专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题（压轴题专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的定点问题 类型二、圆锥曲线中的定值问题 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的定点问题 1. 定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2. 过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 例1．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 变式1-1．已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点 ． 变式1-2．已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与的公共点个数为1，求的值； （3）已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 类型二、圆锥曲线中的定值问题 1. 解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 2. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形，即可求得定值． （3）求某线段的长度为定值．利用长度公式求得表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形，即可求得定值． （4）求三角形（或四边形）面积为定值，常结合两点间距离公式结合点到直线距离公式，求得三角形底边及高，从而求得面积，也可利用转化法，将所求三角形面积转化为易求三角形的面积. 例2．已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： （1）求双曲线E的方程； （2）求证：； （3）若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值？并说明理由. 变式2-1．已知椭圆过，两点． （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的动点到的最短距离； （3）直线与轴交于点，过点作与不重合的直线，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，证明：为定值． 变式2-2．设双曲线的右顶点为，其焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 变式2-3．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； （3）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值. 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 1. 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2. 圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： (1)利用参数法消参求定直线. 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法. 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程. 例3．设a为实数，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）证明：点H恒在一条定直线上． 变式3-1．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 变式3-2．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. （1）求抛物线的方程. （2）证明：直线过定点. （3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（    ） A． B． C．4 D． 2．已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 3．过抛物线上点作三条斜率分别为，，的直线，，，与抛物线分别交于不同于的点．若，，则以下结论正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线斜率一定 C．直线斜率一定 D．直线斜率一定 4．已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（    ） A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2 二、多选题 5．已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2 C．若，则恒过点 D．若直线过点F，则 6．已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．为定点 B．在定直线上 C．为定值 D．为定值 7．在平面几何中，有这样一个著名的命题：“如图所示，设是圆中弦的中点，过点做两条弦，连结交于两点，则是线段的中点. ”由于题目的的图形像一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”. 这一命题最早出现在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，这是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一. 而且后人在对此定理的研究中发现，将“蝴蝶定理”中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，这个命题的结论仍然成立. 请在椭圆中直接运用蝴蝶定理解决如下问题：如图，已知椭圆的右焦点为，左右顶点为. 过做直线与交于，连接，过直线轴与交于，交直线于，交直线于，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线、交于点，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D．在定直线上 三、填空题 8．已知抛物线，焦点为，定点.若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足,则直线MN恒过的定点的坐标为 . 9．已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足，则的最小值为 ． 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 四、解答题 11．已知双曲线，点. （1）过点P分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，A、B为垂足，求的面积： （2）若C、D两点都在双曲线上运动，且，作于点H，求证：动点H在定圆上，并求出此定圆的方程. 12．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； （3）过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 圆锥曲线中的定点定值定直线问题 目录 典例详解 类型一、圆锥曲线中的定点问题 类型二、圆锥曲线中的定值问题 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 压轴专练 类型一、圆锥曲线中的定点问题 1. 定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2. 过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线C过定点问题 解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 例1．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 【答案】 【分析】设出椭圆方程，将两给定点代入待定系数求解可得椭圆方程；再设出直线方程，与椭圆C的方程联立，设，分斜率是否存在两种情况讨论，依次用坐标表示出坐标，求解直线方程，进而利用韦达定理关系式探求定点可得. 【详解】设椭圆E的方程为，由椭圆过点， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 直线的方程为，即. ①若过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 方程中，令， 可得，，在直线AB方程中， 令可得， 由得到. 则HN方程：，直线过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， ， 解得或. 由韦达定理可得， 所以， 且 ， 联立可得 则直线， 将点代入整理得， 将韦达定理所得各式代入可得 ， 即， 化简得显然成立， 综上可得，直线HN过定点 故答案为：.    【方法点睛】求定点问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，根据条件求解定点，再证明一般情况下也过此定点； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点. 变式1-1．已知抛物线：过点，，是抛物线上的两个动点，直线的斜率与直线的斜率之和为4，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】先由抛物线上的点求得抛物线的方程，再联立直线与抛物线方程，利用直线的斜率与直线的斜率之和为4，结合韦达定理即可得解. 【详解】将坐标代入抛物线方程得，解得， 所以抛物线方程为， 显然直线斜率不为0，    故可设：，将的方程与联立得， 所以， 设，，则，， 则，同理：， 由题意，得， 所以，则，即， 代入直线得， 故直线恒过定点. 故答案为：. 变式1-2．已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. （1）求的方程； （2）若直线与的公共点个数为1，求的值； （3）已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆焦点的定义，得双曲线的焦点，根据双曲线焦点，求出双曲线标准方程即可. （2）分类讨论双曲线与直线只有一个交点的情况，分别计算直线斜率的值. （3）根据直线与圆锥曲线的位置关系和韦达定理，根据已知条件列出参数的方程，证明直线过定点问题. 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）易知，如图，设，    显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 类型二、圆锥曲线中的定值问题 1. 解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值， 2. 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 （1）求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． （2）求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形，即可求得定值． （3）求某线段的长度为定值．利用长度公式求得表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形，即可求得定值． （4）求三角形（或四边形）面积为定值，常结合两点间距离公式结合点到直线距离公式，求得三角形底边及高，从而求得面积，也可利用转化法，将所求三角形面积转化为易求三角形的面积. 例2．已知双曲线E的中心在原点，焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离为，其离心率为，记直线从下到上与x轴、双曲线的右支、两条渐近线、双曲线的左支依次交于点P，A，B，C，D，如图所示： （1）求双曲线E的方程； （2）求证：； （3）若，，成等差数列，问，的面积之和是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是定值，理由见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离为，离心率为，可得，据此可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，，，，，将直线与双曲线方程联立，由韦达定理结合两点间距离公式可完成证明； （3）由题可得，结合（2）可得，然后由（2）可知， 最后由可得面积. 【详解】（1）设所求的双曲线的方程为. 由题设知，双曲线的焦点到渐近线的距离， 由离心率为知，，又，联立解得，， 故所求的双曲线E的方程为. （2）如图可知直线的斜率存在且为负数， 设直线的方程为， ，，，，. 由，得.① 则有，， 由韦达定理：，. 结合，，可得. 直线与渐近线相交得， 直线与渐近线相交得， 所以，所以. 而，同理 所以； （3），的面积之和是为定值. 理由：因为，，成等差数列，所以， 即，得，化简得. 由（2）知，所以，等底等高，所以， 所以，的面积之和. 变式2-1．已知椭圆过，两点． （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆上的动点到的最短距离； （3）直线与轴交于点，过点作与不重合的直线，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，证明：为定值． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）求出椭圆的基本量后可求椭圆方程； （2）设，则由距离公式可得，根据二次函数的性质可求最值； （3）直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程，用坐标表示或后结合韦达定理化简可得定值，从而可求的值. 【详解】（1）因为椭圆过，两点， 所以，，所以，所以椭圆的方程为． （2）设，则点到的距离为 ： ， 因为，所以当时，最小， ，所以动点到的最短距离为． （3）因为，，所以直线的方程为， 令得，所以． 当直线的斜率不存在时，可得关于轴对称，则，即． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去得关于的方程， ， 设，，则，． 直线的方程为， 令，得， 所以点的纵坐标，同理． 方法一：， 所以为定值． 综上，为定值． 方法二： ， 所以点关于轴对称，则，即． 综上，为定值. 变式2-2．设双曲线的右顶点为，其焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据右顶点为，得到，再由焦距为得到求解； （2）设过点的直线的方程为：，与双曲线方程联立，由三点共线，得到，从而，同理，代入韦达定理求解. 【详解】（1）由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）证明：如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得： ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1. 变式2-3．已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的动直线交于A，B两点.当时，. （1）求抛物线的方程； （2）证明：无论如何变化，是定值（为坐标原点）； （3）点，直线AM与交于另一点，直线BM与交于另一点，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）设直线，，，联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长的值，由此可得的值，进而求出抛物线的方程. （2）由（1）可知，，将韦达定理代入，可得出答案. （3）设直线AC的方程：，直线BD的方程：，分别与抛物线联立求出，，由（2）求出，则，再由三角形的面积公式表示出△ABM与△CDM的面积之比，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意直线的斜率不为0，可设直线，，，代入抛物线方程得：， ，，， ， 当时，，， ，抛物线的方程为. （2）证明：由（1）可知，， 则， . （3）证明：设，， 直线AC的方程：，直线BD的方程：， 由，得， ，同理，， ， 由（2）知，则， . 类型三、圆锥曲线中的定直线问题 1. 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2. 圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： (1)利用参数法消参求定直线. 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 (2)相关点法. 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程. 例3．设a为实数，点在双曲线上． （1）求双曲线C的方程； （2）过点作斜率为k的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足． （ⅰ）求斜率k的取值范围； （ⅱ）证明：点H恒在一条定直线上． 【答案】（1）；（2）① ；②证明见解析 【分析】（1）由点在双曲线上，代入解出即可； （2）（ⅰ）设出直线方程，直曲联立，消去，利用方程有两个正根，得到判别式大于零，两根之和和积大于零求出取值范围即可； （ⅱ）设，表示出韦达定理，由题中线段长度的关系得到，再结合韦达定理化简，求出定直线即可. 【详解】（1）因为点在双曲线C上，所以，整理得， 即，解得，则双曲线C的方程为； （2）（ⅰ）易知直线l的方程为，即， 联立，消去y并整理得， 设，， 因为直线l与双曲线的右支有两个不同的交点M，N， 所以关于x的方程有两个不同的正数根，， ， 解得，则斜率k的取值范围为； （ⅱ）设， 由（ⅰ）得，， 因为，，， 又P，M，N，H在同一直线l上，所以，， 由得，即， 化简得，所以， 整理得，解得，即 又点在直线上，所以 即，整理得，故点H恒在定直线上． 变式3-1．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，其中O为坐标原点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为 C．面积的最大值为 D．若，则点Q在定直线上 【答案】BD 【分析】根据椭圆方程求出离心率，即可判断A，根据焦点三角形周长公式判断B，设，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可表示出及，利用基本不等式求出面积最大值，即可判断C，设，结合C即可求出轨迹方程，从而判断D. 【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， ，， 所以椭圆的离心率，故 A 错误； 的周长为，故B正确； 设，， 联立，整理得， 由，解得， 此时， 所以， 点到直线的距离， 所以的面积， 当且仅当，即时， 的面积取最大值，故C错误； 设，由，有，即， 因为，所以，故， 于是有，所以点在定直线上，故D正确； 故选：BD. 变式3-2．已知抛物线，过抛物线上一点作两条直线分别交抛物线于两点，直线的斜率分别为，且. （1）求抛物线的方程. （2）证明：直线过定点. （3）记直线经过的定点为为直线上一点（异于点），且满足，证明点在某定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析， 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程得出，进而得出抛物线； （2）设， 求出直线的方程为，结合，化简计算可得 ，即可得到结论. （3）由（2）知，，设，设直线的方程为.代入抛物线联立方程组，将转化为，化简计算可得到结论. 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得（舍去）或，故抛物线的方程为. （2）由（1）可知点的坐标，设， 则. 由，得，所以， 即. .所以直线的方程为， 即，整理得. 又， 从而直线的方程为，化简得， 因此直线过定点. （3）由（2）知，设，易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为.由消去. 得.则. 因为.所以. 即， 当时，，化简得， 与直线的斜率不为0矛盾，不合题意； 当时，化简得， . 即.又. 可得，所以，即， 所以点在直线上. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设点，，，根据已知列式化简得出动点的轨迹方程为椭圆，由椭圆的定义得出为椭圆的两焦点，即可根据椭圆的定义得出答案. 【详解】设点，，， 由，得， 点在椭圆上， ，， 则代入，得， ， ， 将代入，得， 得 由，得， 则， 直线与直线斜率之积为，即，得， 则，即， 故动点的轨迹方程为，即， 即动点的轨迹方程为椭圆， 平面内存在两定点，使得为定值， 则为椭圆的两焦点， 则， 故选：A. 2．已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【分析】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【详解】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点，可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 【关键点点睛】解题时主要是由题中一个量（本题是数量积）与参数无关，解决此类问题，关键是要选定一个参数（参数可以是直线的斜率、截距，可以是动点坐标等），使用参数表示题中变化的量，再用这些变化的量表示题中不变的量，求得与参数无关，完成求解． 3．过抛物线上点作三条斜率分别为，，的直线，，，与抛物线分别交于不同于的点．若，，则以下结论正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线斜率一定 C．直线斜率一定 D．直线斜率一定 【答案】B 【分析】由题意，，，均不为0，设，则，同理可得，，由，得，再设出直线的方程为，利用韦达定理即可判断选项A、B，同理判断选项C、D. 【详解】由题意，，，均不为0，设， 则，同理可得， ，由，得，即，① 设直线的方程为，联立抛物线方程可得， 则，代入①式可得，， 此时直线的方程为，故直线斜率是定值，故B正确，A错误； 由，得，即，②，同理设直线 的方程为，联立抛物线方程可得， 则，代入②式可得，此时的方程为 ，恒过定点，斜率不是定值，故C错误； 由，，得，即， 即③，同理设直线的方程为，联立抛物线方程可 得，则，代入③式可得 ，此时的方程为恒过定点，斜率不为定值. 故D错误. 故选：B 4．已知直线与双曲线交于P，Q两点，轴于点H，直线与双曲线C的另一个交点为T，则下列选项中错误的是（    ） A．且 B． C．为定值 D．的最小值为2 【答案】D 【分析】由已知，可由双曲线方程推导结论，选项A，根据双曲线方程，可以求得渐近线方程，然后直线与双曲线交于P，Q两点，即可求解出的取值范围；选项B，利用坐标表示出，从而找到与之间的关系；选项C，由可知；选项D，利用借助基本不等式可得，故该选项错误. 【详解】参考结论：已知双曲线方程为：，，是双曲线上关于原点对称的两点，点也在双曲线上，则． 推导：由得，，则，， 所以 解析：，，，，则 选项A，双曲线，所以渐近线方程为，直线与双曲线交于P，Q两点，所以，由已知，，所以该选项正确； 选项B，，所以该选项正确； 选项C，，∴，∴，所以该选项正确； 选项D，因为，所以，故该选项错误； 故选：D. 二、多选题 5．已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2 C．若，则恒过点 D．若直线过点F，则 【答案】ACD 【分析】由题意可得，可求判断A；利用点差法可求得的斜率判断B；设：，与抛物线联立方程组，利用根与系数的关系结合已知可得，求解判断C；设：，联立直线和抛物线方程，利用根与系数的关系可得，可判断D. 【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确； 对于B，设，则，两式作差得， 所以直线的斜率为，故B错误； 对于对于C，设：，联立直线和抛物线， 则，，，所以． 因为，所以，所以，解得， 所以直线恒过点，故C正确； 对于D，由A得，可设：， 联立直线和抛物线， 则，，， 所以 ，故D正确． 故选：ACD． 6．已知为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左，右焦点，的内切圆圆心为，且与相切于点，过作，垂足为，下列结论正确的是（    ） A．为定点 B．在定直线上 C．为定值 D．为定值 【答案】ABC 【分析】由双曲线的定义与内切圆的性质可判断A，B，由双曲线定义与三角形中位线的性质可判断C，数形结合可判断D. 【详解】设的内切圆在上的切点分别为 设切点的坐标为， 因为 ， 所以， 因为内切圆圆心为，所以轴， 所以内切圆圆心在直线上，故A，B正确； ，垂足为，设， 为的角平分线， 为等腰三角形，， 因为， 在中，为中位线， 所以，所以为定值，故C正确； 由C知，点为圆在轴右侧上的动点， 在双曲线右支上的一个动点， 结合图象易知不是定值，D错误； 故选：ABC. 7．在平面几何中，有这样一个著名的命题：“如图所示，设是圆中弦的中点，过点做两条弦，连结交于两点，则是线段的中点. ”由于题目的的图形像一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”. 这一命题最早出现在1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》上，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现于《美国数学月刊》1944年2月号，这是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一. 而且后人在对此定理的研究中发现，将“蝴蝶定理”中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，这个命题的结论仍然成立. 请在椭圆中直接运用蝴蝶定理解决如下问题：如图，已知椭圆的右焦点为，左右顶点为. 过做直线与交于，连接，过直线轴与交于，交直线于，交直线于，设直线的斜率为，直线的斜率为，直线、交于点，则下列选项正确的是（  ） A． B． C． D．在定直线上 【答案】BD 【分析】求出两点坐标判断A；根据蝴蝶定理判断B；设出所在直线方程，联立，表示判断C；根据，联立直线、方程，求出坐标，判断D。 【详解】对于A，，，联立， 所以，所以，故A错误； 对于B，为中点，，根据蝴蝶定理可知，为中点， 所以，又因为，所以，故B正确； 对于C，由题知，， 设所在直线为，联立，得， 设，则，， 所以， 因为， 所以不为定值， ，故C错误； 对于D，设，则，联立直线、方程， 则，所以，所以在定直线上，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 8．已知抛物线，焦点为，定点.若点M，N是抛物线C上的两相异动点，M，N不关于y轴对称，且满足,则直线MN恒过的定点的坐标为 . 【答案】 【分析】利用抛物线的焦点坐标，求得抛物线方程，设出两点的坐标，根据列方程，化简求得.写出直线的方程，进而判断直线过定点 【详解】抛物线C的标准方程为，焦点为，所以，所以.设，则，整理得，由于不关于轴对称，所以恒有，直线MN的方程为，即，即即所以过定点. 故答案为： 9．已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，再求最短距离即可. 【详解】设，，，由，记，又四点共线，设，则由已知，且，. 由，得， 解得，同理，得， 解得，因为点在椭圆上，所以， 即，① 同理点在椭圆上，所以，即，② ①-②得 ，因为 所以，故点在定直线上， 的最小值为点到直线的距离. 故答案为：. 【方法点睛】解析几何中线段定比分点问题：在平面直角坐标系中，已知，，，且，,且，那么我们就说P分有向线段AB的比为，则有: ，这就是定比分点坐标公式.当P为内分点时， ；当P为外分点时， (). 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为．则椭圆的方程为 ；若在轴上存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，都有为定值，则定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由的周长为，确定即可求解第一空，对于第二空，设、、，直线方程为，结合椭圆方程联立得到：，通过，即可求解； 【详解】由已知，， 易知的周长为，所以，又，解得， 椭圆的方程为． 设、、， 当直线不为轴时的方程为， ， 联立椭圆方程得：． ，， 又， 所以 当且仅当， 即时（定值） 即在x轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 当点的坐标为， 直线为x轴时，， 此时， 所以定点坐标为. 四、解答题 11．已知双曲线，点. （1）过点P分别作和垂直于双曲线的两条渐近线，A、B为垂足，求的面积： （2）若C、D两点都在双曲线上运动，且，作于点H，求证：动点H在定圆上，并求出此定圆的方程. 【答案】（1）；（2）证明见解析，定圆的方程为. 【分析】（1）求出渐近线方程得，再根据点到直线的距离的公式和面积公式即可得到答案； （2）首先考虑直线的斜率存在时，采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再化简并代入韦达定理式，求解得 或 ，再分别验证，最后再考虑直线的斜率不存在时的情况即可. 【详解】（1）两渐近线的方程分别为，即． 则， 设的倾斜角为，则． 故． 从而． （2）①若直线的斜率存在时，设，联立，消得： ，设，则. 由 即， 即， 即， 即，即， 解得或， 直线的方程为：（不符，舍）或． 直线过定点． ②若直线的斜率不存在时，设，联立， 得或， 即， 由得或（不符，舍去）． 直线的方程为，此时也过定点． 在中，取中点，则． 故动点在以点为圆心，2为半径的定圆上， 且此定圆的方程为． 12．已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. （1）求双曲线的方程； （2）双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； （3）过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$