第03讲 比例的性质-2024-2025学年九年级数学暑假讲义（江苏专用）

第03讲 比例的性质 知识点及学习目标 比例线段，比例的性质，黄金比，平行线分线段成比例 1．比例线段的概念 （1）如果选用同一单位量得两条线段的长度分别为，那么就说这两条线段的比是，或写成． 注：在求线段比时，线段单位要统一。 （2）在四条线段中，如果的比等于的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：． ② a、d叫比例外项，b、c叫比例内项, a、c叫比例前项，b、d叫比例后项，d叫第四比例项，如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中项， 此时有。 2．黄金分割 黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即AC2=AB·BC，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中AC=≈0.618即 简记为： 注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 3．比例的基本性质 （1）基本性质：①a：b=c：d→ad=bc ；②a：b=b：c→b2=ac （2）反比性质(把比的前项、后项交换)： ． （3）等比性质：如果，那么． 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 如：；其中． 4．平行线分线段成比例 平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. （1）三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. （2）平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 考点一：比例线段概念 例1．给出下列各组线段，其中成比例线段的是（　　） A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m D．1cm，cm，2cm，2cm 反馈练习1．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（　　） A．1 cm，2 cm，3 cm，6 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，6 cm C．1cm，cm，cm，cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm 例2．若x是3和6的比例中项，则x＝　 　． 反馈练习2．已知线段a＝4cm，线段b＝7cm，线段c是线段a，b的比例中项，则线段c＝　 　． 反馈练习3．已知b是a、c的比例中项，若b＝4，c＝1，则a＝　 　． 例3．在比例尺为1：500000的交通地图上，阜宁到盐城的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（　　） A．0.585 km B．5.85 km C．58.5 km D．585 km 反馈练习4．在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长5cm，那么等地铁造好后实际长约 为　 　　千米． 反馈练习5．在宝应县行政区域图上，量得宝射河的长度约为240cm，而它的实际长度约为24km，现测得该地图上北田路的长度约为60cm，则北田路的实际长度约为　 km． 考点二：黄金分割 例4．如图，C是线段AB的一个黄金分割点（AC＜BC），若AB＝2，则BC的长为　 　（结果保留根号）． 反馈练习6．点B把线段AC分成两部分，如果＝＝k，那么k的值为（　　） A． B． C． D．﹣1 反馈练习7．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为　 　米． 例5．我们把宽与长的比值等于黄金比例的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（AB＞BC）的边AB上取一点E，使得BE＝BC，连接DE，则等于（　　） A． B． C． D． 反馈练习8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（　　） A．10﹣4 B．3﹣5 C． D．20﹣8 考点三：比例的性质 例6．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 反馈练习9．一组不为零的数a，b，c，d，满足，则以下等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 例7．若（b≠d），则＝　 ． 反馈练习10． 若＝（b+d+f≠0），则＝　 ． 例8．若＝，则的值为　 ． 反馈练习11．已知＝，则＝　 ． 反馈练习12．已知：，则＝　 ． 反馈练习13．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 例9．已知＝＝＝k，则k的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．无法确定 反馈练习14．设k＝＝＝，则k的值为　 　． 考点四：平行线分线段成比例 例10．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为（　　） A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2 反馈练习15．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为　 　． 反馈练习16．如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为　 　． 反馈练习17．如图，直线l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC＝1：2，DF＝6，则EF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例11．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD：DC＝1：2，点E在AB上，AE：EB＝3：2，AD，CE相交于F，则AF：FD＝（　　） A．3：1 B．3：2 C．4：3 D．9：4 反馈练习18．如图，AD是中线，点E在AC上，BE交AD于点F．若，则值是　　 ． 反馈练习19．如图，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点F，若AC＝4AE，AD＝3cm，则AF的长度为　 　cm． 反馈练习20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　 ． 1．已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为　 　． 2．在比例尺为1：30000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB＝5cm，则A、B两地的实际距离 为　 　　km． 3．下列说法： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根； ②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2； ③若最简二次根式与是同类二次根式，则x＝﹣4或1； ④数4和9的比例中项是6； ⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5﹣5． 其中正确的说法的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．已知＝，则＝　 　． 5．如果＝3且b+d+f＝3，则a+c+e＝　 ． 6．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 7．若k＝＝＝（k≠0），则k的值为　 ． 8．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（　　） A．　　　　　　　　　B．2 　C．　　　　　　　D． 9．过△ABC的顶点B的两条直线分三角形BC边上的中线所成的比AE：EF：FD＝4：3：1，则这两条直线分AC边所成的比AG：GH：HC为（　　） A．4：5：3 B．3：4：2 C．2：3：1 D．1：1：1 10．如图，直线l1∥l2∥l3，等腰Rt△ABC的三个顶点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D．若l1与l2的距离为1，l1与l3的距离为4，则的值是　　 ． 11．（1）已知线段m＝8，n＝2，求线段m、n的比例中项； （2）已知，x+y＝24，求x、y的值． 12．（1）解方程 x2﹣2x＝8 （2）已知a：b：c＝3：2：5．求的值． 13．（1）已知＝，求的值． （2）已知x：y＝3：5，y：z＝2：3，求的值． 第03讲 适用区域 江苏 适用年级 九年级 考点一：比例线段概念 例1．D． 反馈练习1．D． 例2．±3． 反馈练习2．2cm． 反馈练习3． 16． 例3． C． 反馈练习4． 25． 反馈练习5． 6． 考点二：黄金分割 例4． ﹣1． 反馈练习6．【解答】解：∵点B把线段AC分成两部分，＝＝k， ∴点B是线段AC的黄金分割点，AB＞BC， ∴k＝， 故选：B． 反馈练习7．【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比， ∴＝， ∴a＝b＝×2＝（﹣1）米， 故答案为：（﹣1）． 例5．【解答】解：设AB＝a， ∵矩形ABCD为黄金矩形， ∴BC＝a， ∴AE＝a﹣a＝a， ∴＝＝， 故选：B． 反馈练习8．【解答】解：作AH⊥BC于H，如图， ∵AB＝AC， ∴BH＝CH＝BC＝2， 在Rt△ABH中，AH＝＝， ∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点， ∴CD＝BE＝BC＝2（﹣1）＝2﹣2， ∴BD＝BC﹣CD＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2， ∴DE＝BE﹣BD＝2﹣2﹣（6﹣2）＝4﹣8， ∴S△ADE＝×（4﹣8）×＝10﹣4， 故选：A． 考点三：比例的性质 例6． A． 反馈练习9． C． 例7． 反馈练习10． 【解答】解：∵＝＝＝， ∴a＝b，c＝d，e＝f． ∴＝ ＝ ＝． 例8． ． 反馈练习11． ． 反馈练习12．﹣． 反馈练习13． 【解答】解：（1）∵＝， ∴2b＝1.5a， ∴＝＝﹣； （2）设＝＝＝k（k≠0），则x＝2k，y＝3k，z＝4k， ∴＝＝． 例9． C． 反馈练习14．【解答】解：当a+b+c≠0时，∵＝＝， ∴＝＝＝＝k＝＝1 当a+b+c＝0时，即a+b＝﹣c，所以k＝＝＝﹣2 所以k的值为1或﹣2． 考点四：平行线分线段成比例 例10． B． 反馈练习15． 9． 反馈练习16． 3.6． 反馈练习17． C． 例11．【解答】解：过点D作DH∥CE交AB于H， 则＝＝， ∵＝， ∴＝， ∵DH∥CE， ∴＝＝， ∴AF：FD＝9：4， 故选：D． 反馈练习18．【解答】解：过D点作DH∥BE交AC于H，如图， ∵AD为中线， ∴BD＝CD， ∵DH∥BE， ∴＝＝1， ∴CH＝EH， ∵EF∥DH， ∴＝＝， ∴AH＝2AE， ∴AE＝EH＝CH， ∴＝． 故答案为． 反馈练习19．【解答】解：过D点作DG∥AC交BE于G点，如图， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AC＝4AE， ∴CE＝3AE， ∵DG∥CE， ∴＝＝，即DG＝CE， ∴DG＝AE， ∵DG∥AE， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴AF＝AD＝×3＝1.2（cm）． 故答案为1.2． 反馈练习20．【解答】解：如图，过点D作DF∥AE， 则＝＝， ∵＝， ∴DF＝2EC， ∴DO＝2OC， ∴DO＝DC， ∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC， ∴S△ABO＝S△ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G， 当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4， 此时△ABO的面积最大为：×4＝． 故答案为：． 1． 3． 2． 1.5． 3． C． 4．﹣． 5． 9 6．【解答】解：∵三条线段a、b、c的长满足， 设a＝（+1）k，b＝2k， 则c＝（﹣1）k， ∵， ∴不能围成三角形， 故选：D． 7． 【解答】解：当a+b+c≠0时， ∵k＝＝＝（k≠0）， ∴kc＝a+b，kb＝a+c，ka＝b+c， ∴kc+kb+ka＝2a+2b+2c， ∴k（a+b+c）＝2（a+b+c）， ∴k＝2． 当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c， k＝＝＝﹣1． 则k的值为2或﹣1． 8． A． 9．【解答】解：如图，过点D作DM∥AC交BG、BH于点N、M， ∴＝，＝， ∵AE：EF：FD＝4：3：1， ∴＝＝1，＝＝， ∴DN＝AG，DM＝AH， 又∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC的中点， ∴点N是BG的中点，点M是BH的中点， ∴DN＝CG，DM＝CH， ∴AG＝CG，CH＝AH， ∵AG+CG＝AC，CH+AH＝AC， ∴AG＝AC，CH＝AC， ∴GH＝AC﹣AG﹣CH＝AC﹣AC﹣AC＝AC， ∴AG：GH：HC＝AC：AC：AC＝3：4：2． 故选：B． 10．【解答】解：作AE⊥l3于E，交l2于F，作BH⊥l3于H，如图， ∵l1∥l2∥l3， ∴AF⊥l2， ∴EF＝BH＝3，AF＝1， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AC＝BC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠ACE+∠BCH＝90°， ∴∠CAE＝∠BCH， 在△ACE和△CBH中， ， ∴△ACE≌△CBH（AAS）， ∴CE＝BH＝3， 在Rt△ACE中，AC＝＝5， ∴AB＝AC＝5， ∵DF∥CE， ∴＝＝， ∴CD＝， 在Rt△BCD中，BD＝＝， ∴＝＝． 故答案为． 11． 【解答】解：（1）∵线段m＝8，n＝2， ∴线段m、n的比例中项＝， （2）设， 可得：x＝3k，y＝5k， 把x＝3k，y＝5k代入x+y＝24， 可得：3k+5k＝24， 解得：k＝3，所以x＝3×3＝9，y＝3×5＝15． 12． 【解答】解：（1）配方得，x2﹣2x+1＝8+1， （x﹣1）2＝9， 由此得，x﹣1＝±3， x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （2）∵a：b：c＝3：2：5， ∴设a＝3k，b＝2k，c＝5k（k≠0）， ∴＝＝． 13． 【解答】解：（1）∵＝， ∴6x﹣8y＝2x+y，即4x＝9y， ∴＝； （2）∵x：y＝3：5，y：z＝2：3， ∴x＝，z＝，∴原式＝＝＝． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$