第14讲 直线与圆的位置关系（1）-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第14讲 直线与圆的位置关系（1） 知识点及学习目标 直线与圆的位置关系，切线的性质与判定 一．直线与圆的位置关系 1．直线与圆有下列3种位置关系： 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆 。 直线与圆有唯一个公共点时，叫做直线与圆 ，这条线叫做 ，这个公共点叫做 。 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆 。 2. 直线与圆的位置关系与圆心到直线的距离d与半径r的关系. 直线与圆相离 d r 直线与圆相切 d r 直线与圆相交 d r 二．切线的性质 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 三．切线的判定 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 考点一：直线与圆的位置关系 例1．⊙O的半径为7，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 反馈练习1．已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 反馈练习2．已知⊙O的半径为2，点A在直线l上，且AO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 反馈练习3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，3为半径的圆与AB所在直线的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断 例2．已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是　 　． 反馈练习4．在直角坐标平面内，已知点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r的取值范围为（　　） A．0＜r＜5 B．3＜r＜5 C．4＜r＜5 D．3＜r＜4 反馈练习5．如图，⊙O的半径OC＝5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB＝8cm，则l沿OC所在直线平移后与⊙O相切，则平移的距离是（　　） A．1cm B．2cm C．8cm D．2cm或8cm 反馈练习6．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是 　． 考点二：切线的性质 例3．如图，AB是⊙O的直径，PA切于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠B等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 反馈练习7．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA于点O，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠BCO的度数等于　 　°． 例4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝40°，则∠C＝　 　°． 反馈练习8．如图，AB经过⊙O的圆心O，BC与⊙O相切于点C，若∠A＝20°，则∠B＝　 　度． 例5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为　 　． 反馈练习9．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的切线交OP的延长线于点C． （1）求证：△PBC是等腰三角形； （2）若⊙O的半径为，OP＝1，求BC的长． 例6．△ABC中，AB＝13，BC＝5，点O是AC上的一点，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于点D，则⊙O的半径为（　　） A． B．3 C． D．5 反馈练习10．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP＝∠ADB； （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长． 考点三：切线的判定 例7．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 例8．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 反馈练习11．已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°． （1）若⊙O半径为3，求弦CD的长； （2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线． 1．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 2．平面直角坐标系中有点A（3，4），以A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y＝﹣x与⊙A的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M是BC的中点，N是AD上一点．若以点D为圆心，DN为半径作圆．⊙D与线段AM仅有一个公共点，则DN的长的取值范围是　 　． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝（　　） A．60° B．65° C．50° D．40° 5．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 6．如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD． （1）求证：AB＝BE； （2）若⊙O的半径R＝2.5，MB＝3，求AD的长． 7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连接AE． （1）求证：AD平分∠BDE； （2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系并证明； （2）若⊙O的半径为2，AC＝3，求BD的长度． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第14讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：直线与圆的位置关系 例1． 【解答】解：根据圆心到直线的距离6小于圆的半径7，则直线和圆相交， 故选：A． 反馈练习1． 【解答】解：∵x2﹣4x﹣12＝0， （x+2）（x﹣6）＝0， 解得：x1＝﹣2（不合题意舍去），x2＝6， 故选：C． 反馈练习2． D． 反馈练习3． A． 例2． 0≤d＜5． 反馈练习4． D． 反馈练习5． D． 反馈练习6．【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长可判断； ＜AP＜或AP＝． 考点二：切线的性质 例3． C． 反馈练习7． 40． 例4． 10． 反馈练习8． 50． 例5．【分析】连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OM⊥BC，ON⊥CD，再证明NE⊥AB，利用四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形得到BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，所以OE＝3﹣r，AE＝4﹣r，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可． 故答案为7﹣2． 反馈练习9．【解答】（1）证明： ∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBA+∠ABC＝90°． ∵OP⊥OA， ∴∠OPA+∠A＝90°． 又∵OB＝OA， ∴∠A＝∠OBA． ∴∠ABC＝∠OPA＝∠CPB， ∴CP＝CB； ∴△PBC是等腰三角形； （2）解：设BC＝x，则PC＝x， 在Rt△OBC中，OB＝，OC＝CP+OP＝x+1， ∵OB2+BC2＝OC2， ∴（）2+x2＝（x+1）2， 解得x＝2， 即BC的长为2． 例6．【分析】依题意画出图形，连接OD，由切线的性质可得∠ACB＝90°，∠ADO＝90°，从而可由有两个角分别相等的三角形相似，得出△ADO∽△ACB，则可得比例式；由勾股定理求得AC的值；设⊙O的半径为r，由比例式解得r的值即可． C． 反馈练习10． 【解答】（1）证明：连接OB，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠A+∠ADB＝90°， ∵BC为切线， ∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°， 而OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA，∴∠CBP＝∠ADB； （2）解：∵OP⊥AD， ∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴＝，即＝，∴BP＝14． 考点三：切线的判定 例7． 【解答】证明：连接OC，如图， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线． 例8． 【解答】（1）证明：连接OE、OD， 在△AOD和△EOD中， ， ∴△AOD≌△EOD（SSS）， ∴∠OED＝∠BAC＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵△AOD≌△EOD， ∴∠AOD＝∠EOD， ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∵∠AOE＝∠B+∠OEB， ∴∠BEO＝∠EOD， ∴OD∥BC，又AO＝BO， ∴OD＝BC＝5， 由勾股定理得，AO＝＝3， 则⊙O的半径为3． 反馈练习11． 【解答】（1）解：连接OC、OD，如图1所示： 则OC＝OD＝3， ∵∠A＝30°， ∴∠DOC＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝3； （2）证明：连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，如图2所示： 则∠MAC＝90°，∠M+∠ADC＝180°， ∴∠M+∠ACM＝90°， ∵∠ACB+∠ADC＝180°， ∴∠M＝∠ACB， ∴∠ACB+∠ACM＝90°， 即∠BCM＝90°，且CM是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线． 1． A． 2． C． 3． DN＝或5＜DN≤6． 4． D． 5． A． 6． 【解答】（1）证明：∵AP是⊙O的切线， ∴∠EAM＝90°， ∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°． 又∵AB＝BM， ∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE； （2）解：连接BC， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝∠EAM， 在Rt△ABC中，AC＝5，BM＝AB＝3， ∴BC＝＝＝4， ∵BE＝AB＝BM，∴EM＝6， 由（1）知，∠BAE＝∠AEB， ∴△ABC∽△EAM， ∴，∠AMB＝∠C， 即，∴AM＝， 又∵∠C＝∠D，∴∠AMB＝∠D，∴AD＝AM＝． 7． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADE， 由（1）∠ADB＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD， ∵CE＝BD，∴AB＝CE，∴四边形ABCE是平行四边形， ∴BC∥AE， 连接AO， ∴AO垂直平分BC，∴OA⊥AE， ∵AE过半径OA的外端点A，∴AE是⊙O的切线． 8． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切． 证明：连接OD． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． 又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA．∴∠CAD＝∠ODA．∴OD∥AC． ∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC． 又∵BC过半径OD的外端点D， ∴BC与⊙O相切． （2）由（1）知OD∥AC． ∴△BDO∽△BCA． ∴＝． ∵⊙O的半径为2，∴DO＝OE＝2，AE＝4． ∴＝．∴BE＝2．∴BO＝4， ∴在Rt△BDO中，BD＝＝2． $$