湖北省十堰市2022-2023学年高一下学期期末调研考试数学试题

湖北省十堰市2022-2023学年高一下学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数的实部为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知向量，，若，则（    ） A．1 B． C．3 D． 3．端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还要给孩子们佩戴香囊.某商家销售的香囊有四种不同的形状，其中圆形的香囊有36个，方形的香囊有18个，桃形的香囊有27个，石榴形的香囊有9个.现该商家利用分层随机抽样的方法在这些香囊中抽出20个香囊摆放在展台上，则抽出的桃形香囊的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 6．已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知，在钝角中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（    ）（参考数据：）    A．684米 B．732米 C．746米 D．750米 二、多选题 9．已知复数，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点在第二象限 D．为纯虚数 10．某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图1所示.该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了,届初三学生仰卧起坐一分钟的个数分布条形图如图2所示，则（    ）      A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占 B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2.2倍还多 C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在内 D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加 11．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 12．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则（    ）    A．这个六面体是棱台 B．该六面体的外接球体积是 C．直线与异面 D．二面角的余弦值是 三、填空题 13． . 14．已知非零向量的夹角为，则 ， . 15．已知为的外心，且.若向量在向量上的投影向量为，其中，则的取值范围为 . 16．如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .    四、解答题 17．已知. (1)求； (2)求. 18．在中，分别是内角的对边，. (1)求角的大小； (2)若，求. 19．如图，在三棱锥中，已知，且，分别为的中点，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 20．为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量（单位：），将数据按照，，，，，分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9. (1)在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？ (2)求的值； (3)估计这500个家庭的月均用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. 21．如图，在矩形中，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若，求三棱锥的体积的最大值. （提示：，，当且仅当时，等号成立） 22．已知是定义在上的函数，且满足. (1)设，若，求的值域； (2)设，讨论（为常数，）在上所有零点的和. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】由复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得答案. 【详解】因为， 所以复数的实部为. 故选：B 2．A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A 3．C 【分析】利用抽样比可求出结果 【详解】根据分层随机抽样的概念可得抽出的桃形香囊的个数为. 故选：C 4．D 【分析】利用斜二侧画法得出原三角形的底和高即可求得面积，或者先求出直观图的面积，再利用斜二测画法的性质求解即可. 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知， 轴，且，原图形为， 其中，且， 则的面积为. 法二：直观图面积为， 原图的面积等于直观图面积的倍， 所以原图的面积为. 故选：D 5．A 【分析】利用三角函数图像平移结合诱导公式即可求解. 【详解】将图象上所有的点都向左平移个单位长度， 得到曲线， 再把得到的曲线上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 纵坐标不变，得到的图象. 故选：A 6．A 【分析】根据圆台体积公式求解. 【详解】根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为， 故该圆台的体积. 故选：A. 7．B 【分析】分析可知，角最大，由余弦定理得出，再结合三角形三边关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以. 又， 所以最大，则由余弦定理得，得， 因为，解得， 因为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：B. 8．C 【分析】结合图示首先过作交于，过作交于，然后结合题目中距离和角度，通过正弦定理 ，求得的长，从而算出两点到平面的高度差. 【详解】   如图，过作交于，过作交于， 如图所示，因为，所以，又， 则，， 则， 又，所以， 由正弦定理，得，， 即， 又，所以， 所以， 则两点到平面的高度差为米. 故选：C. 9．BCD 【分析】化简，然后根据复数的几何意义计算即可求解； 【详解】因为，所以故A错误； 故B正确； 在复平面内对应的点的坐标为，在第二象限，故 C正确； ，为纯虚数，故D正确； 故选：BCD 10．ABD 【分析】根据饼状图和条形图对四个选项逐个计算可得答案. 【详解】2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数占比为，A正确. 由于2023届初三学生人数较2022届上升了，假设2022届初三学生人数为， 则2022届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在内的学生人数为， 因为，故 B正确； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在内，故C错误； 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占， 届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占，因为，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】对于A，由图象可知，可求出，对于B，和可出的值，对于C，由可求出对称轴，对于D，利用正弦函数的性质可求得结果. 【详解】依题意得， 因为，所以，所以A正确. 因为， 所以，解得. 因为，所以，所以当时，，所以B错误. 因为， 所以令，解得， 则的图象关于直线对称，C正确. 因为当时，，所以， 所以在上的值域为，所以D正确. 故选：ACD 12．BCD 【分析】选项A：,这个六面体不是棱台，错误； 选项B：这个六面体的外接球球心在直线上，结合勾股定理，计算六面体的外接球半径，从而求得体积，正确； 选项C：和显然不相交，结合题意证得与不平行，所以和不在同一平面内，正确； 选项D：取和的中点分别为，， 即所求二面角的平面角， 解得，正确； 【详解】   因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点， 所以这个六面体不是棱台，所以错误. 由题意可知，这个六面体的外接球球心在直线上，且，因为， 解得，所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确. 和显然不相交，因为， 所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确. 取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以， D正确. 故选：BCD. 13．/ 【分析】切化弦，然后由二倍角公式可得. 【详解】. 故答案为： 14． 【分析】将向量垂直的向量表示，结合数量积定义可得，然后利用性质可得. 【详解】因为，所以，即，则. 所以，解得. 因为， 所以. 故答案为：；. 15． 【分析】先推出为直角三角形斜边的中点，再过作的垂线，垂足为，推出，，利用可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 又因为为的外心，所以为直角三角形且，为斜边的中点， 过作的垂线，垂足为.因为在上的投影向量为， 所以在上的投影向量为， 因为，所以， 因为，所以，即的取值范围为.    故答案为：. 16． 【分析】设，利用表示出AD，CD，由正弦定理可得外接圆的半径，由已知条件和平面可得，然后用换元法和基本不等式可得. 【详解】在平面四边形中设， 即在Rt中，. 在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得. 设三棱锥外接球球心为，则平面. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则，所以四边形为直角梯形. 设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于， 在中，为的中点，， 由， 所以 . 令，则， 因为，当且仅当，即时（满足）等号成立. 所以， 所以外接球表面积的最小值为.    故答案为： 【点睛】本题考察几何体的外接球问题，主要方法有定义法，补形法，坐标法等，本题主要利用球心到个顶点的距离相等，以及底面外接圆圆心与球心的连线垂直于底面求解. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用和差公式将展开，然后平方后化简可得； （2）根据诱导公式、平方关系和和差公式可解. 【详解】（1）因为， 所以，即. 所以，则，即， 所以. （2）因为，所以， 又因为，所以. 因为，所以， 又，则，所以. 则 ， 故. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理进行角化边可得，再结合余弦定理运算求解； （2）利用余弦定理解得，再结合正弦定理运算求解. 【详解】（1）因为，所以. 由正弦定理可得：， 根据余弦定理可得， 因为，所以. （2）由余弦定理知，即， 化简得，解得或（舍去）. 由正弦定理知，则. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）取的中点，连接，通过证明平面平面可得； （2）作出异面直线所成角，利用余弦定理可得. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为分别为的中点，所以，所以， 平面平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面.    （2）因为，所以（或其补角）即异面直线与所成的角， 因为，且， 所以均为等边三角形，， 根据余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的余值为. 20．(1)户 (2)， (3) 【分析】（1）由频率分布直方图得到频率，利用频率得到答案； （2）根据频率分布直方图中矩形面积与频率的关系，以及百分位数的计算公式，列出方程组，可得答案； （3）根据频率分布直方图平均数的估计值计算公式可得答案. 【详解】（1）因为月均用水量在内的家庭占， 所以在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户. （2）由频率分布直方图，可得，则， 因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为6.9， 所以在，则，解得. （3）估计这500个家庭的月均用水量的平均值为 . 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知先证平面，然后由面面垂直判定定理可得； （2）设，求棱长，由可得体积，利用题中条件可得最值. 【详解】（1）根据题意可得， 因为，所以. ，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）设，则. 由（1）知平面，平面，则，得. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以三棱锥的体积， 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以，故三棱锥的体积的最大值为. 22．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出的解析式，分段取绝对值，利用正余弦函数的性质可得； （2）先求，令转化为二次函数，分类讨论函数的零点，结合正弦函数的对称性和的周期性可解. 【详解】（1）由题意，， ， 所以 ， 当时，， 在上单调递增，且， 则； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 且，则. 综上，时，的值域为. （2）由题意，， 所以， ， 因为， 所以函数是以为周期的周期函数. 设化为. 由于必有两个实数根， 设为，有，， 由得无解，即至少一个在内. ①当只有一个在内时，，解得或. 若，则，得， 在内，有两个根，且， 函数是以为周期的周期函数，在上有2022个零点， ，，，，， 故在上所有零点的和为； 若，则，得， 在内，有两个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有2024个零点， ，，，，， 所以在上所有零点的和为； ②当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有3035个零点， ，，，，，，， 则在上所有零点的和为； ③当时，，此时. 在内，共有三个根，且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有3034个零点， ，，，，， ， 则在上所有零点的和为； ④当时，，得. 在内，有两个根且有两个根且， 函数是以为周期的周期函数， 在上有4046个零点， ，，，，，，， 则在上所有零点的和为. 综上，当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为； 当时，在上所有零点的和为. 【点睛】方法点睛： 本题考查三角函数的周期性，对称性，单调性的综合运用，以及一元二次方程根的分布问题，综合性强难度大.主要难点在于对a的分类，充分利用正弦曲线的对称性和周期性是解题关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$