精品解析：湖北省十堰市竹溪县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024-2025学年度下学期期末学业水平检测 七年级数学试卷 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是小数，属于有理数，故本选项不符合题意； B、无理数，故本选项符合题意； C、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D、2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图，直线，直线与，分别交于A，B两点，若，则( ) A 65° B. 75° C. 115° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠1=∠3=65°，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵ ∴∠1=∠3=65°， ∵∠3+∠2=180°， ∴∠2=180°-65°=115°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据邻补角的定义求角度，掌握平行线的性质是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意； B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意； C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意； D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 同旁内角不互补，两直线不平行 B. 同角的余角相等 C. 两直线平行，内错角一定相等 D. 邻补角不可能相等 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的判定可判断A，由余角的性质可判断B，由平行线的性质可判断C，由邻补角的含义结合垂直的定义可判断D，从而可得答案． 【详解】解：同旁内角不互补，两直线不平行，真命题，故A不符合题意； 同角的余角相等，真命题，故B不符合题意； 两直线平行，内错角一定相等，故C不符合题意； 当两条直线互相垂直时，邻补角相等，原表述是假命题，故D符合题意； 故选:D． 【点睛】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是了解平行线的性质、补角的定义及邻补角的定义，余角的含义与性质，掌握以上基本概念与性质是解本题的关键． 5. 以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图所示的是M周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示点N的坐标为，表示点E的坐标为，则表示点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，解题的关键是根据题意建立合适的坐标系．根据点N和点E的坐标可建立坐标系，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可建如下坐标系： ∴表示F的坐标为； 故选：D 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及解一元一次方程，能够用含的式子表示出是解决此题的关键．方程组中的两个方程相加，即可求出，根据题意得出，解关于的方程即可． 【详解】解：两式相加，得， ， ， ， 解得：， 故选：D 8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上的一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 根据题意可知点C的纵坐标为5，在利用垂线段最短即可得出当点C的横坐标为2时，线段长度最小，从而得出答案． 【详解】解：点C在直线上，且直线是过点与轴平行的直线， 点C的纵坐标为5， 点， 根据垂线段最短可知，当点C的横坐标为2时，线段长度最小， 点C坐标为， 故选A． 10. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3），（4），其中，正确的是（ ） A. （1）和（2） B. （3）和（4） C. （2）和（3） D. （1）和（4） 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用． 由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可． 【详解】解：若原点在第③部分，则， （1）∵， ∴ 故（1）错误； （2）∵， ∴ 故（2）正确； （3）∵， ∴ 故（3）正确； （4）∵， ∴ 故（4）错误； 故选：C 二、填空题（本题共5题，15分） 11. 4的算术平方根是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，寻找平方等于4的非负实数即可． 【详解】解：根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根， ∵，且2是正数， ∴4的算术平方根是2． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点在坐标轴上特点，根据点在轴上，纵坐标为，由此列式求解即可． 【详解】解：已知点在轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，飞船顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．发射前为确保万无一失，工程师对运载火箭的所有零部件进行了检查，应采用的调查方式是_______．（填“全面调查”或“抽样调查”） 【答案】全面调查 【解析】 【分析】本题考查了全面调查，抽样调查的识别，根据题意，结合全面调查，抽样调查的概念进行判定即可． 【详解】解：工程师对运载火箭的所有零部件进行了检查，应采用的调查方式是全面调查， 故答案为：全面调查 ． 14. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， 如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ，， ，， ， 故答案为：． 15. 如果不等式组，只有三个整数解，a的取值范围是_______． 【答案】1＜a≤2 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组有三个整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①，得x＜5， 解不等式②，得x≥a， 所以不等式组的解集是a≤x＜5， ∵不等式组只有三个整数解（是2，3，4）， ∴a的取值范围是1＜a≤2， 故答案为：1＜a≤2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 三、解答题（本题共9题，75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根，立方根的计算，掌握实数的混合运算法则是关键． 分别算出算术平方根，绝对值，立方根的值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】， ①+②×2得：7x=21， 解得：x=3， 把x=3代入②得：y=2， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】不等式组的解集为，在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为，在数轴上表示解集如解图所示： 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式的性质，在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集并把不等式组的解集在数轴上表示出来是解此题的关键． 19. 填空，完成下面的推理． 如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长相交于点， ∵， ∴，（ ）， ∴（ ）， ∴_______（ ）， ∴_______（ ）， 又∵， ∴_______（等量代换）， ∴． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意得到（等量代换），（同位角相等，两直线平行），由平行线的性质，等量代换得到，由此即可求解． 【详解】证明：延长相交于点， ∵，， ∴，（垂线的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴（等量代换）， ∴． 故答案为：垂线的定义；等量代换，；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 20. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次/分钟），分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________； （2）补全学生心率频数分布直方图； （3）一般运动的适宜心率为次/分钟，学校共有4800名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率? 【答案】（1）100 （2）见解析 （3）3600名 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本容量，样本百分比估算总体数量的计算是关键． （1）根据A组的数量与百分比计算即可； （2）根据样本容量得到C组的人数，由此即可补全频数分布直方图； （3）根据样本百分比估算总体数量的计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴样本容量为． 【小问2详解】 解：∵样本容量为， ∴组人数为：， 补全条形图如图： 【小问3详解】 解：（人）， ∴大约有3600名学生达到适宜心率． 21. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； （2）若三角形是由三角形平移得到的，点是三角形内部一点，则三角形内与点相对应点的坐标为（______，______）； （3）求三角形的面积． 【答案】（1），，； （2）； （3）2； 【解析】 【分析】（1）本题考查平面直角坐标系的定义，根据平面直角坐标系的知识结合图像求解直接得到答案； （2）本题考查平移性质，根据三角形的平移得到平移规律，根据平移规律求解即可求解； （3）本题考查割补法求面积，把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三角形面积即可求解； 【小问1详解】 解：由图形可得， ，，， 故答案为：1，3，2，0，3，1； 【小问2详解】 解：由图形可得，，， ∴平移规律是：向左平移4个单位向下平移2个单位， ∵， ∴， 故答案：，； 【小问3详解】 解：由题意可得， ∴． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】任务1：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元；任务2：共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本；方案2：购买20支钢笔，30本笔记本；任务3：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【解析】 【分析】任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数”，即可得出各购买方案； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同，可列出关于m，n的二元一次方程，结合“，，且m，n均为整数”，可得出各兑换方案，任取其一即可得出结论． 【详解】解：任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元； 任务2：钢笔最多购买支，笔记本最多购买本， 设购买a支钢笔，b本笔记本， 根据题意得：， ∴， 又∵a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本； 方案2：购买20支钢笔，30本笔记本； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本， 根据题意得：或， 整理得：或， ∵，，m，n均为整数， ∴或， ∴共有两种兑换方案， 方案1：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记本； 方案2：用5张兑换钢笔，2张兑换笔记本． 答：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 23. 问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． （2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． （3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【小问1详解】 证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ 【小问3详解】 解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． （1）求出点，的坐标； （2）如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． （3）如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在满足条件的点，其坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质得，，解方程即可得出和的值，从而得出答案； （2）过点作，交轴于点，根据角平分线的定义得，，再利用平行线的性质可得答案； （3）连接，利用两种方法表示的面积，可得点的坐标，再分点在轴或轴上两种情形，分别表示的面积，从而解决问题． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ，； 【小问2详解】 解：过点作，交轴于点，如图所示： ， ， ， ， ，， ， ，分别平分，，， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：存在． 理由如下：连接，如图所示： 设， ， ，解得， 点坐标为， ，，， ∴， 当点在轴上时，设， ， ，解得或， 此时点坐标为或； 当点在轴上时，设，则，解得或， 此时点坐标为或， 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了非负数的性质，角平分线的定义，角的和差关系，三角形的面积等知识，利用分割法表示三角形的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末学业水平检测 七年级数学试卷 本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 祝考试顺利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列四个数中，属于无理数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，直线，直线与，分别交于A，B两点，若，则( ) A. 65° B. 75° C. 115° D. 125° 3. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 同旁内角不互补，两直线不平行 B. 同角的余角相等 C. 两直线平行，内错角一定相等 D. 邻补角不可能相等 5. 以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定 D. 弯曲河道改直 6. 如图所示的是M周围的景点分布示意图．若以正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示点N的坐标为，表示点E的坐标为，则表示点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，，过点A作直线轴，点C是直线上一个动点，当线段长度最小时，点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3），（4），其中，正确的是（ ） A. （1）和（2） B. （3）和（4） C. （2）和（3） D. （1）和（4） 二、填空题（本题共5题，15分） 11. 4的算术平方根是___________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为_______． 13. 北京时间2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，飞船顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．发射前为确保万无一失，工程师对运载火箭的所有零部件进行了检查，应采用的调查方式是_______．（填“全面调查”或“抽样调查”） 14. 小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为________． 15. 如果不等式组，只有三个整数解，a的取值范围是_______． 三、解答题（本题共9题，75分） 16. 计算：． 17. 解方程组： 18. 解不等式组并把它解集在数轴上表示出来． 19. 填空，完成下面的推理． 如图，已知于，于，，求证：． 证明：延长相交于点， ∵， ∴，（ ）， ∴（ ）， ∴_______（ ）， ∴_______（ ）， 又∵， ∴_______（等量代换）， ∴． 20. 某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次/分钟），分为如下五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是________； （2）补全学生心率频数分布直方图； （3）一般运动适宜心率为次/分钟，学校共有4800名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率? 21. 三角形与三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）分别写出下列各点的坐标：（______，______），（______，______），（______，______）； （2）若三角形是由三角形平移得到的，点是三角形内部一点，则三角形内与点相对应点的坐标为（______，______）； （3）求三角形的面积． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 23. 问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． （1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． （2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． （3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 24. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，线段交轴于点，点是轴正半轴上的一点． （1）求出点，的坐标； （2）如图2，若，，且，分别平分，，求的度数；（用含的代数式表示）． （3）如图3，坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $