精品解析：湖北省十堰市郧西县2024-2025学年下学期期末学业水平监测八年级数学试题

郧西县2024-2025学年（下）期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 92 方差 3.6 3.6 74 8.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 直线向上平移2个单位，所得直线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 7. 已知点 都在关于的一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠得到，延长交于点，已知，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 12. 函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在y轴上．若为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个． 13. 某公司招聘一名技术人员，对小超进行了笔试和面试．小超笔试和面试的成绩分别为90分和85分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小超的综合成绩为______分． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为 _________． 15. 如图1，中，是边上动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为________． 三、解答题（本题有9个小题，共75分） 16. 计算： 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 18. 如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 19. 为引导学生“多读书，读好书，好读书”，某校对图书馆进行升级改造，创建了室外图书馆，自建成以来，学生的图书借阅量明显提升、现对本校八年级学生月份的“图书借阅量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“图书借阅量”（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接补全两幅统计图； （2）本次所抽取学生月份“图书借阅量”的众数为__________，中位数为__________； （3）该校八年级共有名学生，请估计该校八年级学生月份“读书借阅量”为本及以人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）若直线与x轴交于点B，求的面积． 21. 如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求和的长． 22. 某商店销售12台A型和5台B型空调利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． （1）求每台A型空调和B型空调销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑空调的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为多少元？ 23. 某校数学兴趣小组开展了一次课外活动．过程如下：如图①，正方形中，，将三角板放在正方形上，使三角板直角顶点与D点重合．三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q． （1）兴趣小组发现，请你证明这个结论； （2）如图②，小明在图1的基础上作的平分线交于点E，连接，他发现和存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）在（2）的条件下，若，求的长度． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线n与直线m、x轴分别交于点点． （1）求直线n的解析式； （2）若点P是直线n上的点，且满足的面积等于面积的，请求出点P的坐标； （3）点D和点E分别是直线n和y轴上的动点，是否存在点D、E使得以点A、B、D、E为顶的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郧西县2024-2025学年（下）期末学业水平监测 八年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，解决本题的关键是根据最简二次根式的定义进行判断 ． 【详解】解：A、被开方数中不含分母，不含能开的尽方的因数，是最简二次根式，故A选项符合题意； B、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、中的能开的尽方，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、可以写成，其中的能开的尽方，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 2. 在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出另一条直角边，根据勾股定理求出斜边长，计算即可． 【详解】解：设这个直角三角形的一条直角边为x， ∵有一个内角为， ∴另一个内角为， ∴另一条直角边为x， 由勾股定理得：斜边长为：， ∴这个三角形的三边长的比为：， 故选：B． 3. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解． 【详解】解：∵一次函数，k=-1＜0，b=1＞0， ∴一次函数图象一定经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0则y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 4. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学竞赛，应该选择（　　） 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 92 95 95 92 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据方差和平均数做决策，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛即可． 【详解】解：∵， ∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定， ∵， ∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高， ∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙． 故选：B． 5. 直线向上平移2个单位，所得直线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度，得到直线解析式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 6. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3， ∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点， ∴ ∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又∵AD=6， ∴四边形EFGH的周长=6+5=11． 故选D． 点睛：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 7. 已知点 都在关于的一次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数k值的符号，确定y随x变化情况，即可求解． 【详解】对于一次函数， ∵k=﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵3＞-2＞-3， 故 y3<y1<y2 ； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 8. 如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，先根据作图可知四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，根据点的位置的不同，分三段求出的面积的表达式是解题的关键． 设菱形的高为，即是一个定值，再分点在上，在上和在上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：分三种情况： ①当在边上时，如图1， 设菱形的高为， ， 随的增大而增大，不变， 随的增大而增大， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图2， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图3， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小， 点从点出发沿在路径匀速运动到点， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项A正确； 故选：A． 10. 如图，在矩形中，是边的中点，将沿所在直线折叠得到，延长交于点，已知，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．连接，由折叠的性质可得，又由是边的中点，可得，然后证得，继而求得线段的长，再利用勾股定理求解，即可求得答案．注意证得是关键． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， 沿折叠后得到， ， ， 在矩形中， ， ， 在和中， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分．请直接将答案填写在答题卡中，不写过程） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式定义可列出关于a的等式，解出a即可． 【详解】由题意可知， 解得：． 故答案为：1． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义．掌握化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键． 12. 函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在y轴上．若为等腰三角形，则满足条件的点C共有_________个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象上点的特征，等腰三角形的性质；掌握利用两圆一线找等腰三角形的方法是解题的关键．三角形的找法如下：如图，以点A为圆心，为半径作圆，与y轴交点即为，，以点B为圆心，为半径作圆，与y轴交点即为，；作的中垂线与y轴的交点即为；从而可得答案． 【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径作圆，与y轴交点即为，， 以点B为圆心，为半径作圆，与y轴交点即为，； 作的中垂线与y轴的交点即为； 符合条件的点有个； 故答案为：4； 13. 某公司招聘一名技术人员，对小超进行了笔试和面试．小超笔试和面试的成绩分别为90分和85分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小超的综合成绩为______分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小超的综合成绩． 【详解】解：由题意可得，小超的综合成绩为： （分）， 故答案为：87． 14. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为 _________． 【答案】2a 【解析】 【分析】根据勾股定理得到CE的长，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵CD⊥AB，CD=DE=a， ∴CE==， ∵在△ABC中，∠ACB=90°，点E是AB的中点， ∴AB=2CE=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线，能求出AE=CE是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 15. 如图1，中，是边上的动点．设两点之间的距离为两点之间的距离为，表示与的函数关系的图像如图2所示，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力，等腰三角形的性质，勾股定理； 根据函数图象判断出，时，，作于E，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：由函数图象得：当时，，即时，， 当时，，即时，点D，C重合，， 当时，如图，作于E，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有9个小题，共75分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先将每个二次根式化成最简二次根式后再根据二次根式的加减计算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，进行二次根式的加减，一定要将每个二次根式都化成最简二次根式后再合并同类二次根式，这是解决此类问题的关键． 17. 如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 18. 如图，在荡秋千时，已知绳子长5米，荡到最高点D时秋干离地面3米，点B，C分别是点A，D在地面上的投影，若线段的长是4米，求秋千的起始位置距离地面的高度（线段的长）． 【答案】秋千的起始位置距离地面的高度为1米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．作于点，在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴米，米，米， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：秋千的起始位置距离地面的高度为1米． 19. 为引导学生“多读书，读好书，好读书”，某校对图书馆进行升级改造，创建了室外图书馆，自建成以来，学生的图书借阅量明显提升、现对本校八年级学生月份的“图书借阅量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“图书借阅量”（单位：本）进行了统计，如图所示： 根据以上信息，解答下列问题： （1）请直接补全两幅统计图； （2）本次所抽取学生月份“图书借阅量”的众数为__________，中位数为__________； （3）该校八年级共有名学生，请估计该校八年级学生月份“读书借阅量”为本及以人数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）名 【解析】 【分析】（1）根据本的人数和所占的百分比求出抽样调查的学生总数，再乘以读本人数所占的百分比求出读本的人数，用读本的人数除以总人数求出读本所占百分比从而补全统计图； （2）根据中位数和众数的定义求出本次所抽取学生月份“图书借阅量”的中位数和众数即可； （3）用八年级名学生乘以月份“图书借阅量”为本及以上的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数人， 购买本的人为人， 读本的人数为人， 读本人数占总人数的， 则补全统计图如下： 【小问2详解】 解：读本书的人最多，则众数为， 把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第，个数的平均数， 则月份“图书借阅量”的中位数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：名， 八年级学生月份“读书借阅量”为本及以人数为名． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数和众数的定义，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，直线与直线相交于点P． （1）求直线的解析式； （2）若直线与x轴交于点B，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据的坐标设直线的解析式为，待定系数法求解析式即可； （2）根据与x轴交于点B，先求得点的坐标，再联立与直线求得点的坐标，根据进行求解即可． 【详解】（1）设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式； （2）直线与x轴交于点B， 令，解得 直线与直线相交于点P，则 解得 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求量直线交点坐标，求两直线围成的三角形面积，根据题意待定系数法求解析式是解题的关键． 21. 如图，在中，平分交于点D，点E在线段上，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析 （2）和的长分别为8和 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出答案； 对于（2），根据勾股定理求出，再设，则，表示出，，然后根据列出方程求出解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴． ∴和的长分别为8和． 22. 某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． （1）求每台A型空调和B型空调的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑空调的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为多少元？ 【答案】（1）每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元 （2）购进34台A型空调和66台B型空调，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为13300元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元，根据“销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，根据“B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍”列一元一次不等式，求出的取值范围，再得出关于的函数关系式，利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元， ∴． ∴． 答：每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元． 【小问2详解】 解：设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元， 则， 解得：， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值，此时， 答：商店购进34台A型空调和66台B型空调，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为13300元． 23. 某校数学兴趣小组开展了一次课外活动．过程如下：如图①，正方形中，，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交于点P，另一边交的延长线于点Q． （1）兴趣小组发现，请你证明这个结论； （2）如图②，小明在图1的基础上作的平分线交于点E，连接，他发现和存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明； （3）在（2）的条件下，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由正方形的性质得出，，证出，由证明，得出对应边相等即可； （2）证，由证明，得出对应边相等即可； （3）由（2）和（1）得出，，求出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）得：， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得：， 由（1）得：， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即的长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线n与直线m、x轴分别交于点点． （1）求直线n的解析式； （2）若点P是直线n上的点，且满足的面积等于面积的，请求出点P的坐标； （3）点D和点E分别是直线n和y轴上的动点，是否存在点D、E使得以点A、B、D、E为顶的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）存在，的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析，平行四边形性质及应用等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）设直线的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式； （2）求出点的坐标为，可得，即可求出，，再分两种情况求出，列方程可解得答案； （3）设，，分三种情况：当为对角线时，当为对角线，当为对角线时，分别列方程即可解得的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由直线，当时，， ∴点坐标为， 过点作轴于点，如图： ， ， ， ， 设点， 当点在点左侧进，则， ， ， 由， 解得：， ， 当点在点的右侧时，则， ， ， 由， 解得：， ∴， ∴满足条件的点的坐标为或； 【小问3详解】 解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设，， 又，， 当为对角线时，的中点重合，如图： ，， 解得：，， ∴； 当为对角线，如图： ，， 解得：，， ， 当为对角线时，如图： ，， 解得：，， ∴， 综上所述，的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$