第02讲 图形在坐标系中的平移 （知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪科版2024）

第02讲 图形在坐标系中的平移 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1用坐标表示点的平移 2用点的平移表示图形的平移 题型巩固 一、坐标系中的平移 二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 三、由平移方式确定点的坐标 四、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 五、已知图形的平移，求点的坐标 六、已知平移后的坐标求原坐标 七、点坐标规律探索 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1用坐标表示点的平移 1. 点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化. 2. 点的平移与坐标变化的关系 根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即： 知识储备 平移的“两要素”：方向和距离. 特别解读 点的平移与点的坐标变化规律： 将点左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变；即右加左减纵不变；上加下减横不变. 知识点2用点的平移表示图形的平移 1. 图形在坐标平面中的平移 是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 图形在坐标平面中平移变换的实质： (1)图形的位置及表示位置的坐标发生变化； (2)图形的形状、大小、方向不变. 图形平移的实质是点的平移. 2.图形在坐标系中的平移规律： (1) 图形沿 x 轴方向左右平移，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标改变，平移规律为“左减右加” . (2)图形沿 y 轴方向上下平移，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标改变，平移规律为“上加下减” . 题型巩固 题型一、坐标系中的平移 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中的平移、垂线段最短 【分析】本题考查了平行线的性质，图形与坐标，垂线段最短，解题关键是找出线段的长度最短的点C． 先根据垂线段最短找到线段的长度最短的点C，再求出它的坐标． 【详解】解：如图， ∵经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时， ∴当时，线段的长度最短， ∵点，， ∴此时点横坐标为，纵坐标为． ∴． 故选：D． 2．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，“宝藏”点的坐标为 【知识点】坐标系中的平移、写出直角坐标系中点的坐标、用有序数对表示位置 【分析】（）根据点的坐标找到原点的位置，再画出平面直角坐标系即可； （）根据平移找到原点位置，再画出平面直角坐标系即可； 本题考查了坐标与图形，坐标的平移，根据已知点找到原点的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：确定的平面直角坐标系如图所示： （2）解：确定的平面直角坐标系如图所示，此时“宝藏”点的坐标为． 题型二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 3．在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据“向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加”求解即可． 【详解】解：将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 4．将点向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加可得答案． 【详解】点向上平移2个单位长度得到 ∴点Q的坐标为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化--平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 题型三、由平移方式确定点的坐标 5．在平面直角坐标系中，点P （3， -2）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点坐标是（ ） A．（0， 0） B．（6，-4） C．（6，0） D．（0，-4） 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：原来点的横坐标是3，纵坐标是-2，向右平移3个单位再向下平移2个单位得到新点的横坐标是3+3=6，纵坐标为-2-2=-4． 则新坐标为（6，-4）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加． 6．在坐标平面内，先将点向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．即可得出平移后点的坐标． 【详解】解：将点M（-1，2）向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点M′， 则点M′的坐标是（-1+3，2-4），即（2，-2）． 故答案为：（2，-2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为一个单位长度．已知△ABC的顶点A(−2，5)、B(−4，1)、C(2，3)，将△ABC平移得到，点对应点（B对应点，C对应点）． （1）画出，并写出点的坐标_______； （2）的面积为_______． 【答案】（1）图见详解， C′（5，−1）；（2）10． 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可解决问题． （2）利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】（1）如图，△A′B′C即为所求， C′（5，−1）， 故答案为：C′（5，−1）； （2）S△A′B′C′＝4×6−×2×4−×2×4−×2×6＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题． 题型四、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【详解】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：D． 9．纵坐标保持不变，横坐标分别加（减）正数，那么所得图形 平移个单位． 【答案】向右（左） 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据点平移的坐标规律确定点的平移方式，再根据点平移方式确定图形的平移方式即可． 【详解】解：纵坐标保持不变，横坐标分别加（减）正数，那么所得图形向右（左）平移个单位． 故答案为：向右（左）． 【点睛】本题本题考查了坐标与图形的变化-平移，掌握在平面直角坐标系中，图形的平移和图形上点的平移的关系以及点平移的坐标规律（横坐标右移加、左移减；纵坐标上移加、下移减）是解答本题的关键． 10．平面直角坐标系中，各顶点的坐标是，，，各顶点的坐标是，，，请在平面直角坐标系中画出和，观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断是不是由平移得到的？如果是，是怎样平移的？如果不是，请说明为什么？ 【答案】和如图所示；见解析；由向右平移个单位，向上平移个单位得到． 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】先再平面直角坐标系内确定出点A、B、C、D、E、F的位置，然后顺次连接，再根据图形判断出即可． 【详解】解：和如图所示； 由向右平移个单位，向上平移个单位得到． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，掌握平移中点的变化规律，即横“坐标右移加、左移减、纵坐标上移加、下移减”是解答本题的关键． 题型五、已知图形的平移，求点的坐标 11．平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1，4)的对应点C(4，7)，点B(-4，-1)的对应点D的坐标为（    ） A．(-1，-4) B．(1，-4) C．(1，2) D．(-1，2) 【答案】C 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（-1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（-4，-1）的对应点D的坐标． 【详解】∵线段CD是由线段AB平移得到的， 而点A（-1，4）的对应点为C（4，7）， ∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3， 则点B（-4，-1）的对应点D的坐标为（-4+5，-1+3），即（1，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化－平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点O平移到点， ∴将沿x轴正方向向右平移4个单位长度， ∴点平移至点C的坐标为，即． 故答案为：． 题型六、已知平移后的坐标求原坐标 13．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可． 【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得， ∵得到的， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 14．点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为 【答案】(6，-4) 【知识点】已知平移后的坐标求原坐标 【分析】直接利用平移中，点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】设点P的坐标为(，)，由题意， 得：，， 求得，， 所以点P的坐标为(，)． 故答案为：(，)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 题型七、点坐标规律探索 15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，2）、（3，1）、（3，0）、…，根据这个规律探究可得，第2021个点的坐标为（        ） A．（63，40） B．（64，4） C．（63，41） D．（64，5） 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】横坐标为1的点有1个，纵坐标只是0；横坐标为2的点有2个，纵坐标是0或1；横坐标为3的点有3个，纵坐标分别是0，1，2…横坐标为奇数，纵坐标从大数开始数；横坐标为偶数，则从0开始数． 【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列， 依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数， 第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上． 因为1+2+3+…+63＝2016，则第2021个数一定在第64列，由下到上是第5个数． 因而第2021个点的坐标是（64，4）． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 【答案】 三 【知识点】判断点所在的象限、点坐标规律探索、坐标与图形 【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由可得出当秒时点在点处，即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， ∵第3秒时，行走了6个单位， ∴此时位于上，距离点有1个单位， 故在第三象限； ，周期为5秒， ， 当秒时，相当于点P第404次回到点A之后，继续行走了4秒，即8个单位， ∵， ∴此时点的坐标为． 故答案为：三，． 【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的运动规律找出当秒时点在点处是解题的关键． 17．已知：如图，在直角坐标系中，A1（1，0），A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1） （1）继续填写A5（______）；A6（______）；A7（______）：A8（______）；A9（______）；A10（______）；A11（______） （2）依据上述规律，写出点A2017，A2018的坐标． 【答案】（1）2，-1 ； 2，2 ； -2，2 ； -2，-2 ； 3，-2 ； 3，3 ； -3，3；（2）A2017（505，-504），A2018（505，505）. 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据题意可得各个点分别位于象限的角平分线上(和第四象限内的点除外) , 逐步探索出下标和个点坐标之间的关系, 总结出规律, 根据规律推理点A2017，A2018的坐标. 【详解】解：通过观察可得数字是4的倍数的点在第三象限,4的倍数余1的点在第四象限,4的倍数余2的点在第一象限,4的倍数余3的点在第二象限, （1）可得答案：2，-1 ； 2，2 ； -2，2 ； -2，-2 ； 3，-2 ； 3，3 ； -3，3； （2）20174=504...1 点A2017 在第四象限, 且转动了504 圈以后, 在第505圈上A2017 的坐标为(505,-504) , 20184=504...2 点A2018 在第二象限, 且转动了504 圈以后, 在第505圈上A2018 的坐标为(505,505) 故答案：A2017（505，-504），A2018（505，505）. 【点睛】本题主要考查规律性的点的坐标. 分层强化 一、单选题 1．点沿着x轴向右平移2个单位后的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左减右加，左右平移使用变化对象是横坐标，解答即可． 本题考查了坐标的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据左减右加，左右平移使用变化对象是横坐标，得． 故选：A． 2．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 根据在平面直角坐标系中坐标与图形变化-平移的规律进行判断． 【详解】解：点平移到点， 表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点向右平移7个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标与图形变化-平移，根据点P向右平移7个单位，横坐标加7，纵坐标不变，求出点的坐标即可． 【详解】解：因为点向右平移7个单位长度得到点， 所以的坐标为， 即． 故选：B． 4．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形的性质，关键是掌握直线平行于y轴，这两点的横坐标相等． 根据两点所在直线平行于y轴，那么这两点的横坐标相等解答即可． 【详解】解：∵过，两点的直线平行于y轴， ∴， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左平移横坐标减，下平移，纵坐标减，得新点坐标． 【详解】解：左平移3个单位长度，横坐标变为，向下平移2个单位长度，纵坐标变为，点B的坐标为； 故选：D 【点睛】本题考查直角坐标系平移与坐标变化；掌握平移方向与坐标加减的法则是解题的关键． 6．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 7．如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键．根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动2025秒所走的路程为4050个单位长度，,则点P相当于运动了253圈后又运动2个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动2025秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动253圈后又运动2个单位长度， 即第2025秒点所在的位置是， 故选：A． 二、填空题 8．点向左平移2个单位后的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标平移的性质，熟练掌握点坐标平移性质是解题的关键．根据点坐标平移性质，点坐标向左平移，则横坐标减2，纵坐标不变，由此得出平移后的点坐标即可． 【详解】解：∵点向左平移2个单位 ∴平移后点坐标为，即 故答案为：． 9．如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向 平移 个单位得到点B． 【答案】 上 7 【分析】本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握坐标平移的规律是解题的关键．根据左减右加横坐标，上加下减纵坐标进行求解即可． 【详解】∵，得横坐标相同， ∴将点A向上平移7个单位得到点B， 故答案为：上，7． 10．如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可． 【详解】解：∵点的对应点为 ∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位， ∴点的对应点C的坐标为． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 三、解答题 12．（1）如图，建立适当的平面直角坐标系，将方格纸中的等腰梯形的四个顶点用坐标表示出来； （2）这4个点的横坐标减去5，纵坐标减去3，将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质． （1）选择合适的点为坐标原点，根据平面直角坐标系的定义，建立坐标系即可； （2）根据题意可得所得的图形向左平移了5个单位长度，向下平移了3个单位长度，根据平移的性质，即可解答． 【详解】解：（1）以点B为原点建立平面直角坐标系如图所示： 由图可知：； （2）如图所示：所得的图形向左平移了5个单位长度，向下平移了3个单位长度，形状和大小均为发生变化． 13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，现在把线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接、．    (1)请直接写出点C、点D的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【分析】（1）根据平面直角坐标系内的点平移的特点即可． （2）设点P的坐标为，利用的面积是面积的2倍联立等式并求解即可． 【详解】（1）解：将点，先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到点，同理可得点． （2）存在， 设点P的坐标为，则， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及图形的平移，利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标的关系，结合分类讨论思想解决问题是解题的关键． 14．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用坐标平移方法即可得； （2）连接，根据求解即可； （3）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点， ∴， 即； （2）解：如图，连接． ； （3）解：如图，点的纵坐标为， 由的面积等于的面积 得：， 解得：或， 或． 15．如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 16．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）结合点A，B的坐标根据平移特点横坐标加上3，纵坐标不变可得答案； （2）作，根据平移的性质得，再根据平行线的性质得然后根据可得答案； （3）先求出平行四边形的面积，分点P在x轴上时，作出图形根据，可得答案；然后根据点P在y轴上时结合，可得答案；最后根据点P在y轴正半轴时，结合，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段， ∴； （2）解：理由如下： 过点F作，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∴ ∵ ∴， 即：； （3）解：存在；理由如下： 由平移的性质得：． ∵ ∴，边上的高为2， ∴． ①当点P在x轴上时，如图所示： 则， ∴， ∴点P的坐标为：或； ②当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， 若点P在y轴负半轴，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 点P在y轴正半轴时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标内线段的平移，平行线的性质，求点的坐标，求三角形和平行四边形的面积，注意分情况讨论，不能丢解． 17．在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，2），B（-2，0），C（4，0）． (1)如图1，三角形的面积为_______． (2)如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标为________； ②求三角形的面积； ③点（m，3）是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1)6 (2)①D（5,4）；②9；③P点的坐标为（4，3）或（-4，3）． 【分析】（1）根据题意得到三角形的底和高，然后运用三角形的面积公式直接计算即可； （2）①利用平面直角坐标系中点的平移直接得到点D的坐标； ②过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，然后用分割法求出△ACD的面积即可； ③根据三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积列式求解即可． 【详解】（1）∵点A（0，2），B（−2，0），C（4，0）， ∴OA=2，OB=2，OC=4， ∴， 故答案为6； （2）①∵将点B（-2，0）向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D， ∴点D的坐标为（5，4）； ②如图，过D点向x轴作垂线，交x轴于点F，过D点向y轴作垂线，交y轴于点E， ∴， ， 故三角形ACD的面积为9； ③∵三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积， ∴， 解得：， ∴P点坐标为（4，3）或（-4，3）． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中三角形的面积的计算、平面直角坐标系中点的平移，虽然小问比较多，但是考查的内容比较基础，灵活运用这些知识点是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 图形在坐标系中的平移 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1用坐标表示点的平移 2用点的平移表示图形的平移 题型巩固 一、坐标系中的平移 二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 三、由平移方式确定点的坐标 四、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 五、已知图形的平移，求点的坐标 六、已知平移后的坐标求原坐标 七、点坐标规律探索 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（4） 三、解答题（6） 知识梳理 知识点1用坐标表示点的平移 1. 点在坐标系中的平移 在平面直角坐标系中，某个点经过平移后，其位置发生了变化，其坐标也发生了变化. 2. 点的平移与坐标变化的关系 根据点的平移情况可以得到平移后点的坐标变化情况；反过来，根据点的坐标变化情况可以得到点的平移情况，即： 知识储备 平移的“两要素”：方向和距离. 特别解读 点的平移与点的坐标变化规律： 将点左右平移，纵坐标不变；上下平移，横坐标不变；即右加左减纵不变；上加下减横不变. 知识点2用点的平移表示图形的平移 1. 图形在坐标平面中的平移 是指在坐标系中，在保持坐标轴不动的情况下，图形的整体移动. 图形在坐标平面中平移变换的实质： (1)图形的位置及表示位置的坐标发生变化； (2)图形的形状、大小、方向不变. 图形平移的实质是点的平移. 2.图形在坐标系中的平移规律： (1) 图形沿 x 轴方向左右平移，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标改变，平移规律为“左减右加” . (2)图形沿 y 轴方向上下平移，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标改变，平移规律为“上加下减” . 题型巩固 题型一、坐标系中的平移 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）平面直角坐标系中，点，，经过点A的直线轴，点C是直线a上的一个动点，当线段的长度最短时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，除此之外，没有其他信息． (1)如何确定平面直角坐标系找到“宝藏”？请你想想办法，并在图的方格纸中画出这个平面直角坐标系； (2)请你将这个平面直角坐标系向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，在图的方格纸中画出平移后的平面直角坐标系，并写出此时“宝藏”点的坐标． 题型二、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 3．在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将点向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为 ． 题型三、由平移方式确定点的坐标 5．在平面直角坐标系中，点P （3， -2）先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点坐标是（ ） A．（0， 0） B．（6，-4） C．（6，0） D．（0，-4） 6．在坐标平面内，先将点向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到点的坐标是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为一个单位长度．已知△ABC的顶点A(−2，5)、B(−4，1)、C(2，3)，将△ABC平移得到，点对应点（B对应点，C对应点）． （1）画出，并写出点的坐标_______； （2）的面积为_______． 题型四、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 8．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点和点的对应点分别是点和点．若点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．纵坐标保持不变，横坐标分别加（减）正数，那么所得图形 平移个单位． 10．平面直角坐标系中，各顶点的坐标是，，，各顶点的坐标是，，，请在平面直角坐标系中画出和，观察这两个三角形各顶点的坐标关系，判断是不是由平移得到的？如果是，是怎样平移的？如果不是，请说明为什么？ 题型五、已知图形的平移，求点的坐标 11．平面直角坐标系中，线段CD是由线段AB平移得到的，点A(-1，4)的对应点C(4，7)，点B(-4，-1)的对应点D的坐标为（    ） A．(-1，-4) B．(1，-4) C．(1，2) D．(-1，2) 12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，将沿x轴正方向平移至，此时点C的坐标为 ． 题型六、已知平移后的坐标求原坐标 13．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为 题型七、点坐标规律探索 15．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0）、（2，0）、（2，1）、（3，2）、（3，1）、（3，0）、…，根据这个规律探究可得，第2021个点的坐标为（        ） A．（63，40） B．（64，4） C．（63，41） D．（64，5） 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 17．已知：如图，在直角坐标系中，A1（1，0），A2（1，1），A3（-1，1），A4（-1，-1） （1）继续填写A5（______）；A6（______）；A7（______）：A8（______）；A9（______）；A10（______）；A11（______） （2）依据上述规律，写出点A2017，A2018的坐标． 分层强化 一、单选题 1．点沿着x轴向右平移2个单位后的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 3．在平面直角坐标系中，点向右平移7个单位长度得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．已知过，两点的直线平行于y轴，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．4 5．在平面直角坐标系中，将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点B，则点B的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图， 在平面直角坐标系中， 点点P从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿路径循环运动，则第2025 秒时点 P的坐标是（       ） A． B． C． D． 二、填空题 8．点向左平移2个单位后的坐标是 ． 9．如果点A，B的坐标分别为,，那么将点A向 平移 个单位得到点B． 10．如图，在平面直角坐标系中，线段平移至线段，．若点的对应点为，则点的对应点C的坐标是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 三、解答题 12．（1）如图，建立适当的平面直角坐标系，将方格纸中的等腰梯形的四个顶点用坐标表示出来； （2）这4个点的横坐标减去5，纵坐标减去3，将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原图案相比有什么变化？ 13．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，现在把线段向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到线段，连接、．    (1)请直接写出点C、点D的坐标； (2)在x轴上是否存在一点P，使得的面积是面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．在平面直角坐标系中，为原点，的顶点坐标分别为，，，将点右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点． (1)直接写出点的坐标； (2)求的面积； (3)点是一个动点，若的面积等于的面积，请求出点坐标． 15．如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 16．如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 17．在平面直角坐标系中，O为原点，A（0，2），B（-2，0），C（4，0）． (1)如图1，三角形的面积为_______． (2)如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①点D的坐标为________； ②求三角形的面积； ③点（m，3）是一动点，若三角形的面积等于三角形的面积，请直接写出此时点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$