10.1 平面及其基本性质讲义-2025-2026学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【阿波罗计划·数学必修三】：10.1 平面及其基本性质 【知识梳理】： 1. 平面的概念 （1）平面：几何里所说的“平面”是从实际生活中抽象出来的数学概念，是没有厚薄并且可以无限延展的． （2）平面的表示用一个小写希腊字母或一个或多个大写英文字母来表示平面． （3）平面的画法：用平行四边形来表示平面． 2. 公理1：如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。 3. 公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面。 ① 推论1：一条直线和这条直线外的一点确定一个平面 ② 推论2：两条相交直线确定一个平面 ③ 推论3：两条平行直线确定一个平面 4. 公理3：如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 5. 为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图． 6. 根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'的度数为45°或135°，∠x'O'z'的度数为90°或135°．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． 作图三大原则：平行关系保持不变，x轴方向长度不变，y轴方向长度减半 Eg. 如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是 ③④ (填写序号) 7. 斜二测画法的面积结论： 8. 斜二测画法作图： ①： 用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm，2cm，3cm的长方体的直观图． ②： 用斜二测画法画底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图． 9．培养立体思维观，从初中平面几何拓展到高中立体几何，探究命题：四条边相等的四边形是菱形 错误；可能为空间四边形，平面内四条边相等的四边形是菱形 10．利用立体几何解释生活现象： 问题①：如图，为什么许多自行车后轮旁只安装一只撑脚？ 问题②：如图所示的门，一边有固定在门框上的两个合页，另一边有锁.当不上锁时，门可以自由转动；当上锁时，门就被固定住了，将门看成平面的一部分，则上述不上锁与上锁的情形，可以用平面的哪个基本事实来说明？ 解答：两车轮与一只撑脚看作不共线的三个点，确定一个平面。 问题②说明事实同理 11．平面与平面的位置关系 两个平面与的位置关系只有两种：相交于一条公共直线l，记作；没有公共点，即与平行，记作 或． 12．空间点、线、面位置关系及其符号与图形表示 文字语言表达 符号语言表示 文字语言表达 符号语言表示 点A在直线l上 点A不在直线l上 点A在平面上 点A不在平面上 直线l在平面上 直线l不在平面上 直线l、m相交于点A 直线l与平面平行 13．交线的作图 （1）如图，在正方体中，试画出平面与平面的交线． （左图为题，右图为答案） （2）如图，直角梯形ABCD中，，，S是直角梯形ABCD所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．（左图为题，右图为答案） 【同步练习】：夯实双基 一、单选题 1．已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在空间中，下列命题中正确的是（   ） A．对边相等的四边形一定是平面图形 B．四边相等的四边形一定是平面图形 C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D．有一组对角相等的四边形是平面图形 3．如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（　　） A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．如图为水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，且平行于轴，那么，，三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中（    ）． A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 5．利用斜二测画法，作出直线的直观图如图所示，若，则直线在平面直角坐标系中对应的函数表达式是（ ） A． B． C． D． 6．建立如图所示的平面直角坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，为的中点，则过三点的平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（    ） A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 9．设有如下三个命题： 甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内； 乙：直线l、m中至少有一条与平面相交； 丙：平面与平面相交． 当甲成立时（ ） A．乙是丙的充分而不必要条件 B．乙是丙的必要而不充分条件 C．乙是丙的充分且必要条件 D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 二、填空题 10．空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定 个平面． 11．由正方体各个面的对角线所确定的平面共有 个． 12．对于结论“若，且，则”，用文字语言可以叙述为 ． 13．设平面与平面相交于直线,直线，直线,,则M （用符号表示）． 14．对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有 （填正确结论的序号）． 15．看图填空： （1）直线直线 . （2）平面平面 . （3）平面平面 . （4）平面平面 . （5）平面平面平面 . （6）直线直线直线 . 16．一个透明密闭正方体容器恰好盛有该容器一半体积的水，任意转动这个正方体，则水面的形状可能是 ．（①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六边形） 17．“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下.”这是诗人陈子昂的名句，是对时间和空间的文学描述.天是平面，地是平面，人类生活在这悠远而空旷的时空里，不禁感慨万千，这是古人对时间和空间的认识.已知下列几个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于；④平面的厚度5cm；⑤一个平面可以长为4cm，宽为2cm.其中正确结论的个数是 . 18．如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、B、C、D四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）． 19．一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如右上图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为 . 20．已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如左下图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为 ． 21．如右上图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 三、解答题 22．已知：，，，，，．求证：直线共面于． 23．已知：a、b、c、d四条直线两两相交且不共点，求证：a、b、c、d四线共面． 24．如图，已知. 求证：直线共面． 25．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 26．如图所示，已知平面，点，点，点，且，直线与不平行，那么平面与平面的交线与有什么关系？证明你的结论. 27．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线． 28．如图，在棱长为1的正方体中，G､M分别是棱､BC的中点. （1）证明：A､M､G､共面； （2）求四边形的周长. 29．如图，在长方体中，，截面． （1）求证：B、P、三点共线； （2）若，，，求DP的长． 30．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，求在正方体中异面直线AB与CD所成角的余弦值． 31．已知：正方体ABCD－A1B1C1D1，如图， （1）若E、F为AA1、CC1的中点，画出过D1、E、F的截面； （2）若M、N、P为A1B1、BB1、B1C1上的点（均不与B1重合），求证：△MNP是锐角三角形． 【提高练习】：根深叶茂 1．如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD上的点，且，求证：直线EF，GH，AC交于一点． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．     （1）证明：平面；     （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系． 配套视频如下：（每个链接请都仔细查看） https://www.bilibili.com/video/BV1Gp4y1Q7K5?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59&p=6 https://www.bilibili.com/video/BV1ya411i7L4/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59 https://www.bilibili.com/video/BV1dW4y1U7NF/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=aa02aff039996f0fa1cbed9cbf97eb59 一数老集合 1 2 3 5 学科网（北京）股份有限公司 $$