第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算 双单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版2024新教材）

第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列有理数中最小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较法则比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵且四个数均为有理数， ∴最小的有理数是． 故选：A． 2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查从不同角度观察图形．画出从左边看到的图形即可求解． 【详解】解：从左面看到的平面图形为 故选：A 3．电影《哪吒之魔童闹海》自2025年春节档上映以来，以16天破百亿的惊人速度刷新了中国影史纪录，更以全球约158亿元的票房成绩跻身动画电影全球榜首．15800000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n为正整数，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：15800000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4．一个正方体的表面展开图如右上图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你中考顺利”，把它折成正方体后，与“你”相对的字是（    ） A．中 B．考 C．顺 D．利 【答案】B 【分析】本题主要考查了方体相对两个面上的文字，正方体相对的面之间一定隔着一个面，据此特点求解即可． 【详解】解：由正方体展开图的特点可知，“祝”与“利”相对，“你”与“考”相对，“中”与“顺”相对， 故选：B． 5．我国是历史上最早认识和使用负数的国家，现在手机微信扫码收付款快捷方便，成为了当代人的一种生活方式．如果把收款20元记为元，那么元表示（   ） A．收款5元 B．付款5元 C．收款15元 D．付款15元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． 【详解】解：因为收款与付款是一对具有相反意义的量， 所以如果把收款20元记为元，那么元表示付款5元， 故选：B． 6．在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用．用室内温度减去室外温度即可． 【详解】解：， 故选：C． 7．若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形以及平面展开图之间的关系，灵活运用空间想象力是解题的关键． 根据正方体的平面展开图的特点求解即可． 【详解】解：线段所在的面和线段所在的面在正方体中是相对的面，且与呈现异面垂直的位置关系， 只有选项符合要求． 故选：B ． 8．下列比较大小中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、∵，， ∴，则此项错误，不符合题意； D、∵，， ，则此项正确，符合题意； 故选：D． 9．天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 根据所给数值转换机列式计算即可， 【详解】解：依题意得： 第一次：把代入运算程序得∶ ， 第二次：把代入运算程序得∶ ， ∴输出的结果y为7， 故选：A． 10．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数. 直接根据二进制数只有0，1两个数码，数位为即，求出三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可. 【详解】∵三位二进制数的三个数位均为， ∴， ∵二进制数只有0，1两个数码， ∴， ∴ 即三位二进制数为111， ∴ 故选B. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 12．如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 【答案】 7 15 【分析】本题主要考查了立体图形的特点，认识立体图形的特点是解题的关键．根据图形可知此图形它有7个面，15条棱． 【详解】解：由图可知：如图所示的五棱柱，它有7个面，15条棱． 故答案为：7，15． 13．用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，精确到时，需观察小数点后第3位上的数，四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为． 14．规定一种运算，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 15．若，，则的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为3或5． 故答案为：3或5． 16．如图所示，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是 ，截得较小几何体形状是 ． 【答案】 三角形 直三棱锥 【分析】本题考查了截几何体．根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是三角形，截得较小几何体形状是直三棱锥． 故答案为：三角形；直三棱锥． 17．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴与绝对值的综合，解题的关键是掌握绝对值的性质和数轴的性质．结合数轴可知，得到，进而即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可得， ， ， 故答案为：． 18．若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，化简绝对值，根据乘法计算法则可得a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个，再讨论奇数的个数，结合去绝对值的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴a、b、c三个数中负数的个数为奇数个，即负数的个数为1个或3个， 当负数的个数为1个时，不妨设a是负数，b、c是正数， ∴， 当负数的个数为3个时， ∴； 综上所述，的值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，是由7个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从三个不同方向看到的几何体的形状图． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从不同方向看到的形状画图即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示． 20．已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【详解】（1）解：， 将题中5个数在数轴上表示出来，如下图所示； （2）解： 21．把下列各有理数填在相应的集合内． 6，，，，0，，，． 正有理数集合：｛                         …｝， 负有理数集合：｛                         …｝， 整数集合：｛                         …｝． 【答案】6，，3.14，；，，；6，，0 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正有理数集合：｛6，，，，…｝， 负有理数集合：｛，，，…｝， 整数集合：｛6，，0，…｝． 故答案为：6，，，；，，；6，，0． 22．计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)17 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算顺序是关键． （1）先化简，再分类计算即可； （2）先判定符号，再化为连乘计算； （3）利用乘法分配律简算； （4）先算乘方，再算括号里面的减法，再算乘法，最后算括号外面的减法． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 23．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数计算． （1）根据题意除法不可以用分配律，即可得到本题答案； （2）根据题意用解法二和解法三分别解答出来即可． 【详解】（1）解：上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 所以原式． 24．某粮库6天内的粮食进出库的吨数为：．问： (1)经过这6天，库里的粮食是增多了多少？还是减少了多少？ (2)经过这6天，仓库管理员发现库里还存有520吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天需要多少装卸费？ 【答案】(1)减少了46吨 (2)6天前库里存粮566吨 (3)这6天需要800元装卸费 【分析】本题考查了正负数的实际意义，绝对值的计算，有理数混合运算的应用，理解题意，正确计算是解题的关键． （1）把粮食进出库的吨数相加，若为正则增加，若为负则减少，若为0则不增不减； （2）经过6天库存的粮食等于原有粮食与6天粮食的变化量的和为520吨，由此列式即可求解原有粮食的库存数； （3）计算出进出粮食的总吨数，即计算出粮库进出库数量的绝对值的和，再乘以装卸费即可求解． 【详解】（1）解： （吨）； 答：经过这6天，库里的粮食是减少了46吨； （2）解：（吨）； 答：6天前库里存粮566吨； （3）解： （吨）， （元）； 答：这6天需要800元装卸费． 25．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 26．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一、二章 丰富的图形世界 有理数及其运算 双单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列有理数中最小的数是（   ） A． B． C．0 D．5 2．篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功左图是一块雕刻印章的材料，从左面看到的平面图形为（   ） A． B． C． D． 3．电影《哪吒之魔童闹海》自2025年春节档上映以来，以16天破百亿的惊人速度刷新了中国影史纪录，更以全球约158亿元的票房成绩跻身动画电影全球榜首．15800000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．一个正方体的表面展开图如右上图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你中考顺利”，把它折成正方体后，与“你”相对的字是（    ） A．中 B．考 C．顺 D．利 5．我国是历史上最早认识和使用负数的国家，现在手机微信扫码收付款快捷方便，成为了当代人的一种生活方式．如果把收款20元记为元，那么元表示（   ） A．收款5元 B．付款5元 C．收款15元 D．付款15元 6．在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 7．若将如图所示的平面图形围成正方体，则这个正方体可以是（    ） A． B． C． D． 8．下列比较大小中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．天天在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．7 B．6 C．8 D．12 10．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是德国伟大的哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德．莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位，二进制数的发现与完善是他在数学史上的伟大学术成就之一，现代的计算机和依赖计算机的设备里都在使用二进制． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字．而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如：． 任务：已知，是两个不相等的十进制三位数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．的倒数是 ． 12．如图所示的五棱柱，它有 个面， 条棱． 13．用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 14．规定一种运算，，则的值为 ． 15．若，，则的值为 ． 16．如图所示，用一个平面去截一个直三棱柱，截面形状是 ，截得较小几何体形状是 ． 17．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的化简结果是 ． 18．若有理数a，b，c满足，则的值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．如图，是由7个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从三个不同方向看到的几何体的形状图． 20．已知5个数分别为． (1)将题目中的5个数在数轴上表示出来； (2)将题目中的5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 21．把下列各有理数填在相应的集合内． 6，，，，0，，，． 正有理数集合：｛                         …｝， 负有理数集合：｛                         …｝， 整数集合：｛                         …｝． 22．计算∶ (1) (2) (3) (4) 23．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数 所以原式 (1)上述得到的结果不同，你认为解法 是错误的 (2)请你选择合适的解法计算： 24．某粮库6天内的粮食进出库的吨数为：．问： (1)经过这6天，库里的粮食是增多了多少？还是减少了多少？ (2)经过这6天，仓库管理员发现库里还存有520吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？ (3)如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天需要多少装卸费？ 25．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 26．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$