2.5 三元一次方程组及其解法 练习 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

2.5三元一次方程组及其解法 练习 一、单选题 1．已知方程组的解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 2．某公司科研部计划抽调100名工程师，组建三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数： 型号 硬件工程师 软件工程师 型 12 4 B型 5 4 型 4 5 若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个． 给出下列结论： ①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则型号的研发小组的个数为4个； ②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求型号研发小组的数量最多，则可组建型号的研发小组个数分别为2，2，4． 则下列正确的是（  ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②均错误 D．①②均正确 3．幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 4．把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．下列不是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c均为非负整数，且，．当时，则这三个数字组成的最大三位数可能是（    ） A．340 B．430 C．520 D．610 7．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共元．则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为（    ） A．元 B．元 C．元 D．不能确定 8．三角形幻方是锻炼思维的有趣数学问题，例：把数字1、2、3、…、9分别填入如图所示的9个圆圈内，要求和的每条边上三个圆圈内数字之和都等于18，则的和是（    ） A．6 B．15 C．18 D．24 9．将下表从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2022个格子中的数字是（　　） 3 a b c 0 2 … A．3 B．2 C．0 D． 10．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．若，则x+y+z的值为（　　） ． A．10 B．12 C．14 D．20 12．已知则的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 13．请认真观察，想一想，图中的“？”表示的数是 ． 14．已知方程组，则 ． 15．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜场，平场、负场，则列三元一次方程组为 ． 16．母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了枝玫瑰，枝康乃馨，枝百合花，付了元；小莉买了枝玫瑰，枝康乃馨，枝百合花，付了元；小莹买上面三种花各枝，则她应付 元． 三、解答题 17．在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 18．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 19．数学课上，张老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．小红发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由可得，由可得．小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考她的做法，解决下面的问题： (1)已知二元一次方程，求和的值； (2)八（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元；若买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需多少元？ 20．用如图的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的木块先按图1放置，再按图2放置，测得的数据如图（单位：）．    (1)求出桌子的高度； (2)如果两次测量的数据分别是和，直接写出桌子的高度．（用含、的式子表示） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C D B C B B D C 题号 11 12 答案 B B 1．B 【分析】本题考查了三元一次方程组的特殊解法，利用整体的思想解题是关键．将方程组中的三个等式相加求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设型小组数为，型为，型为，根据题意可得，，得出，即可判断①；设硬件工程师总数为，软件工程师为，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有人，根据组建型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师人，进而即可判断②，即可求解． 【详解】解：①每个小组的工程师需求： 型：人 型：人 型：人 设型小组数为，型为，型为． 根据条件：①；， ， ② 由①得：，代入②： 解得： ∴，且 ， ， 所以 ， 或 ， （不满足 ）等， 唯一解是 ， ． 因此，型小组数为个，结论①正确； ②设硬件工程师总数为，软件工程师为，依题意， ： 解得：， 设型小组数为，型为，型为． 当组建型号的研发小组个数分别为2，2，4时， 需要硬件工程师人数为：，故②正确 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可． 【详解】解：如下图所示， 设中间小方格中的数是， 则有， 解得：， ， ， 的立方根是． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义，根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； B、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是2，不是三元一次方程组，符合题意． C、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 6．C 【分析】根据进行分类讨论即可求解． 【详解】解：，且均为非负整数， ①当时， ， ， ， ， 会组成四位数，不满足题意； ②当时， ， ， ， ， 故组成最大的三位数为：； ③时， ，， ， 解得：， 组成最大的三位数为： 综上所述，它们最大三位数是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键，同时要运用了分类讨论的数学思想． 7．B 【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据题意，得出，解之，得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意，可得：， 由，可得：， ∴， ∴购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为元． 故选：B． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在理清题意，正确得出方程组． 8．B 【分析】把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a；D，E，F三处圈内的三个数之和记为b；其余三个圈所填的数位之和为c．列出关于a，b，c的方程，进行求解即可． 【详解】解：把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为a； D，E，F三处圈内的三个数之和记为b； 其余三个圈所填的数位之和为c． 显然有…①， 图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，所以有②， ②﹣①，得③， 把，，每一边上三个圈中的数的和相加，则可得④， 联立③，④，解得，， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了三元一次方程组和二元一次方程组，读懂题意正确列出方程是解题的关键． 9．D 【分析】设表格中c后面的数为x，根据任意四个相邻格子中所填整数之和都相等，即可得出，解出a，b，c，x的值，即得出表格中数据从左到右每4个数为一个循环组依次循环．再根据，即得出第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为． 【详解】设表格中c后面的数为x， ∵任意四个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， 解得：， ∴表格中数据从左到右依次为 ， ∴每4个数为一个循环组依次循环． ∵， ∴第2022个格子中的数字与第2个格子中的数字相同，为， 故选D． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类．计算出表格中的未知数，再找到规律是解题的关键． 10．C 【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解． 【详解】解：设■，▲，●， ， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键． 11．B 【分析】根据题意将x和z用y的式子表达出来，代入最后一个式子求解即可． 【详解】解：， 可以解得：x=8-y；z=6-y， 代入中， 得，， 解得y=2，再代入原方程， 解得x=6，z=4， ∴x+y+z=12 故选B． 【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值和解三元一次方程组，解决本题的关键是运用完全平方公式进行运算． 12．B 【分析】利用整体思想，把三个方程相加，得，解得，解答即可． 本题考查了三元一次方程组的整体解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把三个方程相加，得， 解得． 故选：B． 13．70 【分析】本题主要考查三元一次方程组的应用，能根据题意得到三元一次方程组是解题的关键．设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意，列出三元一次方程组，解出即可． 【详解】解：设正方形表示的数为x，圆表示的数为y，三角形表示的数为z，根据题意得： ， 由得：④， 由得：， 解得：， 由得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴， 即图中的“？”表示的数是70． 故答案为：70 14． 【分析】此题考查了解三元一次方程组；方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到的值． 【详解】解：， ①②③，得 ， ， 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了列方程组，审清题意找准等量关系成为解题的关键． 设该队在联赛中胜场，平场、负场，根据“足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列出方程组即可解答． 【详解】解：设该队在联赛中胜场，平场、负场， 由题可得：． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了三元一次方程组的运用．设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得， 将代入，得， ∴， ∴． 所以，小莹应付元． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 18．(1)需甲车型8辆，需车型10辆； (2)方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆；方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆；方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为非负整数，求出x，y，z的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 19．(1)，； (2)购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组，解题的关键在于正确理解题意，熟练运用整体化思想． （1）将两个方程相加或相减，即可求解； （2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，根据题意列出方程组，利用整体化思想，即可求解． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，得， ∴； 由，得， ∴． （2）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元， 根据题意，得 则，得， ∴购买支铅笔、块橡皮、本笔记本共需元． 20．(1)桌子的高度为 (2)桌子的高度为； 【分析】（1）根据图1和图2，列出相应的方程组，然后两个方程组作和即可解答本题； （2）根据（1）的结论来判断结果． 【详解】（1）解：设木块长，宽为，桌子的高为， 根据题意可列出以下方程组： ，解得， ∴桌子的高度为 （2）解：通过（1）的计算可知，桌子的高度与两次测量的数据之和存在确定的数量关系，即桌子的高度等于两次测量的数据之和的一半， ∴桌子的高度为； 【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$