第二十八讲：分式方程（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十八讲：分式方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式方程的概念 1. 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2. 分式方程应满足的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 知识点02：分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 (1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. (2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 知识点03：分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度×时间＝路程. (2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. (3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. (4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息. 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 考点1：分式方程的定义 【典型例题】 下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式方程的定义，解题关键是理解整式方程的定义． 根据整式方程的定义，需逐一分析各方程再作判断． 【详解】解：是整式方程，故A符合； 不是整式方程，故B不符合； 不是整式方程，故C不符合； 不是整式方程，故D不符合， 故选：A． 【变式训练1】 下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，据此逐一进行判断． 【详解】解：A.分母不含未知数，不是分式方程，故A符合题意； B.是分式方程，故B不符合题意； C.是分式方程，故C不符合题意； D.是分式方程，故D不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式训练2】 下列方程属于分式方程的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、是整式方程，故本选项不符合题意； D、是整式方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．． 考点2：解分式方程 【典型例题】 解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是通过去分母将其转化为整式方程．观察方程两边的分母均为，确定最简公分母为，两边同乘后消去分母． 【详解】解：， 方程两边同乘，得： ， ， 故选A． 【变式训练1】 解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，，熟练掌握去分母这一变形是解题的关键． 先变形，再方程两边同乘以最简公分母，即可去分母变形． 【详解】解：， 方程变形 ，得， 方程两边同乘，得：， 故选：D． 【变式训练2】 对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解． 根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解． 【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为： ， 化简分母为，方程变为：， 两边同乘（注意，即），得： 解得：， 验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为， 故选：C． 考点3：分式方程无解问题 【典型例题】 关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为，熟记增根特点是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 【变式训练1】 若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 【变式训练2】 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程有增根求参数． 分式方程有增根时，增根为使分母为零的x值．将分式方程转化为整式方程后，代入增根解出参数a即可． 【详解】解：原方程可合并为：， 两边同乘得整式方程： 展开并整理得： 即 ∵分式方程有增根 ∴分式方程的增根为， 将其代入整式方程： 解得： 故选A． 考点4：列分式方程 【典型例题】 某县在“街道改造”过程中需要租用货车运送铺设沿街道路两旁的专用彩色地砖．若租用甲、乙两车运送，两车各运10趟可完成，已知甲、乙两车单独运完这些地砖，乙车所运趟数是甲车的2倍，设甲车单独运完这些地砖需要趟，则根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，利用工作总量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出方程是解题的关键．设甲车单独运完需趟，则乙车需趟．甲车每趟效率为，乙车每趟效率为．两车各运10趟完成总工作量1，据此列方程． 【详解】解：设甲车单独运完这些地砖需运x趟，则乙车单独运完这些地砖需运趟， 由题意得， 故选：B． 【变式训练1】 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设规定时间为天，则慢马所需时间为天，速度为里/天；快马所需时间为天，速度为里/天．根据快马速度是慢马的倍，建立方程即可求解． 【详解】解：由题意，快马速度为，慢马速度为． 根据题意得：， 故选：A 【变式训练2】 “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生们到离他们住的驿站30里的书院参观．学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的行驶速度是步行速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程．设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里，然后根据时间 路程速度列出方程即可． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里， 由题意得，， 故选：C． 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 2．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出未知数后需检验是否为增根． 【详解】 去分母得， ， 解得： 检验：当时，分母，， 因此，方程的解为． 故选：B． 4．若代数式和的值相等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．-3 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程．根据题意，将两个代数式设为相等并解方程，注意分母不为零的条件． 【详解】解：由题意得方程：， 整理得：， 两边同乘，消去分母得：， 解得：， 验证：当时，分母， 则的值为3． 故选：B． 5．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是解分式方程、分式方程的解、解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程． 利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可，注意分式方程无解的情况． 【详解】解：， 方程两边同乘得， ， ， 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， 即且， 且． 故选：． 6．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 由分式方程有增根，得到，代入整式方程计算即可求出m的值； 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合同同类型，得， 将系数化为1，得， 分式有增根， ， ． 故选A． 7．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， ， 方程无解， 或， 或， 或， 故选：D． 8．槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，设小刚的平均速度为，根据题意列出分式方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小刚的平均速度为， 由题意得，， 故选：． 二、填空题 9．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故答案为： 10．已知关于的分式方程的解为2，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程解的应用，通过求解关于的方程得出的值，关键在于利用方程的解的定义进行代入计算． 通过将方程的解代入，把分式方程转化为整式方程，利用方程解的定义求出，体现了“代入求值”的解题思想，关键在于对分式方程的变形及解的准确代入计算． 【详解】解：把代入分式方程，得：， 化简得：， 解得：； 故答案为：5． 11．关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况确定参数，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵关于x的分式方程的增根是， ∴把代入， 解得：． 故答案为：． 12．已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先将分式方程化为整式方程，用含k的式子表示出x，再根据解是正数列不等式，即可求解． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 分式方程的解是正数， 且， 解得：且 故答案为：且 13．若分式方程无解，则m等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先方程两边同乘以可得，则可得，再根据方程无解可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：． 14．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解分式方程得，由分式方程有增根得，即得，解方程即可求解，理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．为抢修一段长120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，则方程可列为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据工作时间等于工作总量除以工作效率，结合提前4天开通了列车，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 16．一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据“两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘，得， 解得：． 检验：当时，， 分式方程的解为． （2）解： 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：． 检验：当时，， 分式方程的解为 18．若关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查由分式方程无解求参数，涉及解分式方程，根据题意，先由去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1得到，再由分式方程无解得到，确定关于的方程求解即可得到答案，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 关于的方程无解， ，即，则， 解得：． 19．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根问题，解题关键是理解增根是整式方程的解，但不是分式方程的解． （1）将代入分式方程计算即可； （2）当时，分式方程有增根，且增根为，将分式方程去分母转化成整式方程，将代入整式方程解出m值即可． 【详解】（1）解：将代入分式方程， 可得 ， 解得； （2）解：当时，分式方程有增根，且增根为， 去分母得， 将代入整式方程得， 即， 所以当时，此方程会产生增根． 20．月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【答案】(1)、两种书的单价分别为元、元 (2)该校最多购买本种书 【分析】（1）设种书的单价为元，则种书的单价为元，由题意列出分式方程后求解即可； （2）设该校购买了种书本，则购买了种书本，由题意列出一元一次不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设种书的单价为元，则种书的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ， 答：、两种书的单价分别为元、元． （2）解：设该校购买了种书本，则购买了种书本， 则， 解得：， 必须为正整数， 该校最多购买本种书． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十八讲：分式方程 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式方程的概念 1. 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2. 分式方程应满足的条件 (1)是方程； (2)含有分母； (3)分母中含有未知数. 以上三者缺一不可. 知识点02：分式方程的解法 1. 解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程. 2. 解分式方程的一般步骤 3. 检验分式方程解的方法 (1)直接检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. (2)公分母检验法：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 知识点03：分式方程的应用 1.列分式方程常用的等量关系 (1)行程问题：速度×时间＝路程. (2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%. (3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和. (4)储蓄问题：本息和＝本金＋利息. 2.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审：即审题, 根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系. (2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. (3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. (4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. (5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. (6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 考点1：分式方程的定义 【典型例题】 下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列方程属于分式方程的是（    ） A．B．C． D． 考点2：解分式方程 【典型例题】 解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（    ） A． B． C． D． 考点3：分式方程无解问题 【典型例题】 关于的方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【变式训练2】 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（   ） A． B． C．2 D．3 考点4：列分式方程 【典型例题】 某县在“街道改造”过程中需要租用货车运送铺设沿街道路两旁的专用彩色地砖．若租用甲、乙两车运送，两车各运10趟可完成，已知甲、乙两车单独运完这些地砖，乙车所运趟数是甲车的2倍，设甲车单独运完这些地砖需要趟，则根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生们到离他们住的驿站30里的书院参观．学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的行驶速度是步行速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为（   ） A．B． C． D． 一、单选题 1．在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 3．方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．若代数式和的值相等，则的值为（    ） A．1 B．3 C．-3 D．-2 5．若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 6．若关于的分式方程有增根，则的值是（    ） A． B． C． D．或 7．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 8．槐荫黄河生态半程马拉松于年月日进行，谷雨节气，黄河堤上，跑者共赴生态之约，他们用脚步丈量这条黄河岸边最美的赛道，选手小明和小刚参与半程马拉松项目，路线长约．小明的平均速度比小刚快，小明比小刚少用分钟，设小刚的平均速度为，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．分式方程的解为 ． 10．已知关于的分式方程的解为2，则 ． 11．关于的方程有增根，则的值为 ． 12．已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是 ． 13．若分式方程无解，则m等于 ． 14．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 15．为抢修一段长120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修x米，则方程可列为 ． 16．一项工程，甲队独做提前2天完成，乙队独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队独做，正好如期完工，设工程期限为天，可列方程 ． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．若关于的方程无解，求的值． 19．已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为？ (2)当取何值时，此方程会产生增根？ 20．月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 学科网（北京）股份有限公司 $$