第16讲 分式方程 暑假预习讲义 2025--2026学年人教版八年级数学上册

八年级暑假能力强化班（人教版） 第十一讲：分式方程 1、 课程目标 1. 了解分式方程的概念和检验的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列分式方程解简单的应用问题． 二、课程内容 知识点一 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注：分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 题型一 方程的有关概念 例1-1 下列说法： (1)解分式方程一定会产生增根； (2)方程的根为x=2； (3)方程 两边的最简公分母为； (4) 是分式方程. 其中正确的个数是（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 配套练习 1-1 下列关于的方程，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 知识点二 分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型一 解分式方程 例2-1 解分式方程：（1）. （2）. 配套练习2-1 解方程：（1）; （2）. 题型二 由分式方程的解求出字母的值 例2-1已知关于的方程的根是，求的值. 配套练习2-1 若是分式方程的根，则的值是（ ）. A. B. C. D. 知识点三 解分式方程产生增根的原因 增根：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 注：解分式方程一定要检验，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 题型一 利用方程根的情况求字母参数的值 例3-1 关于的分式方程. (1)若此方程有增根，求的值； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程无解，求的值. 配套练习3-1 试问当取何值时，分式方程会产生增根？ 配套练习3-2 若关于的方程有增根，求的值. 题型二 根据分式方程的解确定字母参数的取值范围 例3-2 已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围. 配套练习3-2 已知关于的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 （ ） A. m＞2 B. m≥2 C. m≥2且m≠3 D. m＞2且m≠3　 知识点四 分式方程的实际应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 题型一 工程问题 例4-1 一项工程，若由甲、乙两公司合作18天可以完成，若甲、乙两公司单独完成此项工程，甲公司所用时间是乙公司的1.5倍.求甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ 配套练习4-1 根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600米后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？ 题型二 销售问题 例4-2 “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5400元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数比第一批所购花盒数多100盒，且每盒花的进价比第一批的进价少3元．设第一批盒装花的进价是x元，则根据题意可列方程为 ． 配套练习4-2 某商家预测一种衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件进价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫都按每件150元的价格销售，则两批衬衫全部售完后的利润是多少元？ 题型三 行程问题 例4-3 吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度． 配套练习4-3 一慢车和一快车同时从A地到B地，A，B两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车和慢车的速度． 三、课程总结 学霸秘籍： 四、家庭作业 作业1：定制个性化习题15道 作业2：李老师发布的自定义习题 一课一练 1.方程+=﹣1的解是（　　） A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无解 2.已知关于x的分式方程=3的解是正数，则m可能的取值为（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 3.关于x的方程=无解，则k的值为（　　） A．0或 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 4.分式方程+2=的解是 ． 5.解下列分式方程： （1）+=1；（2）-=1． 6．根据下面的对话，请你帮领队李明算算每分钟一个检票口能检多少人？ 家庭作业 1.周末，几名同学包租一辆面包车前往“黄冈山”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，设原来参加游玩的同学为x人，则可得方程（　　） A．﹣=3 B．﹣=3 C．﹣=3 D．﹣=3 2.已知x=3是分式方程=的根，则a的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 3.对于实数a、b，定义一种新运算“※”为：a※b=，这里等式右边是实数运算．例如：1※3==-．则方程x※（﹣2）=﹣1的解是（　　） A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7 4.分式方程+=1的解为　 　． 5.某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y=，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13）．如果一个儿童服药量恰好占成人服药量的一半，那么他的年龄是 ． 6.若关于x的方程+=2的解不大于8，则m的取值范围是 ． 7.某高速铁路正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？ 8.阅读下列材料： ∵=（1-），=（-），=（-），…，=（-）， ∴+++···+=（1-）+（-）+（-）+···+（-） =（1-+-+-+···+-）=（1-）. 解答下列问题： （1）在和式+++···中，第6项为 ，第n项是 ； （2）上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的． （3）受此启发，请你解下面的方程：++=. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$八年级暑假能力强化班（人教版） 第十一讲：分式方程 1、 课程目标 1. 了解分式方程的概念和检验的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列分式方程解简单的应用问题． 二、课程内容 知识点一 分式方程的定义 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 注：分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 题型一 方程的有关概念 例1-1 下列说法： (1)解分式方程一定会产生增根； (2)方程的根为x=2； (3)方程 两边的最简公分母为； (4) 是分式方程. 其中正确的个数是（ ） A.个 B.个 C.个 D.个 【思路分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答. 【解】(1)解分式方程不一定会产生增根； (2)当x=2时，分母为，所以是增根； (3)方程两边的最简公分母为； 根据分式方程的定义判断(4)正确. 所以(1)(2)(3)错误，故选A 【总结提示】准确理解分式方程的有关概念是解决此类问题的关键. 配套练习 1-1 下列关于的方程，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 【解】A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B.方程分母中不含未知数，故不是分式方程； C.方程分母中不含表示未知数的字母，是常数； D.方程分母中含未知数，故是分式方程． 故选D． 【总结提示】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 知识点二 分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 题型一 解分式方程 例2-1 解分式方程：（1）. （2）. 【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解. 【解】（1）去分母得：， 计算得出：， 经检验是分式方程的解. （2）原方程即. 方程两边都乘以，得. 计算得出. 经检验是原方程的增根， 原方程无解. 【总结提示】解分式方程一般有三个步骤： （1）“去”，即去分母，将原方程化为整式方程. （2）“解”，即解这个整式方程. （3）“验”，即验根. 配套练习2-1 解方程：（1）; （2）. 【思路分析】先去分母将原分式方程转化为整式方程，求得x值后再代入原分式方程检验即可. 【解】（1）方程两端同时乘以得： ，化简得：，解得：，检验：当时，，所以是原分式方程的解，故原分式方程的解为. （2）由题意知，去分母得，整理得，. 经检验，x=11是原方程的解. 题型二 由分式方程的解求出字母的值 例2-1已知关于的方程的根是，求的值. 【思路分析】首先将代入方程，得到关于的方程，然后解关于的分式方程，求出方程的解即可. 【解】∵关于的方程的根是， ∴将代入方程， 得：， 即， 解得：， 经检验满足方程. ∴的值为. 【总结提示】本题是有关求分式方程中参数的取值问题，熟练掌握分式方程的解法，方程的解的定义是解题的关键. 配套练习2-1 若是分式方程的根，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【解】将代入分式方程可得：，解得. 故选A. 【总结提示】本题主要考查分式方程及其解法. 知识点三 解分式方程产生增根的原因 增根：方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 注：解分式方程一定要检验，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 题型一 利用方程根的情况求字母参数的值 例3-1 关于的分式方程. (1)若此方程有增根，求的值； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程无解，求的值. 【思路分析】若一个数为分式方程的增根，则这个数一定是去分母后的整式方程的根.利用这个结论可求待定字母的值.分式方程无解必须具备：最简公分母等于或去分母后的整式方程无解. 【解】(1)去分母并整理，得. 因为是原方程的增根，所以，. (2)因为原分式方程有增根，所以，或. 又因为整式方程有根，所以. 因此原分式方程的增根为.所以，所以. (3)去分母并整理得： . ①当时，该整式方程无解，此时. ②当时，要使原方程无解，则，或，把入整式方程，的值不存在，把代入整式方程，得. 综合①②得： 或. 【总结提示】分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值. 配套练习3-1 试问当取何值时，分式方程会产生增根？ 【思路分析】解这类题，一般先将分式方程化为整式方程，求出值(用的代数式表示)，再找出使原方程分母为的值，得到等式，从而求出的值 【解】在方程两边同时乘以，得．解得．又因为是原分式方程的增根，从而有，所以．即当时，原分式方程的解会产生增根． 【总结提示】解这类问题关键是认真观察，得出使原分式方程中分母为零的的值，从而构建出关于待定字母的等式． 配套练习3-2 若关于的方程有增根，求的值. 【思路分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．若有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【解】方程两边都乘，得 ∵当最简公分母时，方程有增根， 把代入整式方程，得 ． 【总结提示】增根问题可按如下步骤进行： ①代入最简公分母确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 题型二 根据分式方程的解确定字母参数的取值范围 例3-2 已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围. 【思路分析】解此题首先是将分式方程化为整式方程，用含m的式子表示，然后根据条件确定m的取值范围. 【解】方程两边都乘(x－3)，得x－2(x－3)=m，解得：x=6－m， ∵x＞0，∴6－m＞0，∴m＜6， 又∵ x≠3，∴m≠3．∴m＜6且m≠3． 【总结提示】此题考查了分式方程的解法，解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x－3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．能根据已知和方程的解得出m的范围是解此题的关键． 配套练习3-2 已知关于的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 （ ） A. m＞2 B. m≥2 C. m≥2且m≠3 D. m＞2且m≠3　 【思路分析】先将分式方程转化为整式方程，利用m表示出未知数x的解，再依据条件列出不等式求解，注意x≠1. 【解】分式方程去分母得：m﹣3=x﹣1，解得：x=m﹣2， 由方程的解为非负数，得到m﹣2≥0，且m﹣2≠1，解得：m=2且m≠3． 故选C . 知识点四 分式方程的实际应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 题型一 工程问题 例4-1 一项工程，若由甲、乙两公司合作18天可以完成，若甲、乙两公司单独完成此项工程，甲公司所用时间是乙公司的1.5倍.求甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ 【思路分析】设乙公司单独完成此项工程需x天，则甲公司单独完成需要1.5x天，然后根据两队合作18天完成列出关于x的方程求解即可； 【解】设乙公司单独完成此项工程需x天，则甲公司单独完成需要1.5x天． 由题意，得 ， 解得：x=30，经检验x=30是原方程的解． 则1.5x=45． 答：甲公司单独完成需要45天，乙公司单独完成需要30天． 配套练习4-1 根据城市规划设计，某市工程队准备为该城市修建一条长4800米的公路．铺设600米后，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，该工程队增加人力，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，该工程队原计划每天铺设公路多少米？ 【思路分析】设原计划每天铺设公路x米，根据实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果9天完成任务，以时间做为等量关系可列方程求解． 【解】设原计划每天铺设公路x米，根据题意，得 去分母，得1200+4200=18x， 解得x=300． 经检验，x=300是原方程的解且符合题意． 答：原计划每天铺设公路300米． 【总结提示】本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，列出方程求解． 题型二 销售问题 例4-2 “母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5400元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数比第一批所购花盒数多100盒，且每盒花的进价比第一批的进价少3元．设第一批盒装花的进价是x元，则根据题意可列方程为 ． 【思路分析】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数量是盒 ，第二批进的数量是 盒，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量+100，可得方程． 【解】设第一批盒装花的进价是x元/盒，则. 故答案是： . 【总结提示】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.分式方程根的检验，除了要检验它是不是增根，还要看它是否符合实际情况. 配套练习4-2 某商家预测一种衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，上市后果然供不应求，商家又用了26400元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件进价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫都按每件150元的价格销售，则两批衬衫全部售完后的利润是多少元？ 【思路分析】（1）设第一批衬衫x件，则第二批衬衫为2x件，接下来依据第二批衬衫每件进价贵了10元列方程求解即可； （2）先求得每一批衬衫的数量和进价，然后再求得两批衬衫的每一件衬衫的利润，最后根据“利润=每件的利润×件数”求解即可． 【解】（1）设第一批购进衬衫x件，则第二批购进衬衫为2x件． 根据题意得： ， 解得；x=120． （2）12000÷120=100，100+10=110． 两批衬衫全部售完后的利润为120×（150﹣100）+240×（150﹣110）=15600元． 答：（1）该商家购进的第一批衬衫是120件； （2）两批衬衫全部售完后的利润是15600元． 【总结提示】本题主要考查的是分式方程的应用，依据第二批衬衫每件进价贵了10元列出关于x的方程是解题的关键． 题型三 行程问题 例4-3 吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度． 【思路分析】首先设骑自行车学生的速度是x千米/时，则汽车速度是2x千米/时，由题意可得等量关系；骑自行车学生行驶20千米所用时间-汽车行驶20千米所用时间=0.5小时，根据等量关系，列出方程即可． 【解】设骑自行车学生的速度是x千米/时，由题意得： ， 解得： ， 经检验： 是原分式方程的解。 答：骑自行车学生的速度是20千米/时． 配套练习4-3 一慢车和一快车同时从A地到B地，A，B两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车和慢车的速度． 【思路分析】直接利用“路程÷速度=时间”，结合快车比慢车早到达2小时，列出等式求解. 【解】设快车的速度为xkm/h，则慢车的速度为 ， 根据题意可得： ， 解得： ， 经检验得： 是原方程的根， ∴ . 三、课程总结 学霸秘籍： 四、家庭作业 作业1：定制个性化习题15道 作业2：李老师发布的自定义习题 一课一练 1.方程+=﹣1的解是（　　） A．x=2 B．x=1 C．x=0 D．无解 【解】方程两边都乘（x﹣1），得﹣1+x=﹣（x﹣1），解这个方程，得x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解．故答案为：D 2.已知关于x的分式方程=3的解是正数，则m可能的取值为（　　） A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4 【解】解分式方程=3，解得x=m+6，∵关于该方程的解是正数，∴m+6＞0，m+6≠2，解得m＞﹣6且m≠﹣4，故选C． 3.关于x的方程=无解，则k的值为（　　） A．0或 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3 【解】去分母，得：x+3=2kx，∴（2k﹣1）x=3， 当k=时，（2k﹣1）x=3无解，即原方程无解； 由分式方程无解，得到2x（x+3）=0，解得：x=0或x=﹣3. 把x=0代入x+3=2kx，得：3=0，无解； 把x=﹣3代入x+3=2kx，得：﹣6k=0，解得：k=0， 综上所述，k的值为0或．故选A. 4.分式方程+2=的解是 ． 【解】去分母，得1+2x﹣6=x﹣4，解得x=1.经检验x=1是分式方程的解．故答案为：x=1 5.解下列分式方程： （1）+=1；（2）-=1． 【解】（1）方程两边乘（x+3）（x﹣3），得3+x（x+3）=x2﹣9， 解这个方程，得x=﹣4. 经检验，x=﹣4是原分式方程的解． （2）方程两边同乘x2-1，得x（x﹣1）﹣4=x2﹣1， 解这个方程，得x=﹣3， 经检验x=﹣3是分式方程的解． 6．根据下面的对话，请你帮领队李明算算每分钟一个检票口能检多少人？ 【解】设每分钟一个检票口能检x人． 根据题意，得-=5， 解这个方程，得：x=100． 经检验：x=100是原方程的解且符合题意． 答：每分钟一个检票口能检100人． 家庭作业 1.周末，几名同学包租一辆面包车前往“黄冈山”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，设原来参加游玩的同学为x人，则可得方程（　　） A．﹣=3 B．﹣=3 C．﹣=3 D．﹣=3 【解】设原来参加游玩的同学为x人，则实际参加游玩的同学为（x+2）人，原来每个同学分担的车费为元，实际每个同学分担的车费为元，根据等量关系“每个同学比原来少分担3元车费”，即可列出方程﹣=3.故答案为：A 2.已知x=3是分式方程=的根，则a的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【解】∵x=3是分式方程-的根，∴=，解得a=5.故选：A． 3.对于实数a、b，定义一种新运算“※”为：a※b=，这里等式右边是实数运算．例如：1※3==-．则方程x※（﹣2）=﹣1的解是（　　） A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7 【解】根据题意，得x※（﹣2）==，所以得分式方程=﹣1，解得x=5，经检验，x=5是该分式方程的解，故选B． 4.分式方程+=1的解为　 　． 【解】两边都乘（x+1）（x﹣1），得x（x+1）+1=（x+1）（x﹣1），解得x=﹣2，经检验，x=﹣2是原方程的解.故答案为：x=﹣2 5.某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y=，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄（x≤13）．如果一个儿童服药量恰好占成人服药量的一半，那么他的年龄是 ． 【解】当儿童服药量占成人服药量的一半时，即=，解得x=12，经检验，x=12是原方程的根，且符合实际问题的意义，所以12岁的儿童服药量占成人服药量的一半．故答案为：12 6.若关于x的方程+=2的解不大于8，则m的取值范围是 ． 【解】去分母，得2﹣x﹣m=2x﹣4，解得：x=. 由分式方程的解不大于8，得，解得m≥﹣18且m≠0.故答案：m≥﹣18且m≠0 7.某高速铁路正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程． （1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？ （2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？ 【解】（1）设乙队单独施工需要x天才能完成该项工程. ∵甲队单独施工30天完成该项工程的，∴甲队单独施工90天完成该项工程. 根据题意，得+15（+）=1， 解这个方程，得x=30. 经检验，x=30是原方程的根. 答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程. （2）设乙队参与施工y天才能完成该项工程， 根据题意，得×36+y·≥1， 解这个不等式，得y≥18. 答：乙队至少施工18天才能完成该项工程． 8.阅读下列材料： ∵=（1-），=（-），=（-），…，=（-）， ∴+++···+=（1-）+（-）+（-）+···+（-） =（1-+-+-+···+-）=（1-）. 解答下列问题： （1）在和式+++···中，第6项为 ，第n项是 ； （2）上述求和的想法是通过逆用 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 ，从而达到求和的目的． （3）受此启发，请你解下面的方程：++=. 【解】（1）观察可知，每一项的分母都是两个连续奇数相乘，且第一个奇数为（2n-1），所以第6项的分母中第一个奇数为2×6-1=11，则第6项是，第n项是，故答案为：， （2）分式减法，抵消 （3）将分式方程变形为（-+-+-）=， 整理，得-=， 方程两边乘2x（x+9），得2（x+9）﹣2x=9x， 解这个方程，得x=2． 经检验，x=2是原分式方程的根． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$