第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算（优质类型）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值的非负性与化简 【解惑】若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 【融会贯通】 1．有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值的知识，利用绝对值的意义去掉绝对值是解题的关键． 根据有理数a，b，c在数轴上的位置可得到：，再利用绝对值的意义去掉绝对值符号，然后即可求解． 【详解】解：由图可得：， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B 2．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据的取值范围，结合绝对值的性质，可得，整理得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和非负数的性质．掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】与互为相反数， 答案为：． 类型二、日历、幻方、幻圆 【解惑】在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（　　） A．28 B．34 C．45 D．75 【答案】C 【分析】日历纵列上圈出相邻的三个数,下边的数总比上边上的数大7,设中间的数是a,则上边的数是a－ 7,下边的数是a ＋ 7,则三个数的和是3a,因而一定是3的倍数,且3数之和一定大于等于24,一定小于等于72,据此即可判断. 【详解】日历纵列上圈出相邻的三个数,下边的数总比上边的数大7,设中间的数是a,则上边的数是a－ 7,下边的数是a＋ 7,则三个数的和是3a,因而一定是3的倍数，当第一个数为1,则另两个数为8,15,则它们的和为24,当第一个数为17,则另两个数为24,31,则它们的和为72,所以符合题意的三数之和一定在24到72之间,所以符合题意的只有45，所以C选项是正确的. 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用和有理数的计算，正确理解图表，得到日历纵列上圈出相邻的三个数的和一定是3的倍数以及它的取值范围是关键. 【融会贯通】 1．把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 【答案】D 【分析】由“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”即可求解． 【详解】解：由图可得：对角线上的数之和为： 第三行第三列的数字为： 故， 故选：D 【点睛】本题考查了幂．“任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等”是解题关键． 2．琪琪探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将1，，0，2，3这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行求解即可． 【详解】解：当填入中间位置的小正方形内的数是1时， 横向三个数之和与纵向三个数之和相等， 横向三个数之和与纵向三个数之和都为： ， 如图所示： 故答案为：1（答案不唯一）． 3．如图是2022年11月的日历．    (1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2)不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 【答案】(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍 (2)移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍，见解析 【分析】（1）方框内数字的和为99，恰好是中间数字11的9倍； （2）设中间的数为，则方框中所有的数字表示出来，相加得到． 【详解】（1）解：9个数之和为：， ， 答：方框中9个数之和为方框正中心的9倍； （2）解：不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变． 设阴影方框正中心的数为x， 则9个数之和为： ， ∵， ∴恒成立， 答：移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍． 【点睛】此题考查了整式规律题，解题的关键是找出整式的规律． 类型三、数轴上的点的距离与平移 【解惑】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【答案】D 【分析】本题考查了化简绝对值，在数轴上表示有理数，由绝对值的意义确定m的值，再根据数轴上两点间距离相等的条件建立方程进行求解，即可作答． 【详解】解：∵， ∴得或， 根据题意，这个点表示的数为x， x到m的距离等于x到的距离， 即， 当时，则， 即或， ∴无解或， 当时，则， 即或， ∴无解或， 故选：D 【融会贯通】 1．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含m的式子表示出点C是解决本题的关键．先用含m的式子表示出点C，根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：∵点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点， ∴点在原点左侧，点在原点右侧，点表示的数是， ∵， ∴， 解得：，， ∵点在原点左侧， ∴， 故选：A． 2．在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 3．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 【答案】(1)①D；②1012 (2)①；②，1013 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减混合运算，平移和翻叠性质，读懂题意发现平移和翻折的规律是解题的关键． （1）①根据题意和有理数的加法法则进行计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①根据题意得折叠中点表示的数为1，再根据重合点表示的数与中点表示的数的差相等列式计算即可；②根据折叠中点表示的数为1，，可推出点所表示的数和点所表示的数与折叠中点表示的数的差为1022，结合在的左列式计算即可． 【详解】（1）解：①根据移动过程可得， 故选：D． ②机器人跳动过程可以用算式表示为： 当机器人跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012 故答案为：1012． （2）解：①表示的点与表示3的点重合 折叠中点表示的数为 表示2024的点与表示的点重合 故答案为：． ②折叠中点表示的数为1， 点所表示的数为： 点B所表示的数为： 故答案为：，1013； 类型四、有理数加、减、乘、除的应用 【解惑】外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【答案】(1)离出发点3千米，在出发点正东方向 (2)4千米 【分析】本题主要考查了有理数加法的运用，熟练掌握有理数的加法是解答此题的关键． （1）将所行驶的路程全部加起来，若为正，则在东边，若为负，则在西边，结果的绝对值即为距离出发点的距离； （2）用减去所行驶路程的绝对值之和则为还能行驶的路程． 【详解】（1）解： （千米）； 答：当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点3千米，在出发点正东方向； （2）解： （千米）． 答：取完外卖后该电动自行车还可行驶4千米． 【融会贯通】 1．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 【答案】(1) (2)亏了，亏了8元 (3)盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用，正负数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）用总数减去另外6天的盈亏情况，得出答案即可； （2）根据解析（1）的计算结果进行判断即可； （3）根据表格中数据列式计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴星期五的盈亏数为； （2）解：由于是负数，故星期五亏了，亏了8元． （3）解：（元）． 答：盈利最多的一天比亏损最多的一天多元 2．小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 【答案】(1)师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米； (2)师傅这天下午共行车千米； (3)这天下午师傅用了升油 【分析】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和； （3）将（2）中的结果乘以即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地38千米； （2）解： （千米）   答：师傅这天下午共行车78千米； （3）解：，   答：这天下午师傅用了升油． 3．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 【答案】(1)万辆 (2) 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用．理解题意，正确列出等式是解题关键． （1）先求出这七个月高于（或低于）10万的标准所销售的数量，再加上七个月按标准销售的数量，即可求解； （2）求出的电量的里程即可． 【详解】（1）解： （万辆）． 答：该汽车生产厂家这七个月一共销售了万辆新能源汽车． （2）解： ． 答：该汽车充电前还能行驶． 类型五、最多、最少添加小正方体 【解惑】下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个，画图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一）． （2）解：如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 【融会贯通】 1．易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． (1)这样的几何体有多少种？ (2)它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ (3)分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)3种 (2)最多8个，最少7个 (3)见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）根据从正面和上面看到的形状求解即可； （2）根据第2列小立方块的个数即可求解； （3）根据从左面看的情况分别画出需要小立方块最少和最多时的情况即可． 【详解】（1）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个；故这样的几何体有3种； （2）解：它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； （3）解：如图所示： 2．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 【答案】(1)10，图见详解 (2)7，6 (3)①图见详解；②30 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）在俯视图中，写出最多时，小正方体的个数，可得结论； （2）利用俯视图，结合主视图的特征，解决问题即可； （3）①根据题意判断即可；②由①及题意可进行求解． 【详解】（1）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最多需要：（个），左视图如图所示． 故答案为：10； （2）解：搭成满足如图所示主视图和俯视图的几何体最少需要7个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有6种不同形状． 故答案为：7，6； （3）解：①由题意可得从左面看的视图为： 或； ②当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列都有2个小正方形组成，第二列分别有2个和1个小正方形，则表面积为； 当从左面看是，可知：总共有横的有3列，竖的有2列，竖的第一列分别为2、2、1个小正方形，竖的第二列分别为2、2个小正方形，则表面积为； 所以最大表面积为； 故答案为30 3．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 【答案】(1)①③④ (2)作图见解析：（答案不唯一） (3)3，7，8，作图见解析 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，从不同方向看立体图形，掌握正方体的表面展开图的模型以空间想象力是解题的关键． （1）根据正方体的展开图，逐个分析即可求解； （2）根据正方体的展开图每个面都有对面即可解答； （3）根据从正面看和上面看得到的图形，分析第2列小正方体的个数解答，根据左视图的定义即可画出最少和最多的情况即可． 【详解】（1）解：图①有5个面，可以经过折叠能围成无盖正方体形纸盒，图②经折叠后有两个面重复，因此折叠不能围成无盖正方体形纸盒；图③④有5个面，均可以折叠为无盖的正方体纸盒， ∴经过折叠能围成无盖正方体纸盒的有：①③④； 故答案为：①③④． （2）解：如图所示：（答案不唯一） （3）解：第2列小立方块前面1个，后面2个；第2列小立方块前面2个，后面1个；第2列小立方块前面2个，后面2个； 故这样的几何体有3种； 它最多需要个小立方块；最少需要个小立方块； 如图所示∶ ， 故答案为：3，7，8． 类型六、绝对值“1”与“-1”的化简 【解惑】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简，熟练掌握是解答本题的关键． 根据，判断出，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，得出，，的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】解：， ，，都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①，，都是负数，即时， 则， ②当，，中有一个为负数，另两个为正数时，不妨设， 则， 综上所述，值为或． 【融会贯通】 1．已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或0或 【分析】本题主要考查绝对值的化简，熟悉绝对值的化简方法是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （2）根据绝对值的化简方法直接求绝对值，计算即可． （3）先分同号和异号两种情况求绝对值，然后计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ∴． （2）解：当时， ， ∴． （3）解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴的值为2或0或． 3．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 类型七、绝对值的最值 【解惑】观察M、N在数轴上的对应点4与间的距离．并回答下列各题： (1)你能发现：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与6在数轴上的对应点的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是，则A与B两点间的距离可以表示为_______． (3)结合数轴，求得的最小值为_______． (4)若x满足，则x的值为_______． 【答案】(1)8 (2) (3)5 (4)或4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义的应用，熟练掌握数轴上两点之间的距离、分类讨论是解题的关键． （1）根据题意，用右边的数减去左边的数即可； （2）根据题意，与两点间的距离表示为，整理式子即可； （3）根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”，故当时，的值最小，计算即可； （4）由（3）知，的最小值5；可知分“当时”和“当时”两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：8； （2）解：根据题意，与两点间的距离表示为， 故答案为：； （3）解：根据题意，可表示“数轴上表示与两点之间的距离，与数轴上表示与两点之间的距离的和”， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为； （4）解：∵由（3）知，的最小值5， ∴； ∴当时，； 当时，． 综上所述，x的值为或4． 【融会贯通】 1．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 2．【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 【答案】(1)B，6 (2)或5 (3)最大值为8，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值与数轴的知识，读懂题目信息，掌握数轴上两点间的距离的求法是解题的关键，也是本题的难点． （1）理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和，即可求解； （2）分情况讨论：当a在3的右边时，当a在3的左边时，当a在3与之间时，求解即可； （3）由，可得，，，据此求解即可． 【详解】（1）解：理解为：在数轴上表示a的点到和4的距离之和， ∴当点a在和4之间的线段上，即时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：B，6； （2）解：当a在3的右边时，，解得：， 当a在的左边时，，解得：， 当a在3与之间时，距离为，即不成立； 故答案为：或5； （3）解：，， 可得，，，， ∵， 而，故，，， 从而，，或， 当，，时，最大为， 当，，时，最小为， 最大值为8，最小值为． 3．学习情境·阅读理解 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． 根据上述材料，回答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)借助数轴解决问题：如果，那么______； (3)可以理解为数轴上表示的点到表示______和______这两个点的距离之和，则的最小值是______． (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)或 (3)，1，3 (4)有最小值，最小值为9 【分析】本题考查绝对值的意义． （1）根据两点间的距离求法直接求解即可； （2）由题意知，或，即可求解； （3）由题意可得，表示x轴上点到点和1的距离之和，且最小值为3； （4）由题意可得，可以理解为数轴上表示的点到4和这两个点的距离之和，有最小值． 【详解】（1）解：2和5的两点之间的距离是，1和的两点之间的距离是， 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （3）解：表示x轴上点到点和1的距离之和， ∴的最小距离是3， 故答案为：，1，3． （4）解：可以理解为数轴上表示的点到4和这两个点的距离之和， ∴当在数轴上表示的点在表示和4（包括和4）的点之间时，取得最小值，最小值为9． 类型八、裂项与数列求和 【解惑】阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，绝对值与偶次的非负性； （1）根据非负数的性质得到，，即可解得，； （2）利用（为正整数）进行计算． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为2，1； （2）原式 【融会贯通】 1．“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① ， 可以把算式转化为． (1)请你参考图①，利用转化的方法计算： 的值． (2)请你观察图②，利用转化的方法计算： 的值． 【答案】(1)225 (2) 【分析】本题考查有理数的简便运算，理解“转化”思想是解题的关键． （1）参考图①，利用转化的方法计算，原式可转化为； （2）根据图形观察，把这个正方形看作单位“1”，算式可以转化为，从而求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．设，然后两边同乘以3，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：设 则 所以， 即． 3．为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 【答案】 【分析】设，表示出，然后求解即可． 【详解】解：设， 则， ， ， 故． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求解方法是解题的关键． 类型九、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 【融会贯通】 1．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 【答案】(1)，； (2)①，，；②；③ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义除方，总结归纳运算规律是解题关键． （1）根据除方的运算法则进行计算即可； （2）①试一试：根据除方的运算法则进行计算即可； ②想一想：由试一试总结归纳得出规律即可； ③算一算：根据想一想得出的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为，； （2）①解： ； ； ， 故答案为：； ②； 故答案为：； ③ ． 2．阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的相关计算，正确理解除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的概念，即可计算得出答案； （2）根据除方和乘方的概念，可以写出相应的结果； （3）根据除方和乘方的概念，可以将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式； （4）结合除方的概念和有理数的混合运算，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解： ∴将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是； （4）解： ． 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算。 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______；______，______． （其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： 【答案】（1），9；（2），，；（3） 【分析】本题考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算； （1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （3）根据的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算出结果． 【详解】解：（1） ， 故答案为：，9； （2）； ； ； 故答案为：，，； （3） ． 类型十、数轴动点求t 【解惑】如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为，C为线段的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)点C表示的数是______ (2)当______秒时，点P到达点A处； (3)点P表示的数是______（用含字母t的代数式表示）； (4)求t为多少秒时，线段的长为2个单位长度． 【答案】(1)1 (2)5 (3) (4)秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，列代数式，两点之间的距离，有理数的混合运算，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的应用． （1）根据有理数混合运算可求点C表示的数； （2）根据时间路程速度，可求t的值； （3）根据两点之间的距离公式可求点P表示的数； （4）分P在点C左边和点C右边两种情况讨论求解． 【详解】（1）解： 故点C表示的数是1， 故答案为：1； （2）解： 答：当秒时，点P到达点A处． 故答案为：5； （3）解：点P表示的数是 故答案为：； （4）解：当在点C左边， 当P在点C右边， 答：当秒或秒秒时，线段的长为2个单位长度． 【融会贯通】 1．在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)24 (2)①再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度；②结论正确，这个时间是秒，定值是6单位长度 【分析】本题主要考查了两点的距离、数轴、绝对值等知识点，掌握根据数形结合的思想是解题的关键． （1）先根据绝对值和相反数的定义确定点A、C表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可； （2）①根据“时间等于路程和除以速度和”列式计算即可；②由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：∵，b与互为相反数， ∴，即， ∴点A、C表示的数分别为，16， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距个单位长度． 故答案为：24． （2）解：①当两火车相遇前距离8个单位长度时，（秒）． 当两火车相遇后距离8个单位长度时，（秒）； 答：再行驶2秒或4秒两列火车车头A，C相距8个单位长度； ②结论正确．理由如下： ∵， ∴当在之间时，是定值4，（秒）， 此时（单位长度）． ∴这个时间是0.5秒，定值是6单位长度． 2．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 3．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【详解】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、绝对值的非负性与化简 【解惑】若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【融会贯通】 1．有理数a，b，c在数轴上位置如图，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．若与互为相反数，则的值为 ． 类型二、日历、幻方、幻圆 【解惑】在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中正确的一个是（　　） A．28 B．34 C．45 D．75 【融会贯通】 1．把1～9这九个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ）    A．16 B．9 C．4 D．1 2．琪琪探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将1，，0，2，3这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 3．如图是2022年11月的日历．    (1)带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？ (2)不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得出什么结论？你能证明这个结论吗？ 类型三、数轴上的点的距离与平移 【解惑】若，则数轴上到有理数对应的点与到对应的点的距离相等的点是（　　） A．3 B． C．3或6 D．3或 【融会贯通】 1．在数轴上，点在原点O的两侧，分别表示数，将点A向左平移2个单位长度，得到点C，若，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．5 2．在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 3．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换 (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、       B、 C、       D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2024次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2024的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且、两点经折叠后重合，则点表示的数是__________，点表示的数是__________． 类型四、有理数加、减、乘、除的应用 【解惑】外卖员驾驶一辆充满电的电动车在一条东西方向的商业街上取外卖，若规定向东为正，则从出发点开始所走的路程为，，，，，(单位：) (1)当取得最后一份外卖时，该外卖员距离出发点多远？在出发点什么方向？ (2)若该电动车充满电可行驶，取完外卖后，该电动车还可行驶多少千米？ 【融会贯通】 1．某文具店在一星期的销售中，盈亏情况如下表所示（记盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 200 38 188 458 (1)表中星期五的盈亏数被墨水涂污了，请你算出星期五的盈亏数． (2)说明星期五是盈利还是亏损？盈亏是多少？ (3)请计算盈利最多的一天比亏损最多的一天多多少． 2．小车司机某天下午的运输全是在东西走向的高速公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程单位：千米如下： ，，，，，，，，，， (1)司机这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)司机这天下午共行车多少千米？ (3)若每千米耗油升，则这天下午司机用了多少升油？ 3．近年来，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．某汽车生产厂家去年前七个月的新能源汽车销售数据记录如下表，以每月销售10万辆为标准，多于10万辆的部分记为“”，不足10万辆的部分记为“”，刚好10万辆的记为“0”． 时间 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 与标准数量的差值/万辆                                    (1)该汽车生产厂家这七个月一共销售了多少万辆新能源汽车？ (2)小明家购置的新能源汽车平均每千米耗电千瓦时，该汽车的电池容量为52千瓦时，目前汽车显示还有的电量，小明的爸爸习惯在电量剩余时去充电，请计算该汽车充电前还能行驶多远？ 类型五、最多、最少添加小正方体 【解惑】下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【融会贯通】 1．易错题  从正面和上面看到的用大小相同的小立方块搭成的几何体的形状图如图所示． (1)这样的几何体有多少种？ (2)它最多需要多少个小立方块？最少需要多少个小立方块？ (3)分别画出需要小立方块最少和最多时，从左面看到的几何体的形状图． 2．用若干个棱长为的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看这个几何体的形状图如图所示． (1)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最多需要______个小正方体，请在网格中画出用最多小正方体搭成的几何体从左面看到的图形； (2)搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体最少需要______个小正方体，用最少小正方体搭成的几何体共有______种不同形状； (3)若用9块小正方体搭成满足如图所示从正面看和从上面看的几何体． ①画出这个几何体从左面看到的形状图； ②这个几何体的表面积（包含底面）最大是______． 3．【问题情境】元旦节，班级需要进行文化布置，各个学习小组分工制作装饰品： (1)小颖所在的综合实践小组准备制作一些无盖正方体纸盒收纳班级讲台上的小物件．图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？______（填序号）． (2)小志组准备制作一个有盖的大正方体盒子，他们先用5个大小一样的正方形制成如图2，3所示的拼接图形（阴影部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图2，图3中的图形上再各拼接一个位置不同的正方形（用阴影表示），使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．    (3)小亮组制作了若干个小正方体盒子，搭成几何体的形状，它从正面和上面看到的图形如图4所示，则这样的几何体有______种？它最多需要______个小立方块？最少需要______个小立方块？请分别画出需要小立方块最少时，从左面看到的几何体的形状图．（画出所有可能的情况） 类型六、绝对值“1”与“-1”的化简 【解惑】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①，，都是正数，即时， 则； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则． 综上所述，值为或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： 三个有理数，，满足，求的值． 【融会贯通】 1．已知关于的方程有四个解，化简． 2．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)若有理数均不等于零，试求的值． 3．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 类型七、绝对值的最值 【解惑】观察M、N在数轴上的对应点4与间的距离．并回答下列各题： (1)你能发现：4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律，则与6在数轴上的对应点的距离是______． (2)若数轴上的点A表示的数是x，点B表示的数是，则A与B两点间的距离可以表示为_______． (3)结合数轴，求得的最小值为_______． (4)若x满足，则x的值为_______． 【融会贯通】 1．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 2．【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． (1)【概念理解】 代数式的几何意义是________（选择A或B），代数式最小值为________； （A）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数2的点的距离之和； （B）数轴上表示实数的点与表示有理数4的点、与表示有理数的点的距离之和； (2)【尝试应用】 若，则________； (3)【拓展延伸】 已知整数满足，则代数式的最大值和最小值分别为多少？ 3．学习情境·阅读理解 阅读绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． 根据上述材料，回答下列问题． (1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； (2)借助数轴解决问题：如果，那么______； (3)可以理解为数轴上表示的点到表示______和______这两个点的距离之和，则的最小值是______． (4)由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 类型八、裂项与数列求和 【解惑】阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 【融会贯通】 1．“转化”是一种解决问题的常用思想，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图① ， 可以把算式转化为． (1)请你参考图①，利用转化的方法计算： 的值． (2)请你观察图②，利用转化的方法计算： 的值． 2．阅读下面的材料，然后按照材料中提供的方法计算． 计算：． 解：设， 则， 所以 ， 即． 按照上面的方法，计算：． 3．为了求的值，可令，则，因此．所以：．即． 请依照此法，求：的值． 类型九、有理数的圈次方 【解惑】【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【融会贯通】 1．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把个记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究：除方乘方，直接写出计算结果： ， ； (2)深入思考：我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式． ______； ； ； ②想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：. 2．阅读材料，回答下列问题： 【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的圈3次方”，记作．读作“的圈4次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式，______；______； (3)想一想，将一个非零有理数a的n（）圈次方写成乘方幂的形式等于______； (4)算一算： 3．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作的圈次方，记作，读作的圈次方． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算。 【探究应用】（2）试一试：仿照图中算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式： ______；______，______． （其中，为正整数）． （3）请利用（2）中结论计算： 类型十、数轴动点求t 【解惑】如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B表示的数为，C为线段的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)点C表示的数是______ (2)当______秒时，点P到达点A处； (3)点P表示的数是______（用含字母t的代数式表示）； (4)求t为多少秒时，线段的长为2个单位长度． 【融会贯通】 1．在一条东西向的双轨铁路上，一快一慢两列火车相对行驶，快车的长为2个单位长度，慢车的长为4个单位长度．如图，设正在行驶途中的某一时刻，以两车之间的某点O为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是B．且，b与互为相反数． (1)此时刻快车头A与慢车头C之间相距________个单位长度； (2)已知快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶． ①从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车车头A，C相距8个单位长度？ ②此时在快车上有一位爱动脑筋的学生，他发现行驶中有一段时间t秒钟，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为该学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间及定值；若不正确，请说明理由． 2．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 3．如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$