第十四章 全等三角形（单元测试·基础卷）数学人教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 全等三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组图形中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 8．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 9．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 10．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，则 ． 12．如图，，，请添加一个条件 ，使得． 13．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 15．如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 16．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，B为上一点，，，，证明：． 18．如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 19．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 21．已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 22．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 23．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 24．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E；使，连接．由已知和作图能得到，所以．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图，是的中线，点E在的延长线上，，，，求的度数； 【问题解决】 （3）如图，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，点Q为中点，连接并延长交于点K，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，求服务区的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 全等三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组图形中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 8．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 9．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 10．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，则 ． 12．如图，，，请添加一个条件 ，使得． 13．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 15．如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 16．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，B为上一点，，，，证明：． 18．如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 19．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 21．已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 22．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 23．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 24．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E；使，连接．由已知和作图能得到，所以．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图，是的中线，点E在的延长线上，，，，求的度数； 【问题解决】 （3）如图，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，点Q为中点，连接并延长交于点K，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，求服务区的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章全等三角形基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 3 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D A 0 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.4 12.BC=DE(答案不唯一) 13.12 14.4 15.112 163减诚号 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小趣，共72分) 17. 【详解】解：：AD∥CE, ∠A=∠C ∠DBC+∠ABD=180°，∠DBC+∠CEB=180°， LABD=CEB2分 在△ADB和△CBE中 「∠A=∠C ∠ABD=∠CEB BD=EB △ADB≌△CBE(AAS),5分 AD=CB6分 18. 【详解】(1)证明：DE∥AB, 1110 画学科网，上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 .∠B=LCDE, 又：CD=AB,∠DCE=∠A, .△ABC丝△CDE(ASA3分 (2)解：，△ABC≌△CDE, .BC DE =8, 二BD=BC-CD=2,6分 19. 【详解】(1)证明：：∠ACE+∠DCE=180°，∠BDF+∠CDF=180°，且∠DCE=∠CDF, ∠ACE=LBDF, 在△ACE和BDF中， T∠A=∠B ∠ACE=∠BDF, AE=BF △ACE2△BDF(AAS):3分 (2)解：：△ACE≌△BDF, :AC BD =4, AB=16, CD=AB-AC-BD=16-4-4=8, 六CD的长为8.6分 20. 【详解】(1)解：△0BF≌aC0G.理由如下： :∠B0C=90°， LCOG+∠BOF=LB0F+LOBF=90°， :.ZCOG=Z0BF ￥∠CF0=∠BF0=90°，0B=0C, ,aOBF≌aCOG(AAS);3分 (2)解：：a0BF≌aC0G, :.CG=OF,0G=BF: BF,CG分别为2m和2.4m, 2/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG=2.4m,0G=2m, ∴.GF=0F-0G=2.4-2=0.4(m) 妈妈在距地面1.2m高的B处，且1.2+0,4=1.6(m), 爸爸在距离地面1.6m高的地方接住乐乐。6分 21. 【详解】(1)解：作MN⊥CD于N,如图所示： :DM平分∠ADC,∠A=90°， MA⊥AD, :MN⊥CD, :MA=MN M是AB的中点， :MA=MB, :MB =MN LB=90°， .MB⊥BC, :MN⊥CD, CM是∠BCD的平分线.…4分 (2)证明：，∠A=∠B=90°， AD∥BC, .∠ADC+∠DCB=180°， :CM平分∠BCD,DM平分∠ADC, &∠MDc=ADC,∠DcM=DCB, &∠MDC+∠DCM=∠ADC+∠DcB=0, .∠DMC=180°-90°=90°， 3/10 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 LDMC为直角。8分 22. 【详解】(1)解：：AD∥BC, ∠BAD+∠ABC=180°， :AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA, ZDAE-ZBAE-BAD ZABE-CBE-ABC ∠BAE+∠ABE=90°， LBEA=900;3分 (2)解：AB=BG+AF, 理由如下：延长AE,交BC点H, D E B GHC 在△ABE和△HBE中， ∠ABE=∠HBE BE=BE ∠AEB=∠HEB=90° aABE≌HBE(ASA, :AE EH,AB=BH. AD∥BC, ∠AFE=∠HGE, 在△AFE和△HGE中， I∠AFE=∠HGE ∠AEF=∠HEG, AE=EH △AFE≌HGE(AAS), .AF =GH, AB BH =BG+GH=BG+AF... 4/10 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 23. 【详解】(1)解：小明的证明方法： DE CD, :ZDEC =ZC :∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°， ∠BED=∠A, :BD平分∠ABC, .∠ABD=∠EBD, 在△ABD和△EBD中， ∠A=∠BED ∠ABD=∠EBD, BD=BD :△ABD≌aEBD(AAS), :AD DE, DE =DC, :AD=DC; 小刚的证明方法： :BD平分∠ABC, :ZABD ZCBD, 在△EBD和△CBD中， BE=BC ∠ABD=∠CBD, BD=BD .aEBD≌aCBD(SAS), ,DE=CD,∠E=∠C, LBAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°， :ZDAE ZC, .∠DAE=∠E, :DE AD, 共AD=DC；3分 5/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)BC=AB+2CE,理由如下： 证明：作DM⊥BA于M,如图所示： ∠DMA=∠DEC=90°， :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAM=180°， 六.∠DAM=∠C, BD平分∠ABC, :DM DE 在Rt△ADM和Rt△CDE中， 「AD=DC DM=DE' RtaADM≌RtACDE, :AM =CE 在RtaBDM和Rt△BDE中， DM=DE BD=BD' .RtABDM≌RtaBDE, :BM BE, BM AB+AM,BE BC -CE :AB+AM BC-CE, AB+CE=BC-CE,即BC=AB+2CE,8分 24. 【详解】解：(1)：OP平分∠MON, LA0C=∠B0C, :AC⊥0P, .∠AC0=∠BC0=90°， 又：0C=0C, 6/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .&AOC≌aBOC(ASA), .AO=BO,AC=BC. 故答案为：ASA;2分 (2)延长AE交BC于点F,如图， D B F 同理可证明△AEC≌aFEC, ∠EFC=∠EAC=65°， :∠EFC=∠B+∠DAE, ∠DAE=LEFC-∠B=65°-350=30°；7分 (3》BE=CD,证明如下： 延长BE、CA交于点G,如图， Eb 则∠BAG=180°-∠BAC=90°， :BE⊥CD, .∠BED=90°=LBAC, :∠BDC=∠ABG+∠BED=∠ACD+∠BAC, .∠ABG=∠ACD, 又：AB=AC, :△ABG≌△ACD(ASA), .BG CD, 同理可证明△CBE≌△CGE, 7110 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE-EG-BG, BE=5CD.12分 、3 25. 【详解】(I)解：延长AD到点E;使DE=AD,连接BE, :AD是边BC上的中线， :DC DB, AD=DE ∠ADC=∠EDB., DC=DB ·aCAD≌aBED(SAS, E .AC BE. AB-AE <BE<AB+AE, :AB-2AD <AC<AB+2AD AB=3,AD=2, 故1<AC<7. 边AC的长度为奇数， :AC的长度为3或5， 故答案为：3或5.4分 (2)解：延长AD到点F;使DF=AD,连接CF AD是ABC的中线， :DC=DB, AD=DF ∠ADB=∠FDC, DB=DC 8/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .aCFD≌aBAD(SAS), ,CF=AB,∠B=∠DCF, CE=AB, :CF CE A B D :∠ACE=∠BAC+∠B,∠ACF=∠BCA+∠DCF,LBAC=LBCA, ∠ACE=∠ACF, AC=AC :{∠ACE=∠ACF, CE=CF aCAE≌aCAF(SAS), LCAE=∠CAF, ÷∠CAE=30°， ∠CAF=30°， LDAC=30°.8分 (3)解：延长CO到R使得CQ=QR,连接AR,RD, :Q是AD的中点， :AO=OD, AO=OD ∠AQR=∠DOC, OR=OC :aAQR≌aDQC(SAS, AR=DC,∠ARC=∠DCR, AR∥CD, .∠CAR+∠ACD=180°， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， 9/10 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 ,LBCE+∠ACD=180°，AR=CE, :∠BCE=∠CAR, 「CA=BC ∠CAR=∠BCE, AR=CE aCAR≌△BCE(SAS), CR=BE,∠CBE=∠ACR, ∠ACB=90°， 六.∠ACR+∠BCK=90°， R D B K E .∠CBE+LBCK=90°， ∠CKB=909, :CQ=30m,CK=15m, .CR=BE =60m S.cE=)BECK=450m）·12分 10/10 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十四章 全等三角形·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各组图形中，是全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可． 【详解】观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形； A选项中两个图形能完全重合，是全等形， 故选：A． 2．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（    ）  A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：过点P作于点E， ∵平分，，， ∴， 故选：B． 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形的三边关系等．判断能否唯一画出，需验证各选项是否满足三角形全等的判定条件（如、、、、），或三条线段的长是否符合三角形的三边关系． 【详解】解：A、，，，已知三角形的两边、以及一个角， ∵不是边、的夹角， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与A选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，A选项不符合题意； B、，，，已知三角形的三个角的度数，没有三角形的边长， 故根据三角形的判定定理，无法判定所画三角形与B选项所给条件的三角形全等， 即无法能画出唯一的，B选项不符合题意； C、∵， 故，，三条线段无法构成三角形，故C选项不符合题意； D、，，，已知三角形的两个角与，以及、的夹边的长， 故根据三角形的判定定理，能判定所画三角形与D选项所给条件的三角形全等， 即能画出唯一的，D选项符合题意． 故选：D． 4．已知，若，，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 故选：C． 5．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 6．如图，平分，，的延长线交于点E，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．由平分，得，即可证明，得，所以，则，所以． 【详解】解：平分， ． 在和中， ， ． ． ． ， ． ． ． 故选：C． 7．如图，要在学校的一块三角形草坪上建一个文化牌，若要使文化牌到草坪三条边的距离相等，则这个文化牌的位置应选在（   ）    A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边的垂直平分线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于文化牌到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定文化牌位置． 【详解】解：∵文化牌到草坪三条边的距离相等， ∴这个文化牌的位置应选在三角形三条角平分线的交点， 故选：D． 8．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 9．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等判断①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，判断②；根据等腰三角形的性质、平行线的性质得到 ，判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故②结论正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 即平分，故③结论正确； 如图，过点作于， ∵平分， ， ， ∴点不是的中点，故④结论错误； 则正确结论的序号是①②③， 故选： C． 10．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 【详解】解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据得再列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， 故答案为：4 12．如图，，，请添加一个条件 ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据全等三角形的判定定理添加合适的条件． 【详解】在和中， ∴添加一个条件（答案不唯一），使得． 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵，， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．如图，在中，是的中点，分别过点作的垂线，垂足为．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得先证明，进而可得，，，根据即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵． ∴． 又∵． ∴． ∴，，， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，B为上一点，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是关键．证明，即可得到． 【详解】解：， ， 在和中 ， 18．如图，在中，点在边上，． (1)求证： (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴． 19．如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 20．乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和． (1)与全等吗？ 请说明理由； (2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？ 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案； 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ； ， ； （2）解：∵， ； ∵分别为和， ， ； ∵妈妈在距地面 高的处，且， ∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐． 21．已知，如图，，M是的中点，平分， (1)试说明：平分． (2)试说明为直角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理、平行线的判定和性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质找边和角之间的关系． （1）过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证结论成立； （2）根据可知，根据两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可证，从而可说明结论． 【详解】（1）解：作于，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角． 22．如图，已知，，分别平分，． (1)求：度数． (2)判断：、、之间关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质和平行线的性质是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，进而利用三角形的内角和定理可求解； （2）延长，交点，先证明得到，，再证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ； （2）解：， 理由如下：延长，交点， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 23．问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． (1)问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． (2)问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 24．【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据_____证明，则，（即点为的中点）． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于，若，，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（1），证明见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图， 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E；使，连接．由已知和作图能得到，所以．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图，是的中线，点E在的延长线上，，，，求的度数； 【问题解决】 （3）如图，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，点Q为中点，连接并延长交于点K，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，求服务区的面积． 【答案】（1）3或5 （2）（3） 【分析】（1）延长到点E；使，连接，证明，根据三角形三边关系定理，解答即可． （2）延长到点F；使，连接，先证明，再证明即可得证． （3）延长到R使得，连接，证明，得到，证明，再证明，可证明，根据解答即可． 本题考查了中线的应用，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：延长到点E；使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， 故． 边的长度为奇数， ∴的长度为3或5， 故答案为：3或5． （2）解：延长到点F；使，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴． （3）解：延长到R使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$