精品解析：四川省广安市邻水县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2025年春义务教育学业水平质量监测试题样卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否一致． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0．5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 函数y中自变量x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 秀秀参加校园歌咏大赛，六位裁判给分分别为95，95，93，94，94，95，则这组数据众数是（ ） A. 93 B. 94 C. 95 D. 96 4. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 5. 两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ） A B. C. D. 6. 若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，则周长为（ ） A. 8 B. 1 C. 13 D. 16 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A. 45 B. 36 C. 25 D. 18 10. 如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 12. 菱形的面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为_____． 13. 将直线向下平移3个单位后恰好经过点，则的值为______． 14. 如图，对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为_________． 三、解答题（本大题共6个小题，共44分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知，，满足等式. (1)求，，的值； (2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由. 17. 某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． （1）当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． （2）若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 18. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 19. 数学课外活动兴趣小组为了考察，两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如下表．（其中算得种小麦的平均苗高） 10 13 14 13 10 12 13 11 15 9 11 16 14 11 13 13 9 11 10 12 （1）求种小麦的平均苗高； （2）若试验田有种小麦1000株，估计苗高为的小麦有多少株？ （3）哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 在直线 上到x轴的距离等于3的点的坐标是___________． 21. 已知五个数据，，，，的平均数是，则，，，，这五个数据的平均数_____． 22. 如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则_____． 23. 如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为_____． 24. 勾股定理本身就是一个关于，，方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 26. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF． （1）求直线AC的解析式． （2）当E为AC中点时，求CF的长． （3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春义务教育学业水平质量监测试题样卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分．考试时间120分钟，满分150分（A卷100分，B卷50分）． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置，待监考教师粘贴条形码后，认真核对条形码上的姓名、准考证号与自己准考证上的信息是否一致． 3．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0．5毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束，监考人员必须将参考学生和缺考学生的答题卡、试题卷一并收回． A卷（共100分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 函数y中自变量x的取值范围是（　　） A. x＞3 B. x≠3 C. x≥3 D. x≥0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】由题意得：x-3≥0， 解得：x≥3， 故选C. 【点睛】本题考查了求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减运算及乘除运算，分别利用二次根式加减运算法则以及乘除运算法则化简判断得出即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，故不符合题意； B、，故此选项错误，故不符合题意； C、，故此选项正确，故符合题意； D、，故此选项错误，故不符合题意； 故选：C． 3. 秀秀参加校园歌咏大赛，六位裁判给分分别为95，95，93，94，94，95，则这组数据的众数是（ ） A. 93 B. 94 C. 95 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】找出这组数据中出现次数最多的数，从而得出答案． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是95， 所以众数为95， 故选：C． 【点睛】本题考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数，有时候众数可能不只有一个． 4. 下列叙述错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，菱形、矩形的性质和判定，根据平行四边形的性质和判定，菱形、矩形的性质进行判断即可得答案． 根据平行四边形、矩形、菱形的性质及平行四边形的判定方法逐一分析选项即可。 【详解】解：A. 平行四边形的对角线互相平分，正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，正确，不符合题意； C. 菱形的对角线互相垂直，正确，不符合题意； D. 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，原叙述错误，符合题意； 故选：D． 5. 两条直线与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，假设其中一条直线是，由一次函数图象与性质得到的正负，从而得到另一条直线是否是的大致图象，逐项验证即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； B、若①是，则，则②可能是的图象，符合题意； C、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； D、若①是，则，则②不可能是的图象，不符合题意； 故选：B． 6. 若平行四边形中两个邻角的度数比为，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对边平行是解题的关键． 根据平行四边形的邻角互补的性质，设较小的内角为，则较大的内角为，列方程求解即可． 【详解】解：设两个邻角较小的内角为，则较大的内角为， 由平行四边形对边平行得：， 解得：， 故选：C． 7. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象写出不等式的解集即可. 【详解】解：函数和的图象交于点， 由函数图象可得，当时， 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象及交点坐标，判断出关于的不等式的解集是解答本题的关键． 8. 如图，在中，，，，则的周长为（ ） A. 8 B. 1 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质得出，由勾股定理求出解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴的周长为， 故选：D． 9. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A. 45 B. 36 C. 25 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为和，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，，再根据完全平方公式求出的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理和完全平方公式． 10. 如图1（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积与点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示，则的长度为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象问题，将动点的运动状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系即可求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，即， 的面积，解得：， ∴， 时，点P运动至点E，即， ∴， ∴故选：A． 二、填空题（把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11. 某博物馆拟招聘一名优秀志愿讲解员，其中某位志愿者笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩中笔试占，试讲占，面试占，则该名志愿者的综合成绩为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．本题根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该名志愿者的综合成绩为（分）， 故答案为：． 12. 菱形面积为，一条对角线是，那么菱形的另一条对角线长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及其应用、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，设另一条对角线为x，即可得出一个一元一次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：∵菱形的面积为，一条对角线是， 设另一条对角线为x， ∴， 解得：， ∴菱形的另一条对角线长为． 故答案为：4 13. 将直线向下平移3个单位后恰好经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟知一次函数图象平移规律是解题的关键．先求出平移后的直线解析式，再根据平移后的直线经过点，进行求解即可． 【详解】解：由题意得平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．，的周长是，则的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共6个小题，共44分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解 16. 已知，，满足等式. (1)求，，的值； (2)判断以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由. 【答案】(1)，，；(2)以，，，为边能构成直角三角形，面积为. 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可求出b的值，再根据非负数的性质可求出a和c的值； （2）根据三角形三条边的关系可判断能否构成三角形，根据勾股定理逆定理可判断三角形的形状，根据三角形的面积公式可求出三角形的面积. 【详解】解：(1)由题设得，，， ∴，，. (2)∵，，，∴， ∴以，，，为边能构成三角形. ∵， ∴此三角形是直角三角形， ∴此三角形的面积为：. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，非负数的性质，三角形三条边的关系，勾股定理逆定理及三角形的面积公式，熟练掌握二次根式有意义的条件及勾股定理逆定理是解答本题的关键. 17. 某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． （1）当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． （2）若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 【答案】（1） （2）30立方米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， ∵直线过点，， ∴ 解得 ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴当时，，解得． 答：这个月用水量为30立方米． 18. 如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见解析 【解析】 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【详解】解：（1）△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 19. 数学课外活动兴趣小组为了考察，两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高（单位：）如下表．（其中算得种小麦的平均苗高） 10 13 14 13 10 12 13 11 15 9 11 16 14 11 13 13 9 11 10 12 （1）求种小麦的平均苗高； （2）若试验田有种小麦1000株，估计苗高为的小麦有多少株？ （3）哪种小麦的长势比较整齐？并说明理由． 【答案】（1）12 （2）300 （3）种小麦的长势比较整齐，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可； （2）用1000乘以苗高为的小麦式子百分比，即可求解； （3）根据方差公式先求出甲、乙的方差，再根据方差的意义，方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【小问1详解】 解：种小麦的平均苗高为； 【小问2详解】 解：种小麦中高为的小麦有3株，则估计1000株小麦，苗高为的小麦有株； 【小问3详解】 解：种小麦的长势比较整齐，理由如下， ，种小麦的平均苗高为， ， ， 的平均数相同，<， 种小麦的长势比较整齐． 【点睛】本题考查了求平均数，求方差，根据方差判断稳定性，样本估计总体，掌握以上知识是解题的关键． B卷（共50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 在直线 上到x轴的距离等于3的点的坐标是___________． 【答案】 和 【解析】 【分析】令 ，求出x的值即可． 【详解】解：∵当时，代入中，解得： ； 当 时，代入中，解得： ， ∴直线上到x轴的距离等于3的点的坐标为 和 ． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 21. 已知五个数据，，，，的平均数是，则，，，，这五个数据的平均数_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是样本平均数的求法及运用，解题的关键是掌握平均数公式：；根据平均数公式计算即可． 【详解】解：一组数据，，，，的平均数是a，有， 那么另一组数据，，，，的平均数是， ， 故答案为： 22. 如图，中，，，，、分别为，的中点，为上一点，且满足，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质． 先由勾股定理求出，证明是的中位线，得到，再证明，则，即可求出． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 23. 如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接，证明当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， 即当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长． ∵中，， ， ∴， 又∵P为的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 24. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____. 【答案】（11，60，61） 【解析】 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，进而得出（11，60，61）． 【详解】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得 第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）； 第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）． 故答案为：（11，60，61）． 【点睛】本题主要考查了勾股数，解题的关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 26. 某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品x件，商场售完这100件商品的总利润为y元． （1）写出y与x的函数关系式； （2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？ （3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求a的值． 【答案】（1） （2）2800元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据利润（售价进价）销售量进行求解即可； （2）先根据最多投入8400元列出不等式求出，再由一次函数性质求解即可； （3）先仿照（1）求出，然后讨论的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，y最大，最大， ∴商场可获得的最大利润是2800元； 【小问3详解】 解：由题意得，； 当，即时，y随x增大而减小， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得（舍去）； 当时，获得的利润为，不符合题意； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时能获得最大利润， ∴， 解得； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且B（4，2），E为直线AC上一动点，连OE，过E作GF⊥OE，交直线BC、直线OA于点F、G，连OF． （1）求直线AC的解析式． （2）当E为AC中点时，求CF的长． （3）在点E的运动过程中，坐标平面内是否存在点P，使得以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线AC解析式： （2） （3）存在，P点横坐标为：4或或 【解析】 【分析】（1）运用已知点坐标，用待定系数法求解； （2）运用矩形的性质，求证，得，，由垂直平分线得，在中，运用勾股定理，求解； （3）存在以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，分情况讨论：①以，为边，则，因为，得E为的中点，由（2）可知点，点，根据平移的性质，可得点P的坐标为，得点P的横坐标为4；②如图1，以，为边，，延长至P′，使，在的延长线上截取，连接，求证，得，则；设，在Rt△EOG中，运用勾股定理，求得，所以，，平移法得P点横坐标为；③如图2，以，为边，，作于H，连接，作与Q，可得，，所以平分，得，，在中，设，运用勾股定理，解得，，所以，则，所以P点横坐标为：4或或． 【小问1详解】 ∵矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，且， ∴点，点， 设直线AC的解析式：， 代入点A，C坐标， 得， 解得 ∴直线AC解析式：； 【小问2详解】 ∵E为的中点， ∴， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为线段的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 解得， ∴； 【小问3详解】 存在以P、O、G、F为顶点的四边形为菱形，分情况讨论： ①以，为边， 则， ∵， ∴E为的中点， 由（2）可知点，点， 根据平移的性质，可得点P的坐标为， ∴点P的横坐标为4； ②如图1， 以，为边，， 延长至P′，使，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， 在Rt△EOG中，，，， ∴， ∴， ∴G，， ∵， ∴P点横坐标为：； 如图2， 以，为边，， 作于H，连接，作与Q，可知点O、E、F、C四点共圆， 可得，而， ∴,即平分， ∴，， 设， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：P点横坐标为：4或或． 【点睛】本题考查待定系数法、垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理及角平分线的性质和判定等，综合性较强；解题关键是添设辅助线，构造全等三角形，从而作线段的等量转换，融合勾股定理，求解线段长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$