第12讲 圆锥的侧面积（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第12讲 圆锥的侧面积 课程标准 学习目标 1 理解圆锥的侧面积公式； 2 能运用公式进行计算； 3 培养学生的空间观念和数学应用能力。 1. 掌握圆锥的侧面积计算方法； 2. 能够运用圆锥侧面积公式解决实际问题。 知识点一、圆锥的侧面展开图 1.母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 2.把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长. 如图所示，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为. 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 知识点二、圆锥的侧面积 若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积公式为. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，. 题型01 求圆锥的侧面积 1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 2．将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的侧面积为（　　） A．50π B．60π C．90π D．120π 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 　 　． 4．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 　 　． 题型02 求圆锥底面半径 1．如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 　 　． 3．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 　 　cm． 题型03 求圆锥的高 1．若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（　　） A．1 B． C．5 D．7 2．如图，有一块半径为1m，圆心角为120°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（　　） A．m B．m C．m D．m 3．已知圆锥的母线长13，侧面积是65π，则此圆锥的高是 　 　． 4．用弧长为6π，半径为6的扇形围成的圆锥的高为 　 　． 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角度数 1．已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 2．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 3．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　 　度． 4．一个水平放置的圆锥的主视图为底边长2cm、腰长4cm的等腰三角形．试求：（1）该圆锥的侧面积． （2）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 题型05 圆锥中的最短路径问题 1．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 2．圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 3．动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A′与点 　 　重合，点B′与点 　 　重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 　 　； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（　　） A．3：2 B．2：1 C．3：1 D．4：1 2．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（　　） A．3π B．6π C．12π D．24π 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 4．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（　　） A．15π B．30π C．45π D．60π 5．用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　． 6．圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 7．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 　 　cm． 8．若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是 　 　． 9．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为　 　． 10．一个圆锥的高为4底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 　 　． 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为3cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　 　cm． 12．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为　 　． 13．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 　 　；⊙P的半径为 　 　； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系； （3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 14．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°． （1）求该圆锥的母线长l； （2）求该圆锥的侧面积． 16．设圆锥的侧面展开图是一个半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求圆锥的底面积和高． 17．铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？ （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥的侧面积 课程标准 学习目标 1 理解圆锥的侧面积公式； 2 能运用公式进行计算； 3 培养学生的空间观念和数学应用能力。 1. 掌握圆锥的侧面积计算方法； 2. 能够运用圆锥侧面积公式解决实际问题。 知识点一、圆锥的侧面展开图 1.母线：连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线； 2.把一个圆锥的侧面展开会得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长. 如图所示，若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为. 圆锥的底面半径r，高h，母线长l之间可构成一个直角三角形，所以满足. 知识点二、圆锥的侧面积 若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积公式为. 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，. 题型01 求圆锥的侧面积 1．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（　　） A．6π B．12π C．15π D．24π 【分析】根据圆锥的侧面积公式即可求解． 【解答】解：S侧＝πrl＝π×3×4＝12π， 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 2．将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底面圆的直径为10cm，则该圆锥的侧面积为（　　） A．50π B．60π C．90π D．120π 【分析】根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：设圆锥的母线长为x cm， ∵圆锥底面圆的直径为10cm， ∴圆锥底面圆的周长为10πcm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为10πcm， 则10π， 解得：x＝12， ∴扇形面积为：10π×12＝60π（cm2）， ∴圆锥的侧面积为60πcm2， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 　 　． 【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得： 2π×r×2÷2＝2×πr2， 解得：r＝1． 故答案为：1． 【点评】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 4．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是 　 　． 【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长＝2πr，即展开后的弧长为2πr， ∵展开后的侧面积为半圆， ∴侧面积为：πR2， ∴侧面积2πrRπR2， ∴R＝2r， 由勾股定理得，R2＝（）2+（3）2， ∴R＝6，r＝3， ∴圆锥的侧面积＝18π． 【点评】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 题型02 求圆锥底面半径 1．如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2即可求出答案． 【解答】解：设底面半径为R，则底面周长＝2πR，圆锥的侧面展开图的面积2πR×5＝15π， ∴R＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键． 2．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥的母线长为2，则圆锥的底面半径是 　 　． 【分析】设出圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积和底面积之间的倍数关系求得圆锥的底面半径即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r，根据题意得： 2π×r×2÷2＝2×πr2， 解得：r＝1． 故答案为：1． 【点评】此题是圆锥的计算，主要考查了圆锥的侧面积和底面积公式，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 3．一个圆锥的侧面展开图是半径为9cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为 　 　cm． 【分析】设该圆锥底面圆的半径为r cm，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr，然后解方程即可． 【解答】解：设该圆锥底面圆的半径为r， 根据题意得2πr，解得r＝3， 即该圆锥底面圆的半径为3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 题型03 求圆锥的高 1．若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3，那么该圆锥的高是（　　） A．1 B． C．5 D．7 【分析】根据圆锥的定义，利用勾股定理即可求出圆锥的高． 【解答】解：因为圆锥的母线长为4，底面圆的半径为3， 根据勾股定理，得 圆锥的高是． 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的定义． 2．如图，有一块半径为1m，圆心角为120°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可． 【解答】解：设底面半径为rm，则2πr， 解得：r， 所以其高为：（m）， 故选：C． 【点评】考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大． 3．已知圆锥的母线长13，侧面积是65π，则此圆锥的高是 　 　． 【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到2πr×13＝65π，接着解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高． 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得2πr×13＝65π， 解得r＝5， 所以圆锥的高12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．用弧长为6π，半径为6的扇形围成的圆锥的高为 　 　． 【分析】已知弧长即已知围成的圆锥的底面周长是6π，这样就求出底面圆的半径，扇形的半径为6，就是圆锥的母线长是6，就可以根据勾股定理求出圆锥的高． 【解答】解：设底面圆的半径是r， 则2πr＝6π， ∴r＝3， ∴圆锥的高3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 题型04 求圆锥侧面展开图的圆心角度数 1．已知一个圆锥的母线长为是30，底面半径为10，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（　　） A．90° B．100° C．120° D．150° 【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π×10，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2π×10， 解得n＝120， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 2．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 【分析】设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则2πr×l＝3πr2，所以l＝3r，然后利用弧长公式得到2πr，然后解n的方程即可． 【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为n°， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴2πr×l＝3πr2， ∴l＝3r， ∵2πr， 即2πr ∴n＝120， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．圆锥的底面半径为14cm，母线长为21cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为　 　度． 【分析】根据弧长＝圆锥底面周长＝28πcm，圆心角＝弧长×180÷母线长÷π计算． 【解答】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm， 扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°． 故答案为：240． 【点评】本题考查的知识点为：弧长＝圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系． 4．一个水平放置的圆锥的主视图为底边长2cm、腰长4cm的等腰三角形．试求：（1）该圆锥的侧面积． （2）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出底面半径OA＝1cm，根据圆锥侧面积的计算方法进行计算即可； （2）根据弧长公式列方程求解即可． 【解答】解：如图，∵SA＝SB＝4cm，SO⊥AB， ∴OA＝OBAB＝1cm， 即圆锥的底面半径OA＝1cm，母线SA＝4cm， ∴S侧面积底面周长×母线长 2π×4 ＝4π（cm2）； （2）设扇形所占的圆心角的度数为n°，由题意可知，圆锥侧面展开图的扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，设扇形所占的圆心角的度数为n°， 2π， 解得n＝90， 即圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数是90°． 【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质，掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 题型05 圆锥中的最短路径问题 1．已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则8π， ∴n＝120， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴∠APB＝60°， ∵PA＝PB， ∴△PAB是等边三角形， ∵C是PB中点， ∴AC⊥PB， ∴∠ACP＝90度． ∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6， ∴在圆锥侧面展开图中AC6cm． 最短距离是6cm． 【点评】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题． 2．圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度． 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题． 【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平，连BB′，则BB′就是所求绳子长． 由2π×3得n＝120， 作AC⊥BB'，则∠2＝60°BB'＝2BC， ∴∠3＝30°∴AC，BC， ∴BB′＝9． 【点评】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A′与点 　 　重合，点B′与点 　 　重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 　 　； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 【分析】容易得出点A与点A′，B与B′重合； 矩形的对角线即为这条丝线最短的长度，由勾股定理即可得出答案； 连接AA′，根据弧长公式可得出圆心角的度数，由勾股定理可得出AA′； 将大树近似的看作圆柱将其展开，可得出紫藤的最短长度． 【解答】解：动手操作：易得点A与点A′，B与B′重合； 探究与发现：圆柱的底面周长是矩形的长， ∵圆柱的底面周长是40，高是30， ∴矩形的对角线为50， ∴这条丝线最短的长度是 50， 实践与应用： 连接AA′， ∵底面周长为π，∴弧长π， ∴n＝120°即∠AOA′＝120°， ∴∠A＝30°， 作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中， ∵OA＝4，∴OB＝2， ∴AB＝2， ∴AA′＝4； 拓展联想： 方法一：如图，紫藤的长为：30米； 方法二：紫藤绕树干的周长为：， 则8周的周长为：830米， 故答案为A，B，50． 【点评】本题考查了圆锥的计算、圆柱的计算以及其实际应用，综合性较强难度偏大． 1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（　　） A．3：2 B．2：1 C．3：1 D．4：1 【分析】设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得2πr，所以rR，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得2πr， ∴rR， ∵S侧πR2，S底＝πr2， ∴S侧：S底πR2：πr2πR2：πR2＝3：1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了圆锥的计算，熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键． 2．一个圆锥的底面半径为3，母线长为4，其侧面积是（　　） A．3π B．6π C．12π D．24π 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面积的计算方法． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 【分析】运用公式S＝πlr（其中勾股定理求解得到的母线长l为5）求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， 由已知得，母线长l＝5，半径r为4， ∴圆锥的侧面积是S＝πlr＝5×4×π＝20π． 故选：C． 【点评】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活地运用公式求解． 4．如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（　　） A．15π B．30π C．45π D．60π 【分析】圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl，求出圆锥的母线l即可解决问题． 【解答】解：圆锥的母线l10， ∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π， 故选：D． 【点评】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式． 5．用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　 　． 【分析】先根据扇形的面积公式：S•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【解答】解：∵S•l•R， ∴•l•4＝12π，解得l＝6π， 设圆锥的底面半径为r， ∴2π•r＝6π， ∴r＝3（cm）． 故答案为：3cm． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）． 6．圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm， ∴烟囱帽的侧面积（cm2）， 故答案为：1290π． 【点评】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式，根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 7．若将半径为6cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高为 　 　cm． 【分析】已知半径为6cm的半圆形纸片，就可以求出半圆形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高． 【解答】解：半圆形弧长为：l6π（cm）， 设圆锥底面半径为r cm， 则：2πr＝6π， 所以，r＝3， 因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边， 设圆锥高为h cm， 所以h2+r2＝62， 即：h2＝36﹣9＝27， 解得h＝3， ∴这个圆锥的高为3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是 　 　． 【分析】首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【解答】解：圆锥的底面周长是：2×1π＝2π， 设圆心角的度数是n°，则， 解得：n＝120． 故侧面展开图的圆心角的度数是120°． 故答案是：120°． 【点评】此题考查了圆锥的有关计算．解题的关键是学会利用参数构建方程求解． 9．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个圆心角是150°的扇形，则该圆锥的母线长为　 　． 【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得． 【解答】解：10π， ∴R＝12． 故答案为：12 【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 10．一个圆锥的高为4底面圆的半径为2，则这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为 　 　． 【分析】先根据勾股定理求出母线长为6，设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是n°，利用弧长公式得到2π×2，然后解方程即可． 【解答】解：母线长为6， 设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是n°， 根据题意得2π×2， 解得n＝120， 即圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数是120°． 故答案为：120°． 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 11．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为3cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 　 　cm． 【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r． 【解答】解：由题意得：母线l＝3cm，θ＝120°， 2πr， ∴r＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 12．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，且点O、A、B分别是格点，已知小正方形方格的边长为1cm，则这个圆锥的底面半径为　 　． 【分析】利用勾股定理的逆定理求得扇形的圆心角，然后利用弧长公式求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，根据圆的周长公式求得底面圆的半径． 【解答】解：根据勾股定理可以得到：OA2＝OB2＝22+22＝4+4＝8，即OA＝2． ∵AB＝4，42＝8+8， ∴AB2＝OA2+OB2， ∴△OAB是等腰直角三角形． ∴的长是π． 设圆锥的底面半径是rcm，则2πrπ， 解得：r． 故答案为cm． 【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）． （1）请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为 　 　；⊙P的半径为 　 　； （2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系； （3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 【分析】（1）利用网格特点画出BC和AB的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算PA长得到⊙P的半径； （2）利用两点间的距离公式计算出PM，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解； （3）先利用勾股定理的逆定理证明△PAC为直角三角形，∠APC＝90°，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可． 【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（2，﹣1）， ， 即⊙P的半径为； 故答案为：（2，﹣1），； （2）∵P（2，﹣1），M（﹣1，1）， ∴， ∵， ∴PM的长小于圆的半径， ∴点M在⊙P内； （3）∵，， ∴PA2+PC2＝AC2， ∴△PAC为直角三角形，∠APC＝90°， 设该圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得， 解得． 【点评】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理，正确记忆相关内容是解题关键． 14．如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【分析】（1）AB是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出AB的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【解答】解：（1）连接AB，OC， ∵∠ACB＝90°， ∴AB是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴OB＝OC＝OA， 又∵AC＝BC， ∴AO⊥BC， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）AB的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°． （1）求该圆锥的母线长l； （2）求该圆锥的侧面积． 【分析】（1）易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． （2）利用（1）中所求母线长，根据扇形面积公式计算可得． 【解答】解：（1）由题意，得2πr． ∴l＝3r＝6（cm）． （2）S侧12π（cm2）． 【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 16．设圆锥的侧面展开图是一个半径为18cm，圆心角为240°的扇形，求圆锥的底面积和高． 【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥的底面积＝π×半径2，圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，利用勾股定理即可求得圆锥的高． 【解答】解：圆锥的弧长为：24π， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π＝12， ∴圆锥的底面积为π×122＝144π， ∴圆锥的高为6． 【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长；圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解． 17．铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？ （1）请说明方案一不可行的理由； （2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由． 【分析】（1）根据扇形的弧长等于圆的底面周长，可得能围成圆锥的正方形的对角线长，与实际正方形的对角线长比较，大于实际的正方形边长，所以不可行； （2）设出圆锥的母线长和底面半径，让扇形的弧长等于圆的底面周长，以及正方形的对角线长联立构成方程组，即可求得圆锥的母线长及其底面圆半径． 【解答】解：连接AC，E为两圆的切点， （1）理由如下： ∵扇形的弧长＝168π，圆锥底面周长＝2πr， ∴圆的半径O1E＝4cm． 过O1作O1F⊥CD， ∴△CO1F为等腰直角三角形， ∴O1CO1FO1E＝4cm， 又∵AE＝AB＝16cm， 而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO1+O1C＝16+4+420+4cm， ∵20+416， ∴方案一不可行； （2）方案二可行．求解过程如下： 设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm， ∵在一块边长为16cm的正方形纸片上， ∴正方形对角线长为16cm， 则，① ．② 由①②，可得，． 故所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm． 【点评】本题从阅读（学习）能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生进行了全面的考查． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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