专题 2.3 实数与近似值（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（苏科版 2024）

专题 2.3 实数与近似值 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数判断 1 知识点（二）无理数大小估算方法 3 【题型2】无理数的估算 3 知识点（三）无理数整数部分有关计算 4 【题型3】无理数整数部分与小数部分有关计算 4 知识点（四）实数的概念 5 【题型4】实数概念的理解 6 知识点（五）实数的分类 7 【题型5】实数的分类 7 知识点（六）实数的性质 8 【题型6】实数的性质 8 知识点（七）实数与数轴 10 【题型7】实数与数轴 10 知识点（八）实数的大小比较 12 【题型8】实数的大小比较 12 知识点（九）近似值 14 【题型9】近似值 14 二．同步练习 15 【基础巩固（16题）】 15 【能力提升（15题）】 22 【中考真题8题】 29 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 1.定义：无限不循环小数. 2.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.101001000100001...（相邻两个 1 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】无理数判断 【例题1】 （23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序： （1）若，则 ； （2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义． （1）根据题目中的运算程序代入计算即可； （2）综合立方根和无理数的定义即可求解． 解：（1）解：输入，得到， 不是无理数不能输出，返回可得：， 是无理数可以输出， ， 故答案为：； （2），，， 输入的值为或或时，无法得到的值， 故答案为：或或． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 解：0，是整数，0.23是有限小数，是分数，它们不是无理数， ，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）是无限不循环小数，它们是无理数，一共4个， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·云南文山·期末）在实数中，其中无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数以及算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 解：在实数中，其中无理数有：，，一共2个， 故答案为：2． 知识点（二）无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型2】无理数的估算 【例题2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知为整数，当最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，根据，即可求解． 解：∵， ∴，即更接近 ∴ ∴ 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 根据立方根的定义估算即可． 解：， ， 与最接近的整数是， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·青海海东·期中）已知（为正整数），则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数大小的估算．熟练掌握无理数上下相邻的有理数（整数），是解题的关键． 根据与10相邻的上下两个整数是9和16，可得与相邻的两个整数是3和4，即得答案． 解：∵， ∴． 故答案为：3． 知识点（三）无理数整数部分有关计算 1.整数部分：设无理数为，其最大整数为，则，则就是的整数部分； 2.小数部分：小数部分=无理数本身-整数部分（即）.，且小数部分一定满足. 【题型3】无理数整数部分与小数部分有关计算 【例题3】 （24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键． （1）根据，即，可得； （2）根据，再求出，由此即可得，的值． 解：（1）解：，即， ， ； 故答案为：； （2）解：，即， ， 是的小数部分，是的整数部分， ． 【变式1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键．由，可得，再根据x为的整数部分，y为的小数部分，确定x、y的值代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，． ∴． 故答案为：． 知识点（四）实数的概念 定义：有理数和无理数统称实数. 【题型4】实数概念的理解 【例题4】 （22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查实数．熟练掌握实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质。是解决问题的关键． 根据实数与数轴的关系，实数的概念，有理数的概念和性质，无理数的概念和性质，数轴的概念和性质，逐一判断，即得． 解：数轴上除了还能表示有理数与其它无理数，故①项错误； 任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②项正确； 实数与数轴上的点一一对应，故③项正确； 整数和分数统称有理数，无限不循环小数为无理数， ∴无理数也有无限个，故④项错误． ∴正确的是②③． 故选：B． 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点拨】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 知识点（五）实数的分类 1.按定义分类：；2.按性质分类：； 【题型5】实数的分类 【例题5】 （24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． （1）整数：{　      …}； （2）分数：{　      　…}； （3）无理数：{　      　…}． 【答案】（1）、、0；（2）、；（3）、、（每两个1之间依次多一个0） 【分析】本题主要考查了实数的分类、无理数、有理数之间的关系，立方根，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． （1）根据整数的定义进行填空即可； （2）根据分数的定义进行填空即可； （3）根据无理数的定义进行填空即可． 解：（1）解：，， ∴整数有：、、0； （2）解：分数有：、； （3）解：无理数有：、、（每两个1之间依次多一个0）． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是带有根号的数． B．数轴上的点与有理数一一对应． C．实数分为有理数、零、无理数 D．，都是无理数． 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，无理数，实数与数轴，根据无理数的定义，实数和数轴以及实数的分类逐一进行判断即可． 解：A、无理数不一定都是带有根号的数，比如；原说法错误，不符合题意； B、数轴上的点与实数一一对应，原说法错误，不符合题意； C、实数分为有理数和无理数，原说法错误，不符合题意； D、，都是无理数，原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式2】（2023·陕西西安·模拟预测）实数，，，，其中有理数有 个． 【答案】3 【分析】先化简，，，再做出判断即可． 解：在，，，，中，，，是有理数，共3个． 故答案为：3 【点拨】此题考查了立方根、二次根式的化简、实数的分类等知识，熟练掌握二次根式的化简和实数的分类是解题的关键． 知识点（六）实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【题型6】实数的性质 【例题6】 （24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． （1）填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． （2）填空：___________，___________． （3）计算：求的值． 【答案】（1），；（2），；（3）11 【分析】本题考查实数的性质，二次根式的运算： （1）根据绝对值的意义和相反数的定义进行求解即可； （2）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （3）利用完全平方公式变形求值即可． 解：（1）解：∵， ∴x的绝对值是， ∵， ∴y的相反数是； （2）∵，， ∴，； （3）由（2）知：，， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）若，且a，b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，相反数的定义，由相反数的定义可得，设，则没有意义，据此可判断A；，，据此可判断B；，据此可判断C；与，据此可判断D． 解：解；∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴可设， A、没有意义，故此选项不符合题意； B、与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、与互为相反数，故此选项符合题意 D、与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末）化简：（1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了算术平方根、二次根式的性质、绝对值等知识点，掌握相关定义和性质成为解题的关键． （1）直接根据算术平方根的定义求解即可； （2）直接根据二次根式的性质求解即可； （3）先判断的正负，然后根据绝对值的定义求解即可． 解：（1）； （2）； （3）由，则． 知识点（七）实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型7】实数与数轴 【例题7】 （24-25七年级下·河北保定·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设表示的数为． （1）求的立方根； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）5 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，立方根，实数的运算． （1）根据数轴上两点间距离公式求出的值，再计算出，利用立方根的定义即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 解：（1）解：点表示的数为， ， ， 的立方根为； （2）解：由（1）知， ∴ ． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图所示，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的认识与无理数的估算，正确分析数轴的单位长度以及点A的位置是解决本题的关键． 首先观察数轴可知数轴的单位长度为“1”，再根据点A的位置位于与之间的位置确定范围并比较无理数的大小即可． 解：观察数轴可知，数轴的单位长度为“1”， 且点A的位置位于与之间， 因为， 所以可得， 再由不等式的变号规则可知，， 所以数轴上点表示的数可能是． 故选：A ． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案． 解：， ，即， ， ， 则在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是， 故答案为：． 知识点（八）实数的大小比较 实数的大小比较主要通过数轴法（数形结合）、差值法、平方法、估算法比较大小. 【题型8】实数的大小比较 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习） （1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的大小比较． （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定和的范围，即可比较． 解：（1）因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为，， 所以． 【变式1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法，熟练掌握利用乘方比较根式大小、负数比较大小的规则是解题的关键．分别对每个选项中的数，利用立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法来判断． 解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；． 知识点（九）近似值 近似值：指与一个准确值（或精确值）接近、但不完全相等的数值。它是通过对准确值进行估算、四舍五入或简化计算后得到的，用于在不需要精确结果的场景下，快速表示或使用这个数值。 【题型9】近似值 【例题9】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数，根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位进行求解． 解：10.55万， ∴近似数10.55万精确到百位， 故答案为：百． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度判断．根据各选项的数值单位及精确位数逐一分析． 解：选项A：0.759精确到个位时，需看十分位的数字7，，向个位进1，结果为1，说法正确，本选项不符合题意； 选项B：18.04精确到0.1（十分位）时，需看百分位的数字4，，舍去，结果为18.0，说法正确，本选项不符合题意； 选项C：5.7万表示57000，以万为单位时，小数点后第一位（十分位）对应实际数值的千位．因此，“精确到十分位”指精确到千位，但选项描述为“精确到十分位”，容易误解为原数57000的小数点后第一位（实际不存在），表述不严谨，本选项符合题意； 选项D：356700精确到万位时，千位数字为，向万位进1，得36万，科学记数法为，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 【答案】 【分析】根据四舍五入的基本原则和意义解答即可． 本题考查了四舍五入的应用，正确理解意义是解题的关键． 解：∵三位小数用“四舍五入”法取近似值是， ∴这个三位小数最大是，最小是． 故答案为：； 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据负数的定义，小于0的实数为负数，逐一判断各选项即可． 解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意； B．，故，是负数，故B符合题意； C．，是正数，故C不符合题意； D．任何实数的平方均为非负数，，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的概念，即无限不循环小数，根据《九章算术》中“面”的定义，需判断选项中哪些数是开方不尽的数（无理数）． 解：A 、无法表示为整数或分数，其小数部分无限不循环，属于无理数，符合“面”的描述； B 、1是整数，属于有理数，不符合“面”的描述； C 、0是整数，属于有理数，不符合“面”的描述； D 、，是整数，属于有理数，不符合“面”的描述． 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系．根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 解：A：表示5的算术平方根，而非所有平方根．5的平方根为，故A错误． B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B错误． C：，而，则，故C错误． D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D正确． 故选：D． 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可． 解：A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误； B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确； C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误； D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误； 故选：B． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则整数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．根据得出：，进而可得答案． 解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的计算、无理数、程序图等知识点，读懂程序框图的走向是解题关键． 依据转换器流程，先求出的立方根是，是有理数；取立方根为是无理数直接输出． 解：当输入时，由的立方根是，是有理数； 当时，由的立方根是是无理数， 所以输出y的值是． 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）计算：的平方根为 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根以及绝对值的意义，根据算术平方根的定义，平方根的定义，绝对值的意义计算即可． 解： 的平方根为， ， 故答案为∶，． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）大小比较： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 分别求出两数的范围，再判断即可． 解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似数，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 解：． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·山东烟台·期末）在计算器上按键： 显示的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同学们能熟练应用计算器和立方根，平方根，首先要求同学们熟悉每个键的功能，才能熟练应用计算器，这样才能使用科学记算器进行计算 解：在计算器上如图按键，是在计算， 故答案为：． 11．（2025·河北邯郸·三模）是从小到大排列的三个实数，若，则的最大整数值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键； 利用“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”估算出，再结合题意求的最大整数值． 解：， ，即， 又， 的最大整数值为9， 故答案为：9． 12．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下面是小花同学关于正方形裁剪后边长的估值情况：将两个大小相同的小正方形按如图所示的方法裁剪，拼成一个边长为4的大正方形，则小正方形的边长最接近的整数为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了算术平方根的应用．根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，再进行无理数的估算即可得出答案． 解：∵大正方形的面积为：， ∴每个小正方形的面积为8， 则小正方形的边长为：， ∵， ∴， ∴小正方形的边长最接近的整数是3． 故答案为：3． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 【答案】，图见分析 【分析】本题考查实数与数轴，在数轴上准确的表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 解：将，，，． 在数轴上表示如图： 由图可知：． 14．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，解二元一次方程组．根据立方根和算术平方根的性质可求出a，b的值，再估算出的整数部分，可求出c的值，即可求解． 解：的立方根是2，的算术平方根是3， ， 解得：， ∵， ∴， ∵的整数部分为c， ∴， ． 15．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你们能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是，用减去就是它的小数部分．” 请你根据上面的材料解答：已知，其中是一个整数，且，求出，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出的范围．先估算出的范围，再求出x，y的值，即可解答． 解：∵，则， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴，． 16．（24-25七年级下·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】（1）3；；（2）0或2 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，得出，，求出，，得出，然后根据，开平方得出答案即可． 解：（1）解：， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：∵， ∴，， ∵小数部分是m，小数部分是n， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：或． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，立方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数。 解：：分数，属于有理数， ：整数，属于有理数， ：非完全平方数的平方根，属于无理数， ：无限不循环小数，属于无理数， ：立方根结果为，属于有理数， ：有限小数，属于有理数， ：分数，属于有理数， 综上，无理数有和，共2个， 故选：C． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的大小比较，先利用夹逼法估算a，b的值，再比较大小即可． 解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， 又， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意求出、的值，代入即可求解， 本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是：求出、的值． 解：∵， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：． 5．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据运行程序，第一次运算结果大于，列出不等式，然后求解即可，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式是解题的关键． 解：由题意得，， 解得：， 故选：． 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键； 精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 解：A．万精确到百位，所以选项错误； B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误； C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确； D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 故选：C 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数和有理数识别、算术平方根、实数运算等知识，理解有理数和无理数的定义是解题关键．首先判断四个实数中的无理数和有理数，然后根据算术平方根的定义性质以及实数加法运算法则求解即可． 解：， 故这组实数中，为无理数，2，为有理数， 则有理数的和为． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·新疆哈密·期中） ，的相反数 ，的平方根 【答案】 3 【分析】本题考查实数的性质，立方根，算术平方根和平方根，根据绝对的意义，相反数的定义，立方根，算术平方根和平方根的定义，进行求解即可． 解：，的相反数是3，的平方根是； 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与求值，估算无理数的大小，利用算术平方根的意义求得值是解题的关键． 利用算术平方根的意义求得值，再利用二次根式的性质解答即可． 解：∵， ， ， ∴的整数部分为 1 ，小数部分为．即， 则． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据实数的大小比较方法即可得出答案，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题的关键 根据无理数的估算方法得到，则，据此结合数轴可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是D点， 故选：D． 12．（24-25七年级上·全国·期中）某市实现年生产总值4417.9亿元，比上年增长．将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为 元． 【答案】 【分析】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据科学记数法的表示方法解答，将近似数的精确度精确到十亿位． 解：数据“4 417.9亿元”精确到十亿位表示为元． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． （1）求和的值． （2）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的应用，实数与数轴； （1）根据非负数的性质求解，即可； （2）求解正方形的边长为，结合点表示的数是2，从而可得答案. 解：（1）解：， ，， ，． （2）解：正方形的面积为5， ， 以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）， ， 点表示的数是2， 点所表示的数为． 14．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分． ， ， 的整数部分为1，小数部分为． 根据你的阅读，解答下列问题： （1）的整数部分为__________，小数部分为__________； （2）求的整数部分和小数部分； （3）已知，其中m是整数，且，请求出的值． 【答案】（1）2；；（2）的整数部分为8，小数部分为；（3）． 【分析】本题考查了无理数的估算． （1）根据题干所给示例计算作答即可； （2）先求出的范围，即可求出的整数部分和小数部分； （3）先根据无理数的估算方法求出m，n的值，再代入计算即可． 解：（1）， ， 的整数部分为2，小数部分为． 故答案为：2；； （2）， ， ， 的整数部分为8，小数部分为； （3）∵，其中m是整数，且， ∴m是的整数部分，n是的小数部分， ， ， ， ∴，， ∴ ． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】 （3）如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【答案】（1）3；（2）4或5或6或7或8；（3）3次 【分析】本题考查了无理数的估算、算术平方根的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算出，即可得解； （2）由题意可得，由此即可得解； （3）根据题干所给例子，结合算术平方根，计算即可得解． 解：（1）因为， ∴，即， ∴． （2）因为，，， 所以， 所以的整数值为4或5或6或7或8． （3）因为， 所以，即， 故第1次运算：，11的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第2次运算：，的算术平方根为； 因为， 所以，即， 第3次运算：，1的算术平方根为1． 故对实数经过3次运算之后的结果是1． 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】D 【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 解： A、 ，不符合条件． B、 ，不符合条件． C、 ，不符合条件． D、 ，符合条件． 故选：D． 2．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 3．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键． 先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间， A、，故本选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 4．（2022·贵州安顺·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 6．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用夹逼法估算无理数即可得出答案． 解：4＜5＜9， ∴2＜＜3， ∴1＜1＜2， ∴＜＜1， 故选：C． 【点拨】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 二、填空题 7．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 8．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据实数大小比较解答即可． 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查实数大小的比较，关键是根据实数大小比较解答． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.3 实数与近似值 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）无理数 1 【题型1】无理数判断 1 知识点（二）无理数大小估算方法 2 【题型2】无理数的估算 2 知识点（三）无理数整数部分有关计算 2 【题型3】无理数整数部分与小数部分有关计算 2 知识点（四）实数的概念 3 【题型4】实数概念的理解 3 知识点（五）实数的分类 3 【题型5】实数的分类 3 知识点（六）实数的性质 4 【题型6】实数的性质 4 知识点（七）实数与数轴 4 【题型7】实数与数轴 4 知识点（八）实数的大小比较 5 【题型8】实数的大小比较 5 知识点（九）近似值 5 【题型9】近似值 5 二．同步练习 6 【基础巩固（16题）】 6 【能力提升（15题）】 8 【中考真题8题】 10 一.知识梳理与题型分类精析 知识点（一）无理数 1.定义：无限不循环小数. 2.无理数的形式：（1）特定的无限不循环小数，比如0.101001000100001...（相邻两个 1 之间依次多一个 0）；（2）开方开不尽的方根，比如、等；（3）特殊的数，比如等等. 【题型1】无理数判断 【例题1】 （23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序： （1）若，则 ； （2）若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）下列各数：，0，，0.23，，，，0.1010010001……（每两个1间多一个零）中，无理数的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（24-25七年级下·云南文山·期末）在实数中，其中无理数有 个． 知识点（二）无理数大小估算方法 1.开方类无理数：优先使用“夹逼法”，即通过平方或立方找到相邻的有理数范围； 2.对于常见的理数数：如，，，，直接比较大小. 【题型2】无理数的估算 【例题2】（24-25七年级下·四川德阳·期末）已知为整数，当最小时， ． 【变式1】（24-25八年级下·山东潍坊·期中）下列整数与最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·青海海东·期中）已知（为正整数），则 ． 知识点（三）无理数整数部分有关计算 1.整数部分：设无理数为，其最大整数为，则，则就是的整数部分； 2.小数部分：小数部分=无理数本身-整数部分（即）.，且小数部分一定满足. 【题型3】无理数整数部分与小数部分有关计算 【例题3】 （24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料：，即，所以的整数部分为3，小数部分为．请你观察上述的规律后，解答下面的问题： （1）如果介于连续的两个整数和之间，且，则___________，___________． （2）如果是的小数部分，是的整数部分，求，的值． 【变式1】（24-25七年级下·山西朔州·期中）若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）已知的整数部分，的小数部分，则的值为 ． 知识点（四）实数的概念 定义：有理数和无理数统称实数. 【题型4】实数概念的理解 【例题4】 （22-23八年级上·山东青岛·期中）已知下列结论，其中正确的结论是（    ） ①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个． A．①② B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式2】（2022七年级上·上海·专题练习）若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 知识点（五）实数的分类 1.按定义分类：；2.按性质分类：； 【题型5】实数的分类 【例题5】 （24-25七年级下·全国·期中）把下列各数分别填在相应的括号内： ，，，，0，，，（每两个1之间依次增加一个0）． （1）整数：{　      …}； （2）分数：{　      　…}； （3）无理数：{　      　…}． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列说法正确的是（    ） A．无理数都是带有根号的数． B．数轴上的点与有理数一一对应． C．实数分为有理数、零、无理数 D．，都是无理数． 【变式2】（2023·陕西西安·模拟预测）实数，，，，其中有理数有 个． 知识点（六）实数的性质 1.相反数：任意实数的相反数是，实数的相反数仍是实数； 2.绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 【题型6】实数的性质 【例题6】 （24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）人们在长期的数学实践中总结了许多光辉的数学思想方法，其中转化思想是最活跃实用的数学思想方法．请你解决下列有关实数的相关问题： 已知，． （1）填空：x的绝对值是__________，y的相反数是__________． （2）填空：___________，___________． （3）计算：求的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）若，且a，b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期末） 化简：（1） ；（2） ；（3） ． 知识点（七）实数与数轴 在数轴上表示出来的数，都是实数，即：数轴上的每一个点都对应一个实数，反之，每一个实数都能在数轴上找到唯一对应的点 —— 这一特性称为 “实数与数轴上的点一一对应”. 【题型7】实数与数轴 【例题7】 （24-25七年级下·河北保定·期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设表示的数为． （1）求的立方根； （2）求的值． 【变式1】（2025·河南周口·三模）如图所示，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 知识点（八）实数的大小比较 实数的大小比较主要通过数轴法（数形结合）、差值法、平方法、估算法比较大小. 【题型8】实数的大小比较 【例题8】（2025七年级下·全国·专题练习） （1）比较与的大小； （2）比较与的大小 【变式1】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3 知识点（九）近似值 近似值：指与一个准确值（或精确值）接近、但不完全相等的数值。它是通过对准确值进行估算、四舍五入或简化计算后得到的，用于在不需要精确结果的场景下，快速表示或使用这个数值。 【题型9】近似值 【例题9】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）浙江省是中国岛屿最多的省份，海岸线总长居全国首位，其中陆域面积约为10.55万平方公里，其中近似数10.55万精确到 位． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）下列说法错误的是（　　） A．0.759精确到个位为1 B．18.04精确到0.1为18.0 C．5.7万精确到十分位 D．356700精确到万位为 【变式2】（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 二．同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·三模）下面实数中，负数是 （    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是（   ） A． B．1 C．0 D． 3．（24-25七年级下·四川德阳·期末）下列关于判断正确的是（    ） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比大的数 D．是一个无理数 4．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则整数（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下图是一个数值转换器，当输入时，则输出（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）计算：的平方根为 ； ． 8．（24-25七年级下·福建福州·期末）大小比较： （填“”“”或“”）． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 10．（23-24七年级上·山东烟台·期末）在计算器上按键： 显示的结果为 ． 11．（2025·河北邯郸·三模）是从小到大排列的三个实数，若，则的最大整数值为 ． 12．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）下面是小花同学关于正方形裁剪后边长的估值情况：将两个大小相同的小正方形按如图所示的方法裁剪，拼成一个边长为4的大正方形，则小正方形的边长最接近的整数为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）： ，，，． 14．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c，求的算术平方根． 15．（24-25七年级下·甘肃平凉·期中）数学活动课上，王老师说：“是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你们能把的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为的整数部分是，用减去就是它的小数部分．” 请你根据上面的材料解答：已知，其中是一个整数，且，求出，的值． 16．（24-25七年级下·河南漯河·期中）【阅读理解】阅读下面的文字，解答问题． 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为2，将减去其整数部分2，差就是小数部分为． 【问题解决】 请解答： （1）的整数部分是__________，小数部分是__________； （2）已知：小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【能力提升（15题）】 一、单选题 1．（2025·黑龙江大庆·三模）在，0，，，，0.2020020002，中，无理数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 3．（24-25七年级下·山东德州·期中）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）若a，b为实数，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D．0 5．（24-25七年级下·陕西延安·期中）如图，从“输入一个实数”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作，若输入后程序操作进行一次就停止了，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 二、填空题 7．（24-25七年级下·广东汕头·期中）在实数2，中，有理数的和为 ． 8．（24-25七年级下·新疆哈密·期中） ，的相反数 ，的平方根 9．（24-25八年级下·江苏南京·期中）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）比较大小： （填“”“”或“”） 11．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，实数在数轴上的对应点可能是点 ． 12．（24-25七年级上·全国·期中）某市实现年生产总值4417.9亿元，比上年增长．将数据“4417.9亿元”精确到十亿位表示为 元． 三、解答题 13．（24-25七年级下·贵州黔西·期末）已知、是数轴上的两个实数，且满足． （1）求和的值． （2）如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点（点在点的左侧）求点所表示的数． 14．（24-25七年级下·江西上饶·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分． ， ， 的整数部分为1，小数部分为． 根据你的阅读，解答下列问题： （1）的整数部分为__________，小数部分为__________； （2）求的整数部分和小数部分； （3）已知，其中m是整数，且，请求出的值． 15．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）【阅读材料】 对于实数a，我们规定：用表示a的整数部分．例如：因为，所以的整数部分为1，即；因为，所以的整数部分为2，即， 【应用】 （1）填空：_______． （2）若，求出满足题意的所有x的整数值． 【拓展】 （3）如果我们将正实数a的整数部分进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一直进行下去，直到结果为1时停止运算．例如：，3的算术平方根为；，1的算术平方根为1，此时运算停止，共进行2次运算．求对实数经过几次运算之后的结果是1？ 【中考真题8题】 一、单选题 1．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 2．（2025·天津·中考真题）估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（2022·福建·中考真题）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 4．（2022·贵州安顺·中考真题）估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 5．（2025·四川南充·中考真题）如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·山东潍坊·中考真题）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ． 8．（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$