专题22.2 二次函数y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（人教版 ）

专题22.2 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数的图象与性质 1 【题型1】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 2 【题型2】二次函数的与几何图形综合 5 知识点（二）二次函数的图象与性质 8 【题型3】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 9 【题型4】二次函数的与几何图形综合 11 知识点（三）二次函数的图象与性质 13 【题型5】二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 13 【题型6】二次函数的与几何图形综合 15 知识点（四）二次函数的平移 19 【题型7】二次函数的性质与平移综合 20 【题型8】二次函数的性质与几何综合 23 二．同步练习 27 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 27 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 37 3. 直通中考（选择题5题，填空题5题） 53 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴 轴 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时， 当时， 【题型1】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而减少 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数的关系式． （1）利用待定系数法即可求出函数的关系式． （2）由开口及对称轴即可判定出当为何值时，函数随的增大而减少． 解：（1）解：把点和点代入得 ，解得 所以这个函数的关系式为； （2）解：这个函数的关系式为； 对称轴， ， 抛物线开口向下， 当时，函数随的增大而减少． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的标准式形式，分析开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，逐一验证各选项的正确性． 解：A、抛物线开口方向由二次项系数决定，因，故开口向上，A正确，不符合题意； B、将代入函数，得，故抛物线经过点，B正确，符合题意； C、函数为，属于标准形式，顶点坐标为，而非，C错误，符合题意； D、因开口向上，对称轴为轴（），当时，随增大而递增，D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 【题型2】二次函数的与几何图形综合 【例题2】（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】（1）①③；（2）；（3）． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 解：（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 【变式2】（2022·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为 ． 【答案】 【分析】先求得顶点A的坐标，然后根据题意得出B的横坐标，把横坐标代入抛物线，得出B点坐标，从而求得A、B间的距离，最后计算面积即可． 解：设AB交x轴于C ∵抛物线线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A， ∴A（2，1）， ∵过点A作y轴的平行线交抛物线于点B， ∴B的横坐标为2，OC=2 把x=2代入得y=-3， ∴B（2，-3）， ∴AB=1+3=4， ． 故答案为：4． 【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标是解题的关键． 知识点（二）二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时随的增大而增大；时，有最大值． 【题型3】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）；（2），该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 解：（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 【题型4】二次函数的与几何图形综合 【例题4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． （1）随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； （2）请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【答案】（1）见分析；（2）答案不唯一，见分析 【分析】本题考查等边三角形的性质，常量与变量，二次函数的性质等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）答案不唯一比如线段，线段，线段； （2）根据特殊三角形两边之间的关系解答即可． 解：（1）解：变量有线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，线段的长，的面积，的面积，的面积，的面积，的度数，的度数，的度数，的度数． （2）解：答案不唯一，例如选取线段的长与的面积两个变量． 设线段的长为x，的面积为y，则自变量x的取值范围为， 在中，的长度为，斜边的长度为， 根据勾股定理可得． 所以面积函数的表达式为， 由二次函数的性质可知变化规律为：面积y随线段x的增大而减小． 【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【变式2】（20-21九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 【答案】24 【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解． 解：抛物线的对称轴是 过点作于点，如下图所示 则，则 则以为边的等边的周长为． 故答案为24． 【点拨】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB的长是关键． 知识点（三）二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时随的增大而增大；时，有最大值． 【题型5】二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题5】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【答案】（1）开口方向向上，对称轴，顶点坐标为；（2）当时，随的增大而增大；（3）当时，有最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，根据所给解析式可以得解； （）依据题意，根据二次函数的增减性可以判断得解； （）依据题意，由开口向上，函数有最小值，进而可以得解． 解：（1）解：由抛物线的解析式为， ∴开口方向向上，对称轴，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大； （3）解：∵抛物线开口向上， ∴当时，有最小值为． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 根据解析式，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，有最大值1，当时，随的增大而增大，解答即可． 解：∵中， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值1，当时，随的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴是过且平行于轴的直线；顶点坐标为；时，随的增大而增大，其中正确结论有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质逐个判定即可，熟记二次函数图象的性质是解题的关键． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，故正确； 由抛物线得对称轴为直线， ∴对称轴是过且平行于轴的直线，故错误； 由抛物线得顶点坐标为，故正确； 当时，随的增大而增大， ∴时，随的增大而增大，故正确； 综上：正确， 故答案为：． 【题型6】二次函数的与几何图形综合 【例题6】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或或或． 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 解：（1）解： 直线过点， ， ， ， ， 二次函数解析式为， 顶点坐标为； （2）解：存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 顶点坐标为， 对称轴为直线， 过点作于点， 在中，． ①当时，设， 在中， 解之得 ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得：， ， ； ③当时，， ，． 综上所述：点的坐标为或或或． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键掌握二次函数的性质．设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点，根据题意可得：，，进而得到，，求出，即可求解． 解：设直线交轴于点，过点作二次函数的对称轴交于点， ，，， ，， ，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 知识点（四）二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型7】二次函数的性质与平移综合 【例题7】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数． （1）函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． （2）当______时，随的增大而减小． （3）当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ （4）怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【答案】（1）向下，，；（2）；（3）当时，函数能取到最大值，最大值为；（4）抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数的平移变换等知识点，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）根据二次函数图象的性质写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （2）直接根据二次函数的增减性即可解答； （3）根据二次函数的性质解答即可； （4）根据二次函数图象的平移变换即可解答． 解：（1）解：∵函数， ∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为． 故答案为：向下，，． （2）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小． 故答案为：． （3）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，函数能取到最大值，最大值为． （4）解：抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线． 【变式1】（2025·新疆喀什·三模）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键．根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可． 解：将抛物线化为顶点式， 即： ， 将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位， 根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得： ， 把代入得：， ∴新抛物线必经过， 故选：A． 【变式2】（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，可求出，设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，，作点关于x轴的对称点E，连接，则，可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，利用点B和点C坐标求出直线解析式为，再把点E坐标代入直线解析式中计算求解即可． 解：在中，当时，， ∴， 设抛物线向左平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，， 作点关于x轴的对称点E，连接，则， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴， 解得（已检验）， ∴平移后的抛物线解析式为， 故答案为：． 【题型8】二次函数的性质与几何综合 【例题8】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． （1）如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． （2）如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为，即可求解； （2）①由点的坐标得，直线的表达式为，可得，四边形是矩形，由解得，进而可得，，由于是的中点，从而求出点坐标； ②抛物线为“优雅”抛物线，求出，由于，可得，结合，求出，联立与，求得坐标，进而求出的解析式． 解：（1）解：抛物线的对称轴为直线，则顶点坐标为， 即， ； （2）解：①如图：由（1）知，点，设， ，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ②， ， ， ， ， ， ， ，， 解方程组，得，， 将代入得：， 解得 ， 【点拨】本题考查了二次函数综合运用，涉及到新定义、图象的平移、一次函数的图象和性质、平行四边形的性质等，利用新定义确定函数表达式是解题的关键. 【变式1】（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离,再根据，即可求． 解：抛物线， 平移前的顶点纵坐标为， 平移后的抛物线的顶点纵坐标为， 平移的距离为， ， 顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：D． 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，由平移的性质可知四边形是平行四边形，根据求出线段的长度，根据平移变换求出平移的距离，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 解：连接，由平移的性质可知四边形是平行四边形， 当时，， 解得， ∴． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴抛物线向下平移了4个单位长度， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：16． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 2．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 3．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴； 故选B． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为； ∴； 故选C． 5．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与平移变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简单易懂．根据平移确定出抛物线的顶点在新坐标系中的坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线不动，而把x轴、轴分别向上、向右平移2个单位长度， 在新坐标系中抛物线的顶点坐标为， 在新坐标系下抛物线的解析式为， 故选：B． 6．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像，掌握二次函数图像的特征是解题的关键．根据二次函数的顶点式即可判断大致图像． 解：二次函数的顶点式为， ，顶点坐标为， 二次函数图像是开口向上，以顶点坐标为的抛物线， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a b（填“”，“”或“”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近即可得到a、b的大小关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴点离直线远，点离直线较近， ∴， 故答案为：． 8．（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键． 先将原函数化为顶点式，再根据“左加右减、上加下减”的平移规律计算即可． 解：∵， ∴图象向左平移个单位，根据“左加右减”原则，变为，则函数变为 ． 再向上平移个单位，根据“上加下减”原则，在函数整体上加，则函数变为 ． 展开得 ． ∴平移后图象的关系式为； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，解题关键是正确掌握平移的规律．根据抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，即可求解． 解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点， 得或6． 故答案为：2或6． 10．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 11．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案． 解：， ∵二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵关于轴对称的点为 ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 【答案】（1）；（2）最值为4，为最大值 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数交点式，顶点式的性质，进行解答，即可． （1）根据二次函数与轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算，求出的值，即可得到二次函数解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：∵二次函数的图象交轴于， ∴设该二次函数的解析式为： ∵二次函数图象过点 ∴将代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 即． （2）解：∵， ∴这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴最值为4，为最大值． 14．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 （1）填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． （2）当___________时， 随的增大而减小． （3）以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】（1）向下，；（2）；（3） 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 解：（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线； 故答案为：向下，； （2）解：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意． 15．（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． （1）求抛物线解析式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）抛物线与轴的交点坐标为；（3）时，函数值随着的增大而减小 【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算自变量的值为所对应的函数值即可； （3）根据二次函数的性质解决问题． 解：（1）设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，函数值随着的增大而减小． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质． 16．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点、的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在；或 【分析】（1）令求出点A的坐标，令求出点B的坐标即可； （2）根据二次函数解析式写出对称轴方程，再利用对称性求出点B关于对称轴的对称点，再求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行四边形对边平行且相等可得，分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求解． 解：（1）解：令，则， 解得：， 所以点， 令，则 ， 所以，点； （2）解：对称轴方程为直线； 因为点B的坐标为 所以点B关于对称轴的对称点， 设直线为，将代入， 得，， 解得：， 所以， 当时，， 所以； （3）解：存在，以为顶点的四边形为平行四边形， ①时， 当点P在点A的上方时，如下图： 点P的坐标为， 当点P在点A的下方时， 点P的坐标为， ②当时，点P在第一象限，如下图： 不符合题意. 综上所述，点P的坐标为或时，以为顶点的四边形为平行四边形． 【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意（3）有两种情况． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2021·山东临沂·二模）下列对二次函数的图象的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性子可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 解：∵二次函数y=x2-1， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误； 对称轴是y轴，故选项B正确； 当x=0时，y=-1，故选项C错误； 在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，故选项D错误； 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 4．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，点，，，分别是四边的中点，若四边形是矩形，且其周长是，则四边形的面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，三角形中位线，二次函数的知识，解题的关键是连接，，根据三角形的中位线的性质，则，，，，根据矩形的性质，则，得到四边形的面积为：，设，得到四边形的面积为：，根据二次函数的性质，即可． 解：连接，， ∵点，，，分别是四边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形的面积为：， ∵四边形的周长是， ∴ ∴， 设， ∴， ∴四边形的面积为：， 整理得：四边形的面积为：， ∴当时，四边形的面积有最大值为， 故选：C． 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对． 解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①对； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点平移后的对应点为的最短路程为，故②对； ，当时，，随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故③对． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题中条件可得出抛物线的对称轴相对于直线的位置，进而可解决问题． 解：∵二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴不能在直线的右侧， ∴． 故答案为：． 8．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为 ． 【答案】y3＜y1＜y2 【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵而B（0，y2）在对称轴上，A（﹣1，y1）到对称轴的距离比C（2，y3）近， ∴y3＜y1＜y2． 故答案为：y3＜y1＜y2． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 9．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，勾股定理等．由抛物线的对称性求出点B的坐标，由抛物线的平移表示出点C的坐标，再根据勾股定理列方程即可求解． 解：抛物线L的解析式为， 抛物线L的对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线L过两点， ， ， ，， 抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M， 设抛物线M的顶点， ，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得， 解得，， 点C的坐标为或 故答案为：或． 10．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次函数的性质．先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 解：由得， 设，则， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故①正确； 由函数图象可知，当时，图象位于轴下方， ∴当时，，故②正确； 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，故③正确； 作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，， ∴△周长，此时△周长的最小， ∵，， ∴， ∴△周长的最小值，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 13．（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点． （1）求a和h的值； （2）求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用对称轴为直线，可得， （2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为． 解：（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为： ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为． 【点拨】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． （1）若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； （2）若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（）根据抛物线的解析式可得抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数解析式解答即可求解； （）根据抛物线的对称性可得点关于抛物线对称轴的对称点为，进而根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：（1）解：∵抛物线 ， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵此抛物线的顶点在直线 上， ∴， 解得； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于抛物线对称轴的对称点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，． 15．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． （1）求点，，的坐标， （2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 解：（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． （1）若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： （2）若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； （3）当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】（1）①；②； ③；证明见分析；（2）；（3） 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 解：（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 3. 直通中考（选择题5题，填空题5题） 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 5．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 二、填空题 6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】（1，8） 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为（，） ∴的顶点坐标为（1，8） 故答案为：（1，8） 【点拨】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 7．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x－1）2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 ． 【答案】（2，－5） 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据题意进行变换即可求解． 解：抛物线y=（x－1）2－5的顶点为（1，-5）， ∴关于y轴对称的坐标为（-1，-5），再向右平移3个单位长度后的坐标为（2，-5）， 故答案为：（2，－5） ． 【点拨】此题主要考查抛物线顶点，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点． 9．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 ． 【答案】17 【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17． 解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3， 整理得x2-（10+k）x+36=0， ∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去）， ∴k的最大值是15，最小值是2， ∴k的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17． 【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键． 10．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①两个二次函数可以通过平移得到，由此即可得两个函数的图象形状相同；②求出当时，y的值即可得；③根据二次函数的增减性即可得；④先求出二次函数的顶点坐标，再代入函数进行验证即可得． 解：当时，将二次函数的图象先向右平移m个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象；当时，将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到二次函数的图象 该函数的图象与函数的图象形状相同，结论①正确 对于 当时， 即该函数的图象一定经过点，结论②正确 由二次函数的性质可知，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 则结论③错误 的顶点坐标为 对于二次函数 当时， 即该函数的图象的顶点在函数的图象上，结论④正确 综上，所有正确的结论序号是①②④ 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.2 二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型精析 1 知识点（一）二次函数的图象与性质 1 【题型1】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 2 【题型2】二次函数的与几何图形综合 2 知识点（二）二次函数的图象与性质 3 【题型3】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 4 【题型4】二次函数的与几何图形综合 4 知识点（三）二次函数的图象与性质 5 【题型5】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 5 【题型6】二次函数的与几何图形综合 6 知识点（四）二次函数的平移 7 【题型7】二次函数的性质与平移综合 7 【题型8】二次函数的性质与几何综合 8 二．同步练习 9 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 9 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 12 3. 直通中考（选择题5题，填空题5题） 15 一.知识梳理与题型精析 知识点（一）二次函数的图象与性质 函数 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴 轴 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时， 当时， 【题型1】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过点和点 （1）求这个函数的关系式； （2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少． 【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象是一条抛物线，则下列说法错误的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点 C．抛物线的顶点是 D．当时，随的增大而增大 【变式2】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【题型2】二次函数的与几何图形综合 【例题2】（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． （1）与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ （2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； （3）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【变式2】（2022·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线于点B，连接AO、BO，则△AOB的面积为 ． 知识点（二）二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时随的增大而增大；时，有最大值． 【题型3】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【题型4】二次函数的与几何图形综合 【例题4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作边的垂线，交于G，连接． （1）随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）； （2）请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的规律． 【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【变式2】（20-21九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ． 知识点（三）二次函数的图象与性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 时，随的增大而减小；时随的增大而增大；时，有最大值． 【题型5】二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值 【例题5】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数． （1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）当取何值时，随的增大而增大？ （3）当取何值时，函数取得最值？求出这个最值． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线，下列判断不正确的是（   ） A．抛物线的开口向下 B．当时，有最大值1 C．对称轴为直线 D．当时，随的增大而增大 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴是过且平行于轴的直线；顶点坐标为；时，随的增大而增大，其中正确结论有 ．（填序号） 【题型6】二次函数的与几何图形综合 【例题6】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交于点D． （1）求m的值及点C坐标； （2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线平行于轴，二次函数的图像与直线交于，两点，二次函数的图像与直线交于，两点，其顶点为，若，，，则点的坐标为 ． 知识点（四）二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【题型7】二次函数的性质与平移综合 【例题7】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数． （1）函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． （2）当______时，随的增大而减小． （3）当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ （4）怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【变式1】（2025·新疆喀什·三模）将抛物线的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线必定经过（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广西南宁·三模）已知点和点在抛物线上，沿x轴向左平移该抛物线，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，是x轴上的一个定点．当最短时，此时抛物线的解析式为 ． 【题型8】二次函数的性质与几何综合 【例题8】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线的顶点坐标满足条件，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线的顶点坐标为，此时由于，，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线． （1）如果抛物线是“优雅”抛物线，求的值． （2）如图，把（1）中的抛物线向下平移得到抛物线，抛物线与轴负半轴交于点，顶点为点，对称轴与轴交于点． ①点在延长线上，点是轴上一点，且四边形是矩形，求点的坐标． ②如果抛物线为“优雅”抛物线，它的顶点在轴上，抛物线与交于点，且，求抛物线的解析式． 【变式1】（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线；若曲线段平移至曲线段，曲线段所扫过的为阴影部分，则阴影部分的面积是 ． 二．同步练习​ 1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列抛物线中，对称轴为直线的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·一模）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 3．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数的图象上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，y的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数的图像大致是（   ） A．   B．   C．   D．   二、填空题 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）若点，都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系是：a b（填“”，“”或“”）． 8．（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为： 9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ． 10．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 11．（2025·广东肇庆·二模）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 12．（2025·四川广元·三模）已知二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线，，在抛物线上，则 （填“”“”或“”）． 三、解答题 13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于的二次函数的图象与轴交于两点两点，且图象过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？ 14．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 （1）填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． （2）当___________时， 随的增大而减小． （3）以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 15．（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点． （1）求抛物线解析式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况． 16．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求点、的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题） 一、单选题 1．（2021·山东临沂·二模）下列对二次函数的图象的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降 2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线 C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大 3．（2024·广东广州·一模）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ）． A．或4 B．或 C．或4 D．或4 4．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 5．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在四边形中，点，，，分别是四边的中点，若四边形是矩形，且其周长是，则四边形的面积的最大值是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题 7．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 8．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2+2a上的三点，则y1，y2，y3由小到大关系为 ． 9．（2025·广东珠海·一模）抛物线过两点，将抛物线L向左或向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若是以为斜边的直角三角形，则点C的坐标为 ． 10．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为 ． 11．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． 三、解答题 13．（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点． （1）求a和h的值； （2）求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式． 14．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ． （1）若此抛物线的顶点在直线 上，求的值； （2）若点 与点在此抛物线上，且直接写出的取值范围. 15．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． （1）求点，，的坐标， （2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． （1）若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： （2）若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； （3）当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 3. 直通中考（选择题5题，填空题5题） 一、单选题 1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 5．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（    ） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 二、填空题 6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标为 ． 7．（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x－1）2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是 ． 9．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 ． 10．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数（为常数）的结论，①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点；③当时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数的图像上，其中所有正确的结论序号是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$