11.1 柱体讲义-2025-2026学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：11.1 柱体 【知识梳理】： 1．多面体的定义：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体．构成多面体表面的各三角形或平面多边形称为多面体的面．相邻面的公共边称为多面体的棱．棱与棱的交点称为多面体的顶点． 2．棱柱 （1）棱柱的定义： 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行，把这样的多面体叫做棱柱；那一对互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面则称为棱柱的侧面不在底面上的棱称为棱柱的侧棱，而棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高． （2）棱柱的分类 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，否则称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． 辨：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是否为棱柱？（不是。反例如下图1所示：） （3）棱柱的体对角线条数：n(n-3)条 3．圆柱的定义：如图，将矩形ABCD绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱，AB所在直线叫做该圆柱的轴，线段AD和BC分别旋转而成的圆面叫做该圆柱的底面，线段CD旋转而成的曲面叫做该圆柱的侧面，CD叫做该圆柱的母线，圆柱的两个底面间的距离（即AB的长度）叫做该圆柱的高．棱柱和圆柱统称为柱体．圆柱有无数条母线，母线与轴平行。 辨：圆柱的两个底面各取一点，将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形一定为矩形吗？ 答案：不一定，只有当两点连线与轴平行时将圆柱按这两点所在的直线剪开，并展开在一个平面上，所得的图形才是矩形。 图1 4．祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等．祖暅提出：“幂势既同，则积不容异．”这里，“幂”和“势”分别指的是什么？ 幂是截面积，势是几何体的高。 5．柱体的体积 （1）棱柱的体积： 设棱柱的底面积为，高为h，由祖暅原理得到一般棱柱的体积公式：． （2）圆柱的体积： 设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，由祖暅原理得到一般圆柱的体积公式：． 6．柱体的表面积 （1）直棱柱的表面积：对于直棱柱，由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边．所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长．设直棱柱的高为h，底面多边形的周长为c．底面积为，就得到直棱柱的表面积公式：． （2）圆柱的表面积：将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，得到一个矩形．设圆柱的底面积为，底面半径为r，高为h，底面周长为c，就得到圆柱的表面积公式：． 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（    ） A．36 B．72 C．108 D．240 2．下列对于圆柱的各判断中正确的是（    ） A．有两个互相平行的底面的旋转体是圆柱 B．经过圆柱的轴的截面仅有一个 C．将矩形（及其内部）绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的空间几何体叫做圆柱 D．一个圆柱仅有一条轴也仅有一条母线 3．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2，则（    ） A．如果S1,S2总相等，则V1=V2 B．如果S1=S2总相等，则V1与V2不一定相等 C．如果V1=V2 ，则S1,S2总相等 D．存在这样一个平面α使S1=S2相等，则V1=V2 4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．图（1）是一个正三棱柱容器，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面如图（2）所示，此时水面恰好为中截面，则图（1）所示容器中水面的高度是（    ） A． B．a C． D． 6．现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为4，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 7．长方体三个面的面积分别是，则长方体的体积等于（    ） A．6 B． C． D．36 8．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧长度是弧长度的倍，，则该曲池的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是 ． 10．直三棱柱中，，，则与所成角大小为 ． 11．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是 ． 12．高与底面直径都是2的圆柱体的侧面积为 ． 13．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈，问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为 立方丈. （棱台要上下底平行，此处没有说，不能使用棱台公式） 14．圆柱高为，直线为圆柱的轴，为圆柱的一条母线，为矩形，若底面圆半径为，则与底面所成角为 . 15．长方体长､宽､高分别为3，4，5，则它的对角线长为 . 16．已知圆柱的母线，全面积为，则圆柱的底面半径 . 17．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒，现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的表面积为 ． 18．圆柱的上底半径OA与下底半径垂直，若，AB与所成的角为，则AB的长为 ． 19．如图，圆锥形量杯的口径（圆锥底面的直径）为d，高为h，则圆锥形量杯侧面上刻度V（容积）与液面深度x的函数关系为 . 20．侧面均为面积为4的正方形的正三棱柱的表面积为 ． 21．已知一个正三棱柱的侧面积为18，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为 ． 22．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有 ________条. 23．①直四棱柱一定是长方体；②正方体一定是正四棱柱；③底面是正多边形的棱柱是正棱柱；④有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；⑤平行六面体的六个面均为平行四边形；⑥直棱柱的侧棱长与高相等．以上说法中正确的命题有 ． 24．如图，三棱柱的所有棱长均等于1，且，则该三棱柱的体积是 ． 25．若正六棱柱的底面面积为，最长的对角线与底面成45°角，则这个正六棱柱的体积为 ． 26．已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，为上底面圆的一条直径，是下底面圆周上的一个动点，则△的面积的取值范围为 27．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为 . 28．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形可以是 填上所有你认为正确的序号 正三边形    正四边形    正五边形    正六边形    钝角三角形 等腰梯形   非矩形的平行四边形 （第17题图） （第19题图） （第24题图） （第27题图） 三、解答题 29．如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm， 求：该斜截圆柱的体积． 30．如图，底面半径为3，高为的圆锥有一个内接的正四棱柱． （1）设正四棱柱的底面边长为x，试将棱柱的高h表示成x的函数； （2）当x取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值． 31．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，求：昆虫爬行的最短路程. 32．圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米，已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°，求： （1）直线与圆柱的轴所成角的正切值； （2）线段的长． 33．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，AC=4，. （1）：求圆柱的表面积； （2）求：异面直线与AB所成角的大小.（用反三角函数值表示） 34．如图，四棱柱的底面是边长为4的正方形，侧棱，若，且与底面所成角为60°. （1）求证：； （2）求：该四棱柱的体积. 35．如图，是一圆柱形树桩的底面直径，是圆柱的母线，且，点是圆柱底面圆周上的点． （1）求：该树桩的侧面积和体积； （2）若，是的中点，现有一只小虫在点，先在线段上钻一个小洞，记为点，若该小虫要从点钻过小洞点到达点，要使得小虫爬过的路径最短，请你确定小洞点的位置，并求出路径的最小值． 一数老集合配套视频：https://www.bilibili.com/video/BV1Gp4y1Q7K5?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59&p=12 4 学科网（北京）股份有限公司 $$