用二次根式的性质进行简单计算 1.下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】A选项：正确； B选项：，故是错误的； C选项：，故是错误的； D选项：被开方数为负数，无意义，故是错误的； 故选A． 2.已知a为实数，那么等于（  ） A.a B.﹣a C.﹣1 D.0 【答案】D 【解析】根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0， 故只有a=0时，有意义，所以， =0． 故选D． 3.下列运算中，正确的是(       ) A.＝24 B.＝3 C.＝±9 D.－＝－ 【答案】D 【解析】根据平方根的性质，可知，故A不正确；根据二次根式的性质，可得=，故B不正确；根据算术平方根的意义，可知=9，故不正确；根据二次根式的性质，可知－＝－，故D正确. 故选D. 4.当时，二次根式的值是        【答案】2 【解析】∵a=-3 ∴， 故答案是：2． 5.已知， ，且ab<0，则=           . 【答案】±1 【解析】|a|=3， =2，且ab<0， a=3时b=−2，a=−3时b=2， a+b=3+(−2)=1， a+b=(−3)+2=−1， 故答案为：±1. 6.计算：． 【答案】解： ． 7.当时，求代数式的值． 【答案】1 解： 当时， 原式 ． 二、利用二次根式的性质化简、求值 1.当时，化简的结果是（     ） A.1 B. C.a D. 【答案】B 【解析】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键． 解：∵， ∴． 故选：B． 2.若实数x，y满足x﹣y+1=0且1＜y＜2，化简得（ ） A.7 B.2x+2y﹣7 C.11 D.9﹣4y 【答案】A 【解析】求出y=x+1，根据y的范围求出x的范围是0＜x＜1，把y=x+1代入得出+2，推出+2，根据二次根式的性质得出|2x+1|+2|x﹣3|，根据x的范围去掉绝对值符号求出即可． 解：∵x﹣y+1=0， ∴y=x+1， ∵1＜y＜2， ∴1＜x+1＜2， ∴0＜x＜1， ∴， =+2， =+2， =+2， =|2x+1|+2|x﹣3|， =2x+1+2（3﹣x）， =7， 故选A． 3.当时， ______． A.0 B.6 C. D. 【答案】A 【解析】先化简原式得，然后代值计算即可． ∵， ∴当x=-2时，原式， 故选A． 4.已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限，则化简+=         【答案】5﹣2m 【解析】由一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限可以确定m的取值范围，然后再化简+． 解：∵一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限， ∴m﹣2＜0，3﹣m＞0， ∴+ =|m﹣2|+|3﹣m| =5﹣2m． 故填空答案：5﹣2m． 5.化简：       ． 【答案】0 【解析】根据二次根式的性质即可求出答案． 由题意可知：3-x≥0， ∴ = = = =0 故答案为：0． 6.计算 (1)已知实数，满足，求的值． (2)若，满足，化简： 【答案】解：（1）， ， ，， ，， 解得：，， ， 的值为； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 7.阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【答案】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 三、数轴与二次根式的化简的综合 1.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（   ） A. B. C.1 D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 解：依题意，从数轴得出 ∴ ， 故选：B． 2.如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 解：根据数轴可知， ， 原式 故选：B． 3.实数a，b在数轴上的位置，如图所示，那么化简结果是（    ）    A. B. C.a D. 【答案】B 【解析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可． 解：由数轴可得：，， ∴，， 则 ， 故选：B． 4.如图，数轴上点A表示的数为a，化简： =           ． 【答案】2 【解析】根据数轴可得： ，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键． 由题意得，， ∴ ， 故答案为：2． 5.若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是      ． 【答案】1 【解析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 6.（1）实数，，在数轴上对应点的位置如图，化简：． （2）若三边长为，，，满足，试判断的形状，说明理由． 【答案】解：（1）根据数轴可得，， ∴，，， ∴ ； （2）∵ ∴，， ∴，， ∴ ∴是直角三角形． 7.实数，，在数轴上的对应点如图所示．化简：． 【答案】解：观察数轴可知：，， ，，， ． 四、积的算术平方根与商的算术平方根的性质 1.下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次根式的性质，逐项判断即可求解． 解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、和不是同类二次根式，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 2.化简的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：先把4化成假分数，然后再开平方． 解：， =， =， =． 故选D． 3.当a＜0时，化简的结果是(      ) A. B. C.－ D. 【答案】A 【解析】由a0，再根据二次根式的性质进行化简为最简二次根式形式. ∵a0， ∴=·=·（-a）=,故选A. 4.化简：＝         ；＝          ；＝       ． 【答案】 8， 15， 6 【解析】根据二次根式的乘法法则即可化简. ＝= 8； ＝； ＝． 5.化简=     ． 【答案】12 【解析】先将432化成3×144的形式，利用二次根式的化简求解即可． ==×=12． 故答案为12． 6.化简： (1)；         (2)；          (3)． 【答案】解：（1）原式==9； （2）原式= =32=6； （3）原式= ===. 7.作图：在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边分别为，4，. 【答案】解： ， ， 如图所示： 五、最简二次根式的识别 1.下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． A、是最简二次根式，故选项符合题意； B、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； D、，选项不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：A． 2.在、、、中，最简二次根式有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式可得答案． 二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选A． 3.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． A、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D、属于最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D 4.若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=       【答案】2 【解析】因为a为正整数，当a=1时, = 不是最简二次根式，当a=2时， = 是最简二次根式，所以二次根式是最简二次根式， 则最小的正整数a为2 故答案为：2． 5.下列根式：，，，，，，中，最简二次根式共有        个． 【答案】2 【解析】根据最简二次根式的概念进行判断即可. 、是最简二次根式， =3， =-4， =x，不是最简二次根式， 和被开方数含有分母，不是最简二次根式， 故答案为2. 6.已知A＝2，B＝，C＝，其中A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C，请求出a的值． 【答案】解：∵A＝2，B＝，A，B都是最简二次根式，且A＋B＝C， ∴a＋3＝3a－1， 解得a＝2 7.判断下列二次根式是否是最简二次根式，并说明理由． ； ； ； ；；． 【答案】解：根据最简二次根式的定义分别进行判断即可． ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式． 六、已知最简二次根式求字母的值 1.最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． ∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 2.已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（　　） A.23 B.21 C.15 D.5 【答案】D 【解析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案． 解：∵，且与是同类二次根式， ∴23﹣a＝2时，a＝21； 23﹣a＝8时，a＝15； 23﹣a＝18时，a＝5； 23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符合题意，舍）； ∴符合条件的正整数a的值为5、15、21． ∴a的最小值为5． 故选D． 3.已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 4.已知n为正整数，也是正整数，那么满足条件n的最小值是   ． 【答案】3 【解析】由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将12分解质因数，从而得出结果． 为正整数，也是正整数， 则是一个完全平方数， 又∵， ∴是一个完全平方数， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 5.已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值：      ． 【答案】10（答案不唯一） 【解析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 6.已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 【答案】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴. ∴，则，，且. ∴，则. 故. 7.若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 七、复合型二次根式化简以及规律探究 1.已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 解：解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 2.已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A.有一组 B.有二组 C.多于二组 D.不存在 【答案】A 【解析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 解：解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 3.如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于点．再分别以点．为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点．作射线交边于点．过点作于点，若，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在AD上截取AE=AB，连接NE，由题意易得∠CAN=∠BAN=22.5°，DN=2，进而可证△ANE≌△ANB，则有NE=NB，∠ABC=∠AEN，然后可得CE=CN=4，最后根据勾股定理可进行求解． 在AD上截取AE=AB，连接NE，如图所示： 由题意易得：∠CAN=∠BAN， ，， ∠CAB=45°，∠B=105°， ，， ， 在Rt△CDN中，， AN=AN， △AEN≌△ABN（SAS）， NE=NB，∠ABC=∠AEN=105°， ∠CEN=∠CNE=75°， CE=CN=4， ， 在Rt△DNE中， ， ； 故选C． 4.化简的结果为    ． 【答案】 【解析】先把化为平方的形式，再根据化简即可求解． 解：原式 ． 故答案为：． 5.阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质去一层（或多层）根号。如==.根据以上材料解决下列问题：化简         . 【答案】, 【解析】根据题目所给例子直接利用完全平方公式的逆运算化简即可. 解：解： 6.先阅读下列材料然后作答． 【答案】解：（1），这里，， 由于，，即，， ； （2）在中，，，， ， 即 ，， ，， ，， ． 7.先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $$