第1章 有理数（知识清单）数学浙教版2024七年级上册

第1章 有理数 1.整数包括 、 和负整数；分数包括 和 . 2.有理数的概念： 和 统称为有理数． 3.有理数的分类： （1）按概念分： ； （2）按符号分： ． 4.数轴的定义：规定了 、 和 的直线叫做数轴. （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 5.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π. 6.一般地，数轴上原点右边的点表示 ，左边的点表示 ；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. 7.只有 不同的两个数互为相反数；0的相反数是 0 . （1）“只”字是说仅仅是 不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. （5）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离 （这两个点关于原点对称）. （6）互为相反数的两数和为 . 7.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的 叫做数a的绝对值，记作 . （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的 ，离原点的距离越远，绝对值 ；离原点的距离越近，绝对值 ． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 8.绝对值的性质：绝对值具有 ，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 9.绝对值的求法 （1）0除外，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为 ． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值 . （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 10.数轴法比较有理数的大小：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数 . 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a b． 11.有理数大小比较的符号法则 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： －个数为0 正数与0：正数 0 负数与0：负数 0 两数异号 正数 负数 两数同号 同为正号：绝对值大的数 同为负号：绝对值大的反而 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小. 一、有理数及其概念 1.相反意义的量 错误：判断相反意义的量时不按规定确认正负数； 注意：首先确定正数表示的含义，然后确定一个数据所表示的数的正负，然后再写出这个数。 例1 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升记作，则气温下降记作 ． 例2 找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 2.根据规则表示有理数 错误：未正确阅读表示数的规则，导致表示错误，如下题中： 如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 错误的答案有：65、652、﹣65等 注意：如上题所述的算筹的定义中，需要注意三点：①判断是几位数；②判断每个位数上的数是多少；③判断这个数的正负。因此“”表示的数应为：﹣652。 例3 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 二、有理数的分类 1.分类时忽略“0”的分类 错误：在分类时忘记将“0”分类进去，如将整数只分为正整数和负整数；有理数只分为正数与分数. 注意：整数可以分为正整数，0和负整数，因此也需要知道：0既不是正整数，也不是负整数。 例4 在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 2.判断一个数的类别时考虑不全 错误：只考虑有理数的正负性，或者只考虑有理数是整数还是分数。比如将归为分数，但不归入负数中，或不归入负分数中。 注意：在对每个数判断类别时，要充分。 例5 在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 3.无限不循环小数不是有理数 错误：认为π是有理数，对标了分数等无限循环小数。 注意：π是无限不循环小数，不是有理数；而分数是有限小数或无限循环小数，是有理数。 例6 下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三、数轴及作图 1.画图时忽略数轴的三要素 错误：画图时未规定正方向，或者漏掉原点的标注，或者没有规定单位长度。 注意：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可 2.数轴的单位长度不一致 错误： 注意： 例7 下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 3.有理数与数轴上的点的对应关系 错误：认为数轴上的点与有理数一一对应 注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但反之不成立，有些点不表示有理数。 例8 公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 例9 在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 4.满足数轴上的点的位置的分类讨论 错误：一个有理数在数轴上的点到已知点的距离已知的情况下，忽略分类讨论只考虑一种情况。 注意：到数轴上已知点的相同距离（距离不为零）满足的点有两个，他们分别位于已知点的左右两侧。 例10 如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是______． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 四、相反数及其性质 1.求一个数的相反数时只看符号 错误：认为a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数。 注意：要先确定a是正数还是负数还是0,0的相反数是它本身。如果a是正数，则﹣a为负数；如果a是负数，那么﹣a是正数。 例11 如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 五、绝对值及其性质 1.认为一个数的绝对值一定是正数 错误：在判断“一个数的绝对值一定是正数”时认为是正确的，忽略了0的存在。 注意：“一个数的绝对值一定是正数”这句话是错误的，因为0的绝对值还是0,0是非负数，因此此句因为“一个数的绝对值一定是非负数” 例12 如果，那么a的取值范围为 ． 2.在数轴上标注带有绝对值的数 错误：在数轴上标注带有绝对值的数时，只看数的部分。如将“|﹣3|”标注在“﹣3”的位置。 注意：标注带有绝对值的数，应先化简这个绝对值，然后再判断它在数轴上的位置。 例13 把下列各数在数轴上表示出来，，，，，0． 3.用绝对值的性质计算方程时，缺乏分类讨论的思想 错误：如：在计算|a|=3时，求得a=3 注意：应考虑a是正数和负数的两种可能性。所以解得a应为±3. 例14 如果，那么（   ） A． B． C． D． 例15 已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 六、比较有理数的大小 1.在比较两个负数时规则混淆 错误：比较两个负数的大小时，判断﹣2＜﹣3. 注意：比较两个负数的大小时，绝对值大的那个数反而更小，因为|﹣2|＜|﹣3|，所以﹣2＞﹣3. 例16 把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 例17 有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 1.下列各数中，比小的数是（   ） A．0 B． C．4 D．1 2.如果规定向东走为正，则向东走记作( )，向西走记作( )，原地不动记作( )． 3.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 4.下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 5.有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 6.实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 7.如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 8.若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 9.比较大小： ．（填“”“”或“”号） 10.若，的平均数为，，，的和为，则 ． 11.已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 12.把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 13.比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 14.如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 15.在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 16.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 将化为分数形式． 解：设，因为…，所以…①    将方程①两边同时乘10得：…② ②﹣①得：，   解得：， 所以得． 同理可得：，； 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】（1） ， ； 【能力提升】（2）将化为分数形式，写出推导过程； 【探索发现】（3）比较与1的大小： 1（填“＞”、“＜”或“=”） （4）应用（3）的结论，若已知，则 ． 17.我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数 1.整数包括 正整数 、 0 和负整数；分数包括 正分数 和 负分数 . 2.有理数的概念： 整数 和 分数 统称为有理数． 3.有理数的分类： （1）按概念分： ； （2）按符号分： ． 4.数轴的定义：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线叫做数轴. （1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． （3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 5.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π. 6.一般地，数轴上原点右边的点表示 正数 ，左边的点表示 负数 ；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示. 7.只有 符号 不同的两个数互为相反数；0的相反数是 0 . （1）“只”字是说仅仅是 符号 不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. （5）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离 相等 （这两个点关于原点对称）. （6）互为相反数的两数和为 0 . 7.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的 距离 叫做数a的绝对值，记作 |a| . （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它 本身 ；一个负数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 ．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的 距离 ，离原点的距离越远，绝对值 越大 ；离原点的距离越近，绝对值 越小 ． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 8.绝对值的性质：绝对值具有 非负性 ，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 9.绝对值的求法 （1）0除外，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为 相反数 ． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值 相等 . （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 10.数轴法比较有理数的大小：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数 小 . 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a ＜ b． 11.有理数大小比较的符号法则 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： －个数为0 正数与0：正数 大于 0 负数与0：负数 小于 0 两数异号 正数 大于 负数 两数同号 同为正号：绝对值大的数 大 同为负号：绝对值大的反而 小 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小. 一、有理数及其概念 1.相反意义的量 错误：判断相反意义的量时不按规定确认正负数； 注意：首先确定正数表示的含义，然后确定一个数据所表示的数的正负，然后再写出这个数。 例1 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升记作，则气温下降记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，由气温上升记为正，则气温下降记为负，由此即可得解，熟练掌握正数和负数的意义是解此题的关键． 【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作， 故答案为：． 例2 找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 2.根据规则表示有理数 错误：未正确阅读表示数的规则，导致表示错误，如下题中： 如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 错误的答案有：65、652、﹣65等 注意：如上题所述的算筹的定义中，需要注意三点：①判断是几位数；②判断每个位数上的数是多少；③判断这个数的正负。因此“”表示的数应为：﹣652。 例3 中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 【答案】 【分析】 本题考查了应用类问题．根据算筹记数的规定可知，“ ”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数． 【详解】 解：由已知可得：“ ”表示的是4位负整数，是． 故答案为：． 二、有理数的分类 1.分类时忽略“0”的分类 错误：在分类时忘记将“0”分类进去，如将整数只分为正整数和负整数；有理数只分为正数与分数. 注意：整数可以分为正整数，0和负整数，因此也需要知道：0既不是正整数，也不是负整数。 例4 在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 2.判断一个数的类别时考虑不全 错误：只考虑有理数的正负性，或者只考虑有理数是整数还是分数。比如将归为分数，但不归入负数中，或不归入负分数中。 注意：在对每个数判断类别时，要充分。 例5 在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 3.无限不循环小数不是有理数 错误：认为π是有理数，对标了分数等无限循环小数。 注意：π是无限不循环小数，不是有理数；而分数是有限小数或无限循环小数，是有理数。 例6 下列7个数，，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【详解】解：，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ：有限小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：D． 三、数轴及作图 1.画图时忽略数轴的三要素 错误：画图时未规定正方向，或者漏掉原点的标注，或者没有规定单位长度。 注意：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可 2.数轴的单位长度不一致 错误： 注意： 例7 下列所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的三要素进行判定即可． 【详解】解：A、缺少单位长度，本选项不符合题意； B、缺少正方向，本选项不符合题意； C、三要素具备，本选项符合题意； D、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，本选项不符合题意． 故选：C． 3.有理数与数轴上的点的对应关系 错误：认为数轴上的点与有理数一一对应 注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但反之不成立，有些点不表示有理数。 例8 公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 例9 在直线上表示下列各数：，2，，2.5，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 4.满足数轴上的点的位置的分类讨论 错误：一个有理数在数轴上的点到已知点的距离已知的情况下，忽略分类讨论只考虑一种情况。 注意：到数轴上已知点的相同距离（距离不为零）满足的点有两个，他们分别位于已知点的左右两侧。 例10 如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是______． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 【分析】本题主要考查数轴的特点，掌握数轴的三要素，数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原数如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， 所以A，B两点的距离为7，点A与点B的中点到点A与点B的距离为7÷2=3.5，即在0.5的位置， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为2；当点C在点B的右边时，点C表示的数为6， 故答案为：2或6． 四、相反数及其性质 1.求一个数的相反数时只看符号 错误：认为a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数。 注意：要先确定a是正数还是负数还是0,0的相反数是它本身。如果a是正数，则﹣a为负数；如果a是负数，那么﹣a是正数。 例11 如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向． (1)若点A所表示的数是，则点所表示的数是_______； (2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______； (3)若点B，O之间的距离为4，求m的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)或8 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，有理数的加减法运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离进行计算即可求解； （2）根据的距离，得出点A表示是的数为，点C表示的数为4，由图中点C所在的位置为10，即可得出原点O对应直尺上的刻度为； （3）分当O在点B的左边和右边两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上的点A，B，C对应着直尺上的刻度2，8和10， ∴， ∵点A所表示的数是， ∴点C所表示的数是由﹣3在数轴上的位置向右平移8个单位到有理数5， 故答案为：5； （2）解：∵，点A，C所表示的数互为相反数， ∴则点A表示是的数为，点C表示的数为4， ∵图中点C所在的位置为10， ∴数轴的原点O对应直尺上的刻度为， 故答案为：6； （3）解：∵点B，O之间的距离为4，点B对着直尺上的刻度8， ①当O在点B的左边时，即点O对着直尺上的刻度4， ∴B点表示的数为4， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为6， ∴； ②当O在点B的右边时，即点O对着直尺上的刻度12， ∴B点表示的数为， ∵， ∴此时点A表示的数为，点C表示的数为， ∴， 综上，m的值为或8． 五、绝对值及其性质 1.认为一个数的绝对值一定是正数 错误：在判断“一个数的绝对值一定是正数”时认为是正确的，忽略了0的存在。 注意：“一个数的绝对值一定是正数”这句话是错误的，因为0的绝对值还是0,0是非负数，因此此句因为“一个数的绝对值一定是非负数” 例12 如果，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，即一个数的绝对值等于它本身， ∴这个数是非负数，即， ∴， 故答案为：． 2.在数轴上标注带有绝对值的数 错误：在数轴上标注带有绝对值的数时，只看数的部分。如将“|﹣3|”标注在“﹣3”的位置。 注意：标注带有绝对值的数，应先化简这个绝对值，然后再判断它在数轴上的位置。 例13 把下列各数在数轴上表示出来，，，，，0． 【答案】数轴表示见解析 【分析】本题考查了绝对值，化简多重符号，准确化简是解题的关键． 根据绝对值的性质，相反数的定义分别化简，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下： 3.用绝对值的性质计算方程时，缺乏分类讨论的思想 错误：如：在计算|a|=3时，求得a=3 注意：应考虑a是正数和负数的两种可能性。所以解得a应为±3. 例14 如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 例15 已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求a，c的值． 【答案】(1)；； (2)；； (3) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键． （1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案； （2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案； （3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】（1）解：由数轴可知； （2）解：∵， ∴，；； （3）解：∵，，， ∴． 六、比较有理数的大小 1.在比较两个负数时规则混淆 错误：比较两个负数的大小时，判断﹣2＜﹣3. 注意：比较两个负数的大小时，绝对值大的那个数反而更小，因为|﹣2|＜|﹣3|，所以﹣2＞﹣3. 例16 把有理数、、0、用“”连接正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 根据有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∵ ∴． 故选：B． 例17 有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解： 是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 1.下列各数中，比小的数是（   ） A．0 B． C．4 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 2.如果规定向东走为正，则向东走记作( )，向西走记作( )，原地不动记作( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若向东走“”表示，那么向西走就用“”表示，原地不动用“0表示”，据此求解即可． 【详解】解：如果规定向东走为正，则向东走记作，向西走记作，原地不动记作． 故答案为：；；． 3.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且．若，则点B表示的数为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，相反数的定义，根据，得到点A、B分别表示a、b互为相反数，即点A、B到原点的距离相等，利用数轴上两点间距离即可求解． 【详解】解：∵点A、B分别表示数a、b，且， ∴a、b互为相反数， ∵， ∴A，B两点到原点的距离为3， ∵B点位于数轴上正半轴， ∴B点表示的数为3， 故选：D． 4.下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 5.有理数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值表示数轴上的点到原点的距离，距离越大，绝对值越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，表示数的点到原点的距离最大， ∴绝对值最大的是； 故选A． 6.实数，互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数的定义，利用数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大逐项分析即可． 【详解】解：A．，互为相反数，，，，，故A错误； B．，互为相反数，，，故B错误； C．，互为相反数，，故C错误； D．，互为相反数，，，故D正确． 故选∶D． 7.如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3， ∴A，B两点间的距离是：， 故答案为：4． 8.若，则 ， ． 【答案】 3 4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：3；4． 9.比较大小： ．（填“”“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的意义，根据有理数的大小比较方法即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 10.若，的平均数为，，，的和为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，根据相反数的定义，即可求解． 【详解】解：∵的平均数为4， ∴， ∵， 所以x+y与z互为相反数。 ∴， 故答案为：． 11.已知数轴上A点为，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为 ． 【答案】5或1 【分析】本题考查了数轴，掌握平移的关键在于点对应的数的大小变化和平移的规律． 数轴上的点平移时和数的大小变化规律：左减右加． 【详解】解：∵A点为，点B由点A向右移动6个单位长度， ∴B 是， ∵点C距离点B两个单位， ∴①当点C在点B的右边时：； ②当点C在点B的左边时：； ∴点C在数轴上对应的数为5或1， 故答案为：5或1. 12.把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 13.比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． （1）分别利用绝对值、相反数的定义化简，再比较大小即可； （2）根据负数的大小比较方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：，， ∵，，， ∴， 即． 14.如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点表示的数互为相反数，那么点表示的数是多少？ (2)如果点表示的数互为相反数．那么点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)1， 【分析】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点O的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图1，所以点表示的数是； （2）解：因为点表示的数互为相反数，所以表示数0的点在点中点位置，如图2， 所以点表示的数是1，点表示的数是． 15.在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表： 做实心球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 (1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？ (2)哪个同学做的质量最接近标准质量？ 【答案】(1)张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的 (2)蔡伟同学做的质量最接近标准质量 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、正负数的意义等知识点，正确掌握正负数的实际意义是解题的关键． （1）比较各个数据的绝对值，绝对值小于0.02是实心球是合乎要求，据此即可解答； （2）比较各个数据的绝对值，绝对值最小的实心球的质量最接近标准质量，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵，． ∴张兵和蔡伟同学做的实心球是合乎要求的． （2）解：，， ∵， ∴蔡伟同学做的质量最接近标准质量． 16.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 将化为分数形式． 解：设，因为…，所以…①    将方程①两边同时乘10得：…② ②﹣①得：，   解得：， 所以得． 同理可得：，； 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】（1） ， ； 【能力提升】（2）将化为分数形式，写出推导过程； 【探索发现】（3）比较与1的大小： 1（填“＞”、“＜”或“=”） （4）应用（3）的结论，若已知，则 ． 【答案】（1） ，；（2）；（3） ；（4） 【分析】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用，按照阅读材料的示例找到规律是解题的关键． （1）根据示例的方法解答即可； （2）根据示例的方法解答即可； （3）根据示例的方法解答即可； （4）根据，即可解答． 【详解】解：（1）设， ∵…， ∴…①    将方程①两边同时乘10得： …② ②-①得：， 解得：， ∴． 同理可得，． 故答案为： ，． （2）设， ∵…， ∴…①    将方程①两边同时乘100得： …② ②-①得：， 解得：， ∴． （3）由题意，可得 ． 故答案为：=． （4）∵，且， ∴． 故答案为： 17.我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是8； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$