精品解析：山东潍坊市寿光第一中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试题

2024级高一上学期期末模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 5. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ） A. 女生人数和男生人数一样多 B. 组中男生人数多于女生人数 C. 组男生人数为24人 D. 组人数最少 6. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 7. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. ，且 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A B. C. 函数偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 13. 设函数，则使得成立的的取值范围是_______________. 14. 若，则，，大小关系为______. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 16. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）若，解关于的不等式. 17. 某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． （1）求参加活动的选手没有获得奖金的概率； （2）现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 18. 设函数. （1）当时，证明：为偶函数； （2）当时，解不等式； （3）若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 19. 已知函数且定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024级高一上学期期末模拟考试 数学试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 2. 已知幂函数图象经过点，则（ ） A. B. 9 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式，进而求出函数值. 【详解】设为常数，由幂函数的图象过，得，解得， 则，所以. 故选：A 3. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出指数函数值域化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用并集的定义求解. 【详解】当时，，即， 函数有意义，则，即， 所以. 故选：B 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 5. 某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高分成，，，，五个组，根据抽样结果得到统计图表，则样本中（ ） A. 女生人数和男生人数一样多 B. 组中男生人数多于女生人数 C. 组男生人数为24人 D. 组人数最少 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的柱状图及饼状图，逐项判断即可. 【详解】对于A，女生组有18人，组有48人，组有30人，组有18人，组有6人， 女生共有人，男生有人，因此女生人数多于男生人数，A错误； 对于B，由扇形图，男生组有人，而女生有18人，因此女生多于男生，B错误； 对于C，组有人人，C正确； 对于D，组有人，组有人，组人数不是最少的，D错误. 故选：C 6. 一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ） A. B. C. 事件与互斥 D. 事件与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率公式分别计算，，，，再利用互斥事件的定义和相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项. 【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次取出一个球， 全部的基本事件有：，共个， 事件发生包含的基本事件有：，有个，，A错误； 事件发生包含的基本事件有：，有3个，， 事件发生包含的基本事件：，有4个，， 事件发生包含的基本事件：有个，，B错误； 事件发生包含的基本事件：，有2个，事件与不互斥，C错误； 由，与相互独立，D正确. 故选：D 7. 若命题：“，”.使命题为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由命题为真求出的范围，再结合选项求出命题为假命题的必要不充分条件. 【详解】，，而，当且仅当时取等号，则， 因此命题，命题为假命题时，， 由给定选项知，集合真包含于集合， 所以使命题为假命题的一个必要不充分条件是. 故选：A 8. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：利用基本不等式判断为正确；对于B：利用“1”的妙用判断为错误；对于C：根据指数函数单调性分析判断；对于D：利用基本不等式结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，，且， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时，等号成立， 且，故B错误； 对于选项C：由题意可知：， 则， 且在上单调递增，可得，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，所以， 且在上单调递增， 所以，故D正确； 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差和方差分别为12，8 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C. ，且 D. 随机事件、，若，且，则、为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出新数据的极差、方差判断A；求出第70百分位数判断B；利用平均数及求和公式计算判断C；利用概率的性质，结合互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，不妨令，则，， 因此新数据组的极差为，方差为，A正确； 对于B，所给数据由小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由，得第70百分位数为，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，， 则， 而，因此，即、为互斥事件，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 设函数，则使得成立的的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得成立的的取值范围是．故答案为． 考点：分段函数不等式及其解法. 【方法点晴】本题考查不等式的解法，在分段函数中结合指数函数不等式与幂函数不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．利用分段函数，结合分为两段当时，根据单调性，解指数函数不等式，取交集；当时，解幂函数不等式，取交集，综合取上述两者的并集，即可求出使得成立的的取值范围． 14. 若，则，，大小关系为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】由，得当时，，当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得，， 因此为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图得，所以. 故答案为： 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可. 【小问1详解】 设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）. 从5个项目中随机抽取2个，其样本空间，共10个样本点， 设事件为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”， 则，共3个样本点， 故所求概率为. 【小问2详解】 从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个， 其样本空间，共6个样本点， 其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1个样本点， 故所求概率为. 16. 已知函数. （1）若，求取值范围； （2）若，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见详解 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式在上恒成立问题运算求解； （2）分类讨论两根大小解一元二次不等式. 【小问1详解】 由，可得对恒成立， 则，解得， 故的取值范围. 【小问2详解】 由题意可得：， 令，可得或， 对于不等式，则有： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动．已知每位选手闯第一关成功的概率为，闯第二关成功的概率为，闯第三关成功的概率为．若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元，三关全部通过可获得奖金800元．假设选手是否通过每一关相互独立． （1）求参加活动的选手没有获得奖金的概率； （2）现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为1100元的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即可； （2）甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可. 【小问1详解】 解：设选手闯第一关成功为事件，闯第二关成功为事件，闯第三关成功为事件， 所以，， 设参加活动的选手没有获得奖金为事件， 所以. 【小问2详解】 解：设选手闯关获得奖金300元为事件，选手闯关获得奖金800元为事件， 所以，，， 设两人最后所得奖金总和为1100元为事件， 所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖， 所以 18. 设函数. （1）当时，证明：偶函数； （2）当时，解不等式； （3）若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【小问1详解】 当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. 【小问2详解】 当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 19. 已知函数且的定义域为． （1）当时，求； （2）将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； （3）已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． 【小问2详解】 由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． 【小问3详解】 存在． 易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得， 故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$