精品解析：河南省济源市2024-2025学年八年级下学期期末数学试题

2024—2025学年下期期末质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 1，， C. 1，1，2 D. 5，12，15 3. 下面说法错误的是（ ） A. 如图1，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．则圆的面积公式中S是r的函数 B. 如图2，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y是x的函数 C. 如图3，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加，则小球速度ν是时间t的函数 D. 表达式中y是x的函数 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ） A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 6. 《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是7 B. 中位数是 C. 众数是6 D. 方差是1 8. 对于函数图象，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 与y轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 9. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 10. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（　　） A. 张强从家到体育场用了 B. 体育场离文具店 C. 张强在体育场锻炼了 D. 张强从文具店回家的速度是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 12. 把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数表达式为______． 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，．则的度数为______． 14. 17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上发明了平面直角坐标系，通过坐标系将几何图形转化为代数方程，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点A、B刚好放在两坐标轴上，若直角边所在直线的表达式为，则点C的坐标为______． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． （1）截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料的面积． 18. 根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 （1）表中______，______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 19. 已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、点B，函数与的图象交于点，如图所示． （1）填空：______，______； （2）求直线和直线与x轴所围成的三角形的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离为1.5米； （备注：点A，B，C，D同一平面内．） 问题解决 任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （提示：过点A作于点E） 任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线方向再上升12米，即米，线段的长度不变，请问能否成功？并说明理由． 21. 如图，四边形是一张矩形纸片，，，将纸片沿某条直线折叠时，点B恰与点D重合． （1）请你用无刻度的直尺和圆规作出折痕，交于点E，交于点F，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接，，判定四边形的形状，并说明理由； （3）请直接写出（2）中四边形的周长． 22. 四月的风踩着温柔的阳光漫过王屋山，一家家独具特色的文创店铺鳞次栉比，让文化的温度与春天的蓬勃撞个满怀．这是2025年济源王屋山旅游节时的一个场景．在文创市集上，某文创工作室开发A、B两种主题的书签进行销售，制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元． （1）求制作1套A主题书签和1套B主题书签的成本分别为多少元？ （2）现工作室要制作A、B两种主题的书签共80套推向市场，A种主题的书签每套售价100元，B种主题的书签每套售价30元，已知制作A、B两种主题的书签的总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 23. （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由； （2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：． （3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下期期末质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的字母代号填涂在答题卡的对应位置． 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数中不含有开方不尽的数或式是最简二次根式判定即可． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. 是最简二次根式，符合题意； D. ，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 1，， C. 1，1，2 D. 5，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下面说法错误的是（ ） A. 如图1，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径为r，圆面积为S．则圆的面积公式中S是r的函数 B. 如图2，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y是x的函数 C. 如图3，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加，则小球速度ν是时间t的函数 D. 表达式中y是x的函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的理解即两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，且对于每一个x，y都有唯一值与之对应,正确理解定义是解题的关键．根据函数的定义逐一分析即可. 【详解】解：圆的半径为r，圆面积为S．则圆的面积公式中S是r的函数，描述正确，不符合题意； 在体检时的心电图中，横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y是x的函数，描述正确，不符合题意； 由表格信息可得小球速度ν是时间t的函数，描述正确，不符合题意； 表达式中，不满足函数定义，y不是x的函数，符合题意； 故选：D 4. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ） A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可． 详解】根据题意得：95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分）， 即小彤这学期的体育成绩为88.5分． 故选A． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键. 5. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 6. 《九章算术》中有这样一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，问折断处离地面几尺？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：A． 7. 一组数据的方差计算公式为，下列关于这组数据的说法错误的是（ ） A. 平均数是7 B. 中位数是 C. 众数是6 D. 方差是1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差、中位数、众数、平均数，熟练掌握方差、中位数、众数、平均数的定义是解题的关键． 由方差公式可知数据6、6、9、7，依次计算平均数、中位数、众数和方差即可判断错误选项即可． 【详解】A. 平均数：总和为，平均数，选项A正确； B. 中位数：数据排序后为6、6、7、9，中位数为，选项B正确； C. 众数：6出现次数最多（两次），众数为6，选项C正确； D. 方差：计算各数据与平均数的平方差： ，，，， 总和为，方差，选项D错误； 故选：D． 8. 对于函数的图象，下列结论错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 与y轴的交点为 D. 若两点，在该函数图象上，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 求出当时y的值，求出当时，y的值即可判断A、C；根据一次函数图象与系数的关系即可判断B、D． 【详解】解：A、当时，， 一次函数的图象必过点，故A不符合题意； B、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，故B符合题意； C、当时，， 一次函数的图象与y轴的交点为，故C不符合题意； D、， 随的增大而减小， 又点，，在一次函数的图象上，且， ，故D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 10. 已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，下面的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离家的时间，表示张强离家的距离，则下列结论正确的是（　　） A. 张强从家到体育场用了 B. 体育场离文具店 C. 张强在体育场锻炼了 D. 张强从文具店回家的速度是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息，进行计算，逐项判断即可得解，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 张强从家到体育场用了，故A选项错误，不符合题意； 体育场离文具店，故B选项错误，不符合题意； 张强在体育场锻炼了，故C选项正确，符合题意； 张强从文具店回家的速度是，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式，得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化． 设平移后的直线的解析式为，再把经过的点代入即可得出答案． 【详解】解：设平移后的直线的解析式为 ∵经过点，则 解得， ∴平移后图象函数的解析式为． 故答案为：． 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，．则的度数为______． 【答案】60度## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质． 先利用矩形的性质得出，所以，得出是等边三角形，即，据此解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点， ， ， 是等边三角形， ． 故答案：． 14. 17世纪法国数学家笛卡尔在前人的基础上发明了平面直角坐标系，通过坐标系将几何图形转化为代数方程，为数学研究提供了新的工具和方法．如图所示，将等腰直角三角板的两个顶点A、B刚好放在两坐标轴上，若直角边所在直线的表达式为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质．过点作轴于点，如图，先利用直线的解析式确定，，再证明得到，，所以． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 当时，， 解得， ， 当时，， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 和中， ， ， ，， ． 故答案为：． 15. 若一个三角形三边长之比为，则称这个三角形为“勾股三角形”．如图，在矩形中，，，点在边上，将沿折叠，得到，过点作于点．若是“勾股三角形”，则长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理；过点作于点，则四边形是矩形．进而分两种情况讨论，①当，时，②当时，结合图形，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在矩形中，．将沿折叠，得到， ∴，，． 延长交于点， ∵， 则四边形是矩形． ∴． 若是“勾股三角形”， 分两种情况：①当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． ∴． ②当，时，， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． ∴． 故答案为：或． 三、解答题（共8道题，第16题共10分每小题5分，第17、18、19、20、21题每题9分，第22、23题每题10分，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）先根据二次根式的乘法法则运算，接着把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先变形为，再根据二次根式的除法法则运算． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，从一个大正方形木板上裁出面积为和的两个小正方形木料． （1）截去的两块正方形木料的边长分别为______和______； （2）求剩余木料的面积． 【答案】（1）3； （2）剩余木料为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵两个小正方形面积为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， 故答案为：3；； 【小问2详解】 解：由（1）知大正方形的边长； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 18. 根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手 统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 （1）表中______，______； （2）从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； （3）该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）应该推荐乙选手，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差与稳定性之间的关系，读懂折线统计图是解题的关键． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，即可判断； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【小问1详解】 解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴； ， 故答案为：9.1，9.1； 【小问2详解】 解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 19. 已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A、点B，函数与的图象交于点，如图所示． （1）填空：______，______； （2）求直线和直线与x轴所围成的三角形的面积； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）2，4 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数与几何图形，一次函数与一元一次不等式， （1）将点P的坐标代入一次函数可求出m，再将点P代入函数可得答案； （2）先求出点A的坐标，再根据点的坐标，结合三角形面积公式可得答案； （3）根据直线在直线上方时自变量的取值范围就是不等式的解集解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：2，4； 【小问2详解】 解：当时，， 解得， ∴点， ∴，点P到x轴的距离是4， ∴； 【小问3详解】 解：． 观察图象可知，当时，． 20. 根据背景素材，探索解决问题． 测量风筝离地面的垂直高度（） 背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”． 操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为15米． ②测得牵线放风筝的手的位置A处到地面的距离为1.5米； （备注：点A，B，C，D在同一平面内．） 问题解决 任务一 （1）如图1，根据手中余线长度，计算出的长度为17米，求风筝离地面的垂直高度． （提示：过点A作于点E） 任务二 （2）如图2，在任务一的基础上，若手中剩余线仅有6米时，想要风筝沿射线方向再上升12米，即米，线段的长度不变，请问能否成功？并说明理由． 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为9.5米（2）不能成功．见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）如图1，过点A作于点E，得到四边形是矩形，勾股定理求出，进而求解即可； （2）首先得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点A作于点E， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； 所以，风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）不能成功． 理由：假设能上升12米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∵米，余线仅剩6米， ∴． ∴不能上升12米，即不能成功． 21. 如图，四边形是一张矩形纸片，，，将纸片沿某条直线折叠时，点B恰与点D重合． （1）请你用无刻度的直尺和圆规作出折痕，交于点E，交于点F，交于点O；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接，，判定四边形的形状，并说明理由； （3）请直接写出（2）中四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用尺规作图，作的垂直平分线即可． （2）根据菱形的判定定理证明即可； （3）利用勾股定理，求得菱形的边长，解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，用尺规作图，作的垂直平分线即可． 则即为所求． 【小问2详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【小问3详解】 解：∵四边形是一张矩形纸片，，，， ∴，， 设， 则， 根据勾股定理，得， ， 解得， 故菱形的周长为：． 22. 四月的风踩着温柔的阳光漫过王屋山，一家家独具特色的文创店铺鳞次栉比，让文化的温度与春天的蓬勃撞个满怀．这是2025年济源王屋山旅游节时的一个场景．在文创市集上，某文创工作室开发A、B两种主题的书签进行销售，制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元． （1）求制作1套A主题书签和1套B主题书签的成本分别为多少元？ （2）现工作室要制作A、B两种主题的书签共80套推向市场，A种主题的书签每套售价100元，B种主题的书签每套售价30元，已知制作A、B两种主题的书签的总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】（1）制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 （2）当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数和不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元建立方程组求解即可； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据总成本不超过1400元列出不等式求出m的取值范围；设全部售出后获得的总利润为w元，根据利润计算公式求出w关于m的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； 【小问2详解】 解：设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：． 设全部售出后获得的总利润为w元， ∴，即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 23. （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．试说明理由； （2）如图2，已知和都是等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边上．求证：． （3）如图3，等腰三角形中，，D是斜边的中点，点D又是的直角顶点，，绕点D转动，、分别与、交于M、N，若，请直接写出两个三角形重叠部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）连接，证明，得出，，由等腰直角三角形的性质及勾股定理可得出答案； （3）连接，证明，得出，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴两个正方形重叠部分的面积正方形面积的； （2）证明：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵，D是斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴两个三角形重叠部分的面积 ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$