22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+ k的图象和性质 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+ k的图象和性质 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•长沙期末）抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 2．（2025•柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　） A． B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0 3．（2025•南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•鼓楼区校级月考）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 5．（2025•潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 6．（2024秋•沧州期末）二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、直线x＝4，（4，5） B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向下、直线x＝4，（4，﹣5） D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5） 7．（2025•鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 二．填空题（共5小题） 8．（2025•惠山区三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　 ． 9．（2024秋•洪洞县期末）顶点是（2，0），且与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　 　 ． 10．（2024秋•都安县期末）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线　 　 ． 11．（2025•南关区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为　 　 ． 12．（2024秋•集贤县期末）已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　 　 时，y随x的增大而减小． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•宁波模拟）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）． （1）用含a的代数式分别表示b，c； （2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围． 14．（2024春•开福区校级期末）如图，抛物线y（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点C． （1）求点A，C的坐标； （2）若CD∥x轴交抛物线于另一点D，求CD的长． 15．（2024秋•黄石港区校级月考）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD； （3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 22.1.3 二次函数y=a（x-h）²+ k的图象和性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025春•长沙期末）抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】A 【分析】由抛物线解析式求解． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点为（1，5）， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 2．（2025•柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　） A． B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】D 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），可以得到a、b的值，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1）， ∴2，4a﹣2b+3＝﹣1， 解得a＝1，b＝4，故选项A错误，不符合题意； 当x＝﹣2时，二次函数有最小值为﹣1，故选项B错误，不符合题意； 当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 由上可得，y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3）， ∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3， ∴当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（2025•南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】B 【分析】根据顶点式直接写出抛物线的顶点坐标即可． 【解答】解：抛物线的顶点坐标是（﹣2，）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度较小． 4．（2025春•鼓楼区校级月考）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＝2时，y有最大值1 C．对称轴为直线x＝﹣2 D．当x＜2时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质． 【答案】C 【分析】根据解析式y＝﹣（x﹣2）2+1，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大，解答即可． 【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1中a＝﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2， ∴当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大， 故A，B，D正确，C错误， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 5．（2025•潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 【考点】二次函数的图象． 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】B 【分析】由函数解析式可知函数的对称轴，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）， ∴对称轴为直线x1， 所以点O2是原点； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键． 6．（2024秋•沧州期末）二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上、直线x＝4，（4，5） B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向下、直线x＝4，（4，﹣5） D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5） 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【专题】二次函数图象及其性质；符号意识． 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+4）2+5， ∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5）， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．（2025•鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 【考点】二次函数的三种形式． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】D 【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式，解题时要能熟练掌握并能灵活运用配方法转化为顶点式是关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•惠山区三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），请写出一个符合上述条件的函数表达式：　y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）． 【分析】根据二次函数图象开口向下，可知a＜0，再根据顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），可以写出一个符合要求的函数解析式． 【解答】解：∵二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3）， ∴这个函数解析式可以为y＝﹣x2﹣2， 故答案为：y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 9．（2024秋•洪洞县期末）顶点是（2，0），且与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　y＝﹣3（x﹣2）2　 ． 【考点】二次函数的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：由题意可得抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质． 10．（2024秋•都安县期末）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线　x＝﹣1　 ． 【考点】二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】x＝﹣1． 【分析】二次函数y＝（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，据此即可解答． 【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线x＝﹣1， 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数y＝（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h． 11．（2025•南关区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为　　 ． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】． 【分析】利用顶点式求得顶点坐标，然后利用勾股定理求得即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3， ∴顶点为（1，3）， ∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，利用抛物线的顶点式求得顶点坐标是解题的关键． 12．（2024秋•集贤县期末）已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　＞1　 时，y随x的增大而减小． 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数及其图象． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次函数的性质求解． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1； 当x＞1时，y随x增大而减小． 故答案为：＞1 【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记其y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•宁波模拟）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）． （1）用含a的代数式分别表示b，c； （2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）b＝﹣2a，c＝﹣3a （2）当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2 【分析】（1）将（﹣1，0），（3，0）代入表达式求出结论即可； （2）先求出y＝ax2﹣2ax﹣3a，根据题意得出a（x2﹣2x）≥0，再分情况：当a＞0时或当a＜0时分别求出即可． 【解答】解：（1）由题意可得：， ∴， ∴b＝﹣2a，c＝﹣3a； （2）∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax﹣3a， ∵y≥﹣3a， ∴ax2﹣2ax﹣3a≥﹣3a， ∴a（x2﹣2x）≥0， 当a＞0时，x2﹣2x≥0， 解得：x≤0或x≥2， ∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a， ∴k≤0或k﹣1≥2， ∴k≤0或k≥3； 当a＜0时，x2﹣2x≤0， 解得：0≤x≤2 ∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a， ∴， ∴1≤k≤2； 综上所述，k的取值范围是当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键． 14．（2024春•开福区校级期末）如图，抛物线y（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点C． （1）求点A，C的坐标； （2）若CD∥x轴交抛物线于另一点D，求CD的长． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝﹣1，可得C点坐标； （2）根据轴对称的性质求得D的坐标，即可求得CD的长． 【解答】解：（1）∵y（x﹣2）2， ∴A（2，0）， 抛物线y（x﹣2）2的与y轴的交于点C， 令x＝0得y＝﹣1． ∴C（0，﹣1）； （2）∵A（2，0）， ∴对称轴为直线x＝2， ∴C的对称点为（4，﹣1）， ∵CD∥x轴交抛物线于另一点D， ∴D（4，﹣1）， ∴CD＝4﹣0＝4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 15．（2024秋•黄石港区校级月考）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD； （3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 【考点】二次函数的图象；二次函数的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4 （2）△ABD是直角三角形，S△ABD＝3； （3）当时，的面积有最大值． 【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解； （2）令y＝0，解方程得出点C，D坐标，AB、AD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，利用三角形面积公式即可求解； （3）先求得直线BD的解析式，作QG∥y轴交BD于点G，设Q（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），利用三角形面积公式得到，再根据二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4）， ∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4， 把点B（0，3）代入得，a+4＝3， 解得a＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）△ABD是直角三角形，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4； 令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4， ∴x＝﹣1或x＝3， ∴C（﹣1，0），D（3，0）； ∵A（1，4），B（0，3）， ∴，，， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°， ∴； （3）S△BDQ的面积有最大值，理由如下： 设直线BD的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0，解得k＝﹣1， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3， 设Q（t，﹣t2+2t+3），其中0＜t＜3， 过点Q作QG∥y轴交BD于点G， ∴G（t，﹣t+3）， ∴GQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，铅锤法求三角形的面积是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $