精品解析：安徽省马鞍山市和县2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024~2025学年度第二学期期末质量抽测 八年级数学试题卷 注意事项：试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、单选题（本题10小题，每题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 2. 已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、 3、 4 B. 3、 4、 5 C. 5、 12、 13 D. 6、 8、 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据较小两边的平方和等于较长边的平方的三角形能够成直角三角形逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴2、 3、 4不能构成直角三角形，符合题意； B、∵， ∴3、 4、 5能构成直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴5、 12、 13能构成直角三角形，不符合题意； D、∵，∴6、 8、 10能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求菱形的面积，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积公式即可解答． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长度分别为6和8， ∴该菱形面积， 故选：A． 4. 一次函数的图象与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解一次函数与轴的交点坐标，把代入函数解析式即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 解得：， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为， 故选：B． 5. 中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( ) A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，掌握方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立是关键．根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立． 【详解】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生立定跳远成绩的方差． 故选：C． 6. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 7. 已知一组数据的平均数是a，中位数为b，众数为c，方差为d．将这组数据的每个数据都加上10得到一组新数据，则下列结论错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是 C. 新数据的众数是 D. 新数据的方差是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数和方差的定义，根据平均数，中位数，众数和方差的定义即可判断，掌握平均数，中位数，众数和方差的定义是解题的关键． 【详解】解：A、新数据的平均数是，结论正确，故选项不符合题意； B、新数据的中位数是，结论正确，故选项不符合题意； C、新数据的众数是，结论正确，故选项不符合题意； D、新数据的方差是d，故选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形中位线定理得到，，，，证明，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理．添加合适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键． 9. 直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象，先根据直线经过的象限，得出k和b的符号，然后再判断直线的k和b的符号是否与直线一致，据此即可得出答案． 【详解】解：A．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； B．直线中，，，中，，则，一致，故本选项符合题意； C．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意； D．直线中，，，中，，不一致，故本选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图，中，，，点是内一动点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，过点作，交延长线于，连接，由题意可知，证明，可知为等腰直角三角形，易得，再证，则，，可证，易知为等腰直角三角形，得，，即可求解．添加辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，交延长线于，连接， ∵，， ∴， 设， 则，， ∴，， ∴等腰直角三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 则，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先化简二次根式，再计算加法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 为响应2025年教育部“强化学生体育锻炼，提升青少年体质”的文件精神．某学校积极推行每天一小时阳光体育活动，从该校九年级随机抽取5名同学，记录他们在一周内参与阳光体育活动的时长（单位：小时），分别为5，6，4，7，5，则这组数据的中位数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是中位数的含义，先把数据按照从小到大的顺序排序，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：5，6，4，7，5重新排序为：4，5，5，6， 7， ∴中位数为：； 故答案为： 13. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可． 本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 【详解】解：解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为：． ∴线段长的最小值为， 故答案为：． 14. 定义：若，满足，（常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则______； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与系数的关系等知识，本题综合性强，有一定难度． （1）根据题意得出，消去t即可得到； （2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出． 【详解】（1）∵是“好点”， ∴， 消去t得到， 故答案为：； （2）∵在的范围内，若直线上存在“好点”， ∴， 消去t得：， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第15、16、17、18题每题8分，第19、20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题14分，共90分） 15. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．结合平方差公式、完全平方公式和二次根式的混合运算进行计算即可． 【详解】解： ． 16. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】（1）米 （2）14米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 17. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，的周长是12，求平行四边形的周长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，线段垂直平分线的性质，正确运用平行四边形的性质及判定定理是解题的关键。 （1）根据平行四边形的性质可得，,再结合已知利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形是平行四边形即可； （2）根据平行四边形的性质得，由可证明是的垂直平分线，可得，根据的周长是12及平行四边形的对边相等这一性质即可求出平行四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 【小问2详解】 解：由（1）得，平行四边形， ， ， ， 的周长是12， ， ∴平行四边形的周长. 18. 如图，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的表达式； （2）若直线AB上的点C在第二象限，且S△BOC＝4，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）（−4，） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得直线AB的解析式即可； （2）设C（x，），根据三角形面积公式得到×2×|x|＝4，解方程即可． 【小问1详解】 解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b， 代入点A（−3，0），点B（0，−2）得：， 解得， ∴直线AB的解析式为； 【小问2详解】 设C（x，）， ∵＝4， ∴， ∴×2×|x|＝4， 解得：|x|＝4， ∵点C在第二象限， ∴x＝－4，， ∴点C的坐标为（−4，）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… （1）请直接写出第4个等式： （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； （3）利用（2）的结论计算：． 【答案】（1） （2），见解析 （3）1 【解析】 【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； （2）利用前面规律写出第个等式，然后根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 第4个等式：； 【小问2详解】 解：第个等式为：（为正整数）； 证明：， 为正整数， ， ∴猜想成立； 【小问3详解】 解： ． 20. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 分析】（1）由正方形得到，然后由得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，延长到H，使得，连接，证明得到，，再证明得到，再根据线段之间的关系即可证明结论． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，为切实加强安全宣传教提升师生安全防范意识，我校组织七年级480名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 【收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93． 【整理数据】 分数段班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 乙 90 87 b 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出： 分， 分 （2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名． （3）根据以上数据，你认为哪个班的学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可） 【答案】（1）100；91 （2）256名 （3）甲班的学生整体成绩较好．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是中位数，众数，平均数，方差的含义，利用中位数，众数，平均数，方差作决策，熟记基础概念是解本题的关键； （1）根据众数与中位数的含义求解即可； （2）由480乘以样本优秀率即可得到答案； （3）从平均数的角度出发分析即可． 【小问1详解】 解：甲班成绩中100出现的次数最多，所以众数分； 乙班15名学生测试成绩从小到大排列后，第8个数91， 所以中位数分． 【小问2详解】 解：甲班成绩92分及其以上的有人， 乙班成绩92分及其以上的有人， 两班共人， 其中成绩优秀的有人． 所以480名学生中成绩为优秀的学生大约有名． 【小问3详解】 解：平均数是反映一组数据平均水平的量，平均数越大，整体水平越高；甲班的学生整体成绩较好． 理由：甲班的平均数92分大于乙班的平均数90分，说明甲班的平均成绩更高． 22. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 【答案】（1）a的值为35，b的值为40 （2）①y与x的函数关系式为，x的取值范围为：；②当时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【解析】 【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围； ②根据总利润乒乓球拍的利润羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 根据题意：， 解得， 答：a的值为35，b的值为40； 【小问2详解】 ①由题意得： ， ∵购进乒乓球拍的套数不超过150套， ∴， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：， 则x的取值范围为：， ∴y与x的函数关系式为，x的取值范围为：； ②由题意得：， ∵， ∴当即时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大； 当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值， 乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大； 当时，无论购多少套，只要满足，利润都是． 【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组． 23. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，化为最简二次根式，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末质量抽测 八年级数学试题卷 注意事项：试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、单选题（本题10小题，每题4分，共40分） 1. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知下列各三角形三边长，其中不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、 3、 4 B. 3、 4、 5 C. 5、 12、 13 D. 6、 8、 10 3. 已知菱形的两条对角线的长度分别为6和8，则它的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 12 D. 96 4. 一次函数图象与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 中华人民共和国第十五届运动会将于2025年11月9日至21日在粤港澳三地共同举行．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的( ) A. 中位数 B. 众数 C. 方差 D. 以上都不对 6. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 已知一组数据的平均数是a，中位数为b，众数为c，方差为d．将这组数据的每个数据都加上10得到一组新数据，则下列结论错误的是（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是 C. 新数据的众数是 D. 新数据的方差是 8. 如图，在中，，，，，分别为边，上的点，，分别为，的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，点是内一动点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. 7 D. 二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分） 11. 计算：__________． 12. 为响应2025年教育部“强化学生体育锻炼，提升青少年体质”文件精神．某学校积极推行每天一小时阳光体育活动，从该校九年级随机抽取5名同学，记录他们在一周内参与阳光体育活动的时长（单位：小时），分别为5，6，4，7，5，则这组数据的中位数是_________． 13. 如图，在中，，，，点P为斜边上一动点，过点P作，，，垂足分别为点E、F，连接，则线段的最小值为_______． 14. 定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”． （1）若是“好点”，则______； （2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为______． 三、解答题（第15、16、17、18题每题8分，第19、20题每题10分，第21、22题每题12分，第23题14分，共90分） 15. 计算 16. 为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． （1）求此时风筝的垂直高度． （2）若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 17. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，且．连结，交于点O． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，的周长是12，求平行四边形的周长． 18. 如图，直线AB与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的表达式； （2）若直线AB上的点C在第二象限，且S△BOC＝4，求点C的坐标． 19. 观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… （1）请直接写出第4个等式： （不用化简）； （2）根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； （3）利用（2）的结论计算：． 20. 如图，正方形中，点E、F分别在边、上，且． （1）求的度数； （2）求证：． 21. 2025年4月15日是第10个全民国家安全教育日，为切实加强安全宣传教提升师生安全防范意识，我校组织七年级480名学生开展了安全知识测试．现随机抽取甲、乙两班各15名同学的测试成绩（满分100分）进行整理分析，过程如下： 收集数据】 甲班15名学生测试成绩分别为：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100． 乙班15名学生测试成绩中的成绩如下：91，92，94，90，93． 【整理数据】 分数段班级 甲 1 1 3 4 6 乙 1 2 3 5 4 【分析数据】 班级 平均数 众数 中位数 方差 甲 92 a 93 乙 90 87 b 【应用数据】 （1）根据以上信息，可以求出： 分， 分 （2）若规定测试成绩92分及其以上为优秀，请估计参加安全知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少名． （3）根据以上数据，你认为哪个班学生的整体成绩较好？请说明理由．（一条理由即可） 22. “双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表： 商品 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 45 羽毛球拍（元/套） 52 已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元． （1）求出a，b的值； （2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元． ①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； ②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？ 23. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $