专题02有理数的计算（期中知识清单，11大常考+1易错+3技巧题型）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02 有理数的计算（11知识&11题型&1易错&3方法清单） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【题型一】有理数加减法计算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加法运算律及加法运算法则，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先将分数化为小数，再由加法结合律恒等变形，最后由有理数的加法运算法则求解即可得到答案； （2）先由加法交换律与结合律恒等变形，再由有理数的加法运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：＋＋＋＋ ＋＋＋＋ ． 【变式1-1】提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1-2】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据减法法则进行计算即可； （2）根据加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【题型二】有理数加法的运算率 【例2】如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【答案】(1)加法的交换律；加法结合律 (2) 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，熟练的使用运算律是解本题的关键； （1）根据加法的交换律与结合律可得答案； （2）先使用交换律把原式化为：，再利用结合律进行计算即可． 【详解】（1）解：     利用的是加法的交换律，   利用加法结合律； （2）解： ； 【变式2-1】阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 【变式2-2】运用加法运算律计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法的交换律和结合律计算即可； （2）利用加法的交换律和结合律计算即可； （3）利用加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式2-3】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1) (2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 【题型三】有理数加减法的应用 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)南，5千米 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的运算，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出地在地的哪个方向，它们相距多少千米即可． （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出该天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解： ， ， 地在地正南方向，它们相距； （2） ， 汽车行驶平均耗油升， 汽车行驶平均耗油升， 即这天汽车共耗油升． 【变式3-1】小车司机李师傅某天下午的营运全是在东西走向的常青公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，， (1)李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)李师傅这天下午共行车多少千米？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】此题主要考查正负数的意义、求绝对值、有理数加减运算的实际应用，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性． （1）把所有行车里程相加，再根据正数和负数的意义解答； （2）求出所有行车里程的绝对值的和即可． 【详解】（1）（千米）， 李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地千米． （2） （千米）， 李师傅这天下午共行车千米． 【变式3-2】文具店、小明家和书店依次坐落在一条东西走向的大街上．已知文具店位于小明家西边100米处，书店位于小明家东边200米处．一天，小明从家里出发先去书店购书，再去文具店选购学习用品，最后回家学习． (1)以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数． (2)用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程． 【答案】(1)图见解析，文具店表示的数是，书店表示的数是 (2)小明这一天所走的路程600米 【分析】本题考查了数轴、正负数的意义及绝对值， （1）根据数轴是表示数的一条直线，可用数轴上的点表示数； （2）根据行走就是距离，可得所走的路程，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：如图：    文具店表示的数是，书店表示的数是； （2）解：由题意得：（米）， 答：小明这一天所走的路程600米． 【变式3-3】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上； (2)25米； (3)4次，理由见解析． 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数大小比较的实际应用．理解题意，理解本题中正负数的意义是解题关键． （1）将记录的数字相加，若结果为0，则守门员回到了球门线上，否则没有； （2）求出每次离球门的距离即可得到答案； （3）根据题意，结合（2）找出守门员离开球门线的距离超过的数据即可． 【详解】（1）解：根据题意得：米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次跑距离开球门线（米）； 第三次跑距离开球门线（米）； 第四次跑距离开球门线（米）； 第五次跑距离开球门线（米）； 第六次跑距离开球门线（米）； 第七次跑距离开球门线（米）； 第八次跑距离开球门线（米）．                                ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）解：对方球员有4次挑射破门的机会，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【变式3-4】井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 【答案】(1)十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人 (2)十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人 【分析】此题考查了有理数的正负数概念、运算、比较等知识解决实际问题的能力，关键是能利用正负数的概念，准确列出算式并计算、比较． （1）求出十一黄金周期间每天的游客数量进行比较； （2）每天的游客数量进行求和即可． 【详解】（1）解：（1）（万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， （万人）， 又， 且（万人）， ∴十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人， 答：十一黄金周期间游客人数最多是10月3日，最少的是10月1日；它们相差万人； （2） （万人）， 答：十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数是万人． 【题型四】有理数乘除法计算 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)504 (4) 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （3）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （4）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式4-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)0 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （2）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （3）原式各项利用除法法则计算即可得到结果； （4）原式各项利用除法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型五】倒数的计算 【例5】的倒数是（   ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查倒数的概念，掌握其概念及计算方法是解题的关键．根据倒数的定义“乘积为的两个数互为倒数”，由此即可求解， 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：B． 【变式5-1】如图，是一个“有理数转换器”，当输入的值为8时，则输出的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查有理数的加法，相反数，倒数，绝对值，熟练掌握相关概念和运算法则是解题的关键．根据“有理数转换器”逐步计算即可． 【详解】解：根据题意，， ∴， 取相反数为2，再取倒数为，输出即为， 故答案为：． 【变式5-2】求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2） ， 的倒数为； （3） ， 的倒数为； （4） ， 的倒数为． 【变式5-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【答案】或 【分析】根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求出，，，分两种情况代入原式计算即可． 【详解】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2， ，，， 当时，， 当时，， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值、有理数的加减混合运算，掌握混合运算的顺序，相反数、倒数、绝对值性质的熟练应用是解题关键． 【题型六】有理数乘除法的运算率 【例6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 【变式6-1】计算：． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式6-3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案； （2）现将化为，再根据乘法分配律的运算法则计算，即得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型七】有理数乘除法的应用 【例7】甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙都要给丙24元，每千克苹果（   ）元． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用． 假设每个人的苹果同样多，可得丙少拿的苹果重量，用钱数除以对应的重量即可得每千克苹果的价格． 【详解】解： 丙比平均应得份数少拿的重量为：（千克）， 丙得到的总钱数为：（元）， 每千克苹果的价格为：（元）， 故选：B． 【变式7-1】学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【答案】 1200 1300 【分析】本题考查了最优化问题中的费用问题．尽可能安排三人间，剩余人数再用单人间或双人间补足．通过调整三人间的数量，找到总费用最低的组合即可． 【详解】解：（1）单人间120元/人天；双人间75元/人天；三人间元/人天； ， 则要使每天住宿的费用最少，尽量选择三人间， 女团员18名，， 元， 所有女团员每天住宿的费用最少为1200元； 故答案为：1200； （2）男团员19名，余1人， 方案1：6个三人间，1个单人间，元， 方案2：5个三人间，2个双人间，元， ， 所有男团员每天住宿的费用最少为1300元； 故答案为：1300． 【变式7-2】国庆长假后，某高速公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，约定向东巡视为正，向西巡视为负，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)在出发点的东边，距出发点 (2)升 【分析】本题考查正数和负数的意义及有理数加减混合运算，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示；理解“正”和“负”的相对性并熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）求出这组数据的和，根据结果的正负即可的养护小组最后到达的位置； （2）求出这组数据的绝对值的和，即行驶的总里程，乘以，即可得答案． 【详解】（1）解：， 即最后到达的地方在出发点的东边，距出发点； （2）解：， 升， 即这次养护共耗油升． 【变式7-3】医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 【答案】(1)B地位于A地的正东方向，距离A地千米． (2)11L (3)25千米 【分析】（1）将所有数据相加,根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可解题． （2）将所有数据的绝对值相加得到总路程，用总路程乘以每千米耗油，得到总耗油量，即可解题． （3）根据题意可知救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后，然后依次计算每次向东行驶后离出发地A的距离即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，当天沿一个方向行驶路程为：（千米）， 向东为正方向，早晨从A地出发，晚上到达B地， B地位于A地的正东方向，距离A地千米． （2）解：由题可知，当天总行驶路程为：（千米）， 医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，救护车每千米耗油，油箱容量为， 总油耗为：（）, 救护车当天抢救过程至少还需补充油为：（）． （3）解：由题可知，救护车是依次向东、向西行驶的，且每次向东行驶的距离都比向西行驶的更远，所以救护车离出发地A最远时必定是向东行驶后， 第一次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第二次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第三次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， 第四次向东行驶离出发地A的距离：（千米）， ， 救护车离出发地A最远处为千米． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，以及正负数的意义，绝对值的意义，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【题型八】有理数的幂的概念 【例8】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 【变式8-1】化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 【变式8-2】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法和乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，根据乘法和乘方的意义解答即可． 【详解】解：． 故选D． 【变式8-3】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的定义，根据幂的定义，即可求解． 【详解】解：的底数是，指数是，写成积的形式是 故答案为：，，． 【题型九】科学计数法 【例9】现有一个整数70……，后面的0被墨汁盖住了，已知这个整数用科学记数法表示为的形式，其中，则原数中“0”的个数为（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法．（其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：∵这个整数用科学记数法表示为的形式，其中， ∴ ∴这个数为70000000， 即原数中“0”的个数为7． 故选：D. 【变式9-1】2025年浙江省常住人口约万，若将其用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值等于小数点移动的位数． 【详解】解：万， 故选：B． 【变式9-2】美丽的郭溪是一个充满生机和活力的地域，它古老而又年轻，占地面积约为万平方千米，将3.9万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，根据题意得万，利用科学记数法表示即可得到答案． 【详解】解：万． 故选：A． 【变式9-3】据报道，在中国空间站上一天可以看见16次日出，中国空间站一天飞行的路程大约为万千米．数据万用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键在于用科学记数法表示为，确定、的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，为整数，的值为整数位数少1，据此即可解答． 【详解】万即，用科学记数法表示为， 故选B． 【变式9-4】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 【题型十】近似数 【例10】下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 精确到，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可． 【详解】解：A、，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意； B、，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意； C、，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式10-1】年余姚市生产总值（）高达元，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿，省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 亿 【分析】本题考查了近似数，数的改写，由数的读写和改写方法即可求解，熟练掌握四舍五入，改写的意义是解题的关键． 【详解】解：线上的数改写成用“亿”作单位的数是亿，用“四舍五入”法省略亿位后面的尾数约是亿， 故答案为：，亿． 【变式10-2】 ．（精确到十分位） 【答案】 【分析】本题主要考查“近似数和有效数字”中的“四舍五入法取近似值”；要将精确到十分位，首先明确十分位是小数点后第一位(数字所在的数位)，然后看十分位的下一位，也就是百分位上的数字(数字)，根据四舍五入的规则，当要舍去的数字大于或等于时，需要向前一位进，百分位数字，所以要将十分位上的加变为，最终得到． 【详解】解：，精确到十分位，即保留小数点后面的第一位， 需要看小数点后第二位数字，即百分位上的数字， ∵， ∴把尾数舍去并且在小数点后第一位数字的基础上进“”， 即， ∴． 故答案为：． 【变式10-3】ChatGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具．自2022年11月30日推出到现在，用户量达189068236人，横线上的数读作 ，把它改写成用“亿”作单位并保留一位小数约是 人． 【答案】 一亿八千九百零六万八千二百三十六 1.9亿 【分析】此题考查整数的读法，求近似数，从数的最高位起，按照各个位的数依次读取，改用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉再在数的后面写上“亿”字；保留一位小数，就是把百分位上的数进行四舍五入，据此解答． 【详解】解：189068236读作一亿八千九百零六万八千二百三十六， 它改写成用“亿”作单位并保留一位小数约是亿人， 故答案为：一亿八千九百零六万八千二百三十六，1.9亿 【题型十一】有理数的混合运算 【例11】（24-25七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：甲：，故甲不正确； 乙：，故乙不正确； 丙：，故丙不正确； 丁：，故丁正确； 所以，我认为做对的同学是丁， 故选：D． 【变式11-1】递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，乘法运算律，加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘除，再运算减法，即可作答． （2）根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （3）先把除法化为乘法，再根据乘法运算律进行简便运算，即可作答． （4）先整理原式，然后整理得，再运算括号内，最后运算乘法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式11-2】递等式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)100 (2) (3)24 (4)19 (5)6 (6)120 【分析】本题考查有理数的混合运算和乘法运算律，掌握相关的运算法则和运算律是解题的关键． （1）将64拆成，再分别运用乘法交换律和结合律简便运算即可； （2）除法改成乘法，再按混合运算法则计算即可； （3）按照乘除法混合运算法则按计算顺序计算即可； （4）转化为有公因数19的形式，再运用乘法分配律计算即可； （5）转化为有公因数0.75的形式，再运用乘法分配律计算即可； （6）除法改乘法，再运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式11-3】脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)580； (2)2000； (3)； (4)； (5)57； (6)． 【分析】本题考查有理数四则混合运算，关键是运用运算定律（乘法交换律、结合律、分配律，减法性质等）和运算顺序简算． （1）按有理数的四则混合运算顺序，先除法后加减运算即可求解； （2）用乘法交换律、结合律，拆分后计算； （3）用减法性质，利用加法结合律进行计算； （4）除法转化为乘法，用乘法分配律逆运算计算； （5）用乘法分配律计算； （6）百分数化小数，按有括号的运算顺序，小括号内用乘法交换律计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式11-4】（21-22七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘法，再运算加法，即可作答． （2）先运算乘方，再运算乘除，最后运算加法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型一】不理解新定义运算步骤导致出错 【例1】 规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 【答案】62 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中新定义，正确列出算式是解答的关键．先根据新定义运算法则求得n值，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：62． 【变式1-1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 【答案】(1)； (2)同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方 (3)①；②，结合律在有理数的“*”运算中不适用 【分析】本题考查了含有乘方运算的有理数混合运算，解题关键是掌握含有乘方运算的有理数混合运算． （1）根据新定义计算； （2）根据新定义，从中找出规律，再总结成文字； （3）①根据新定义，化为一般算式计算； ②根据新定义，化为一般算式计算． 【详解】（1）解： ； ； （2）类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，同号得正，异号得负，并把它们的平方相加，特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于这个数的平方， 故答案为：同号得正，异号得负，并把它们的平方相加；这个数的平方； （3）① ； ② ， ， 结合律在有理数的“*”运算中不适用． 【变式1-2】我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据※，可以计算出所求式子的值； （2）根据※，可以计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：由题意可得，※4 ； （2）解：由题意可得，※ ． 【变式1-3】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，掌握除方的运算法则是解题的关键． （1）直接根据除方的运算法则求解即可； （2）根据除方的运算法则和有理数除法运算法则化简相关式子即可； （3）利用（2）所得的运用法则将原式化成含乘方的有理数混合运算求解即可． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：，． （2） ； ． （3） ． 【题型一】裂项相消法 【例1】 若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．先根据相反数的定义结合非负数的性质求出，，再代入后利用裂项相消计算即可求解． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 【变式1-1】已知与互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】根据题意得，得到，转化为，结合，裂项求和计算即可． 本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘法，加减混合运算，熟练掌握运算规律是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数． ∴， ∴， ∴转化为， ∵， ∴ ． 【变式1-2】观察类比： (1)第4个式子为 ； (2)思考并计算： ①； ②． 【答案】(1)． (2)①；②． 【分析】（1）观察所给式子的规律，发现式子左边分母是两个连续自然数的乘积，式子右边是这两个自然数的倒数之差，根据此规律写出第4个式子． （2）①根据前面式子的规律将每一项进行拆分，然后通过相互抵消的方法进行简便计算；②先对式子中的每一项根据规律进行拆分，再通过相互抵消的方法计算． 本题主要考查了找规律以及利用规律进行有理数的简便运算．熟练掌握所给式子的规律，并能根据规律对式子进行拆分和化简计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴第4个式子为． （2）解：① ； ② ． 【题型二】倒序相加法 【例2】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【变式2-1】阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练通过材料进行方法归纳是解题的关键． （1）直接利用材料方法进行计算即可； （2）直接利用材料方法进行计算即可； （3）直接利用材料方法进行计算即可，注意个数为． 【详解】（1）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （2）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故答案为：； （3）解：令，① 又，② ①②，得， 解得：， 故计算结果为． 【变式2-2】阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)500500 (2)15150 【分析】本题考查的是数式的变化规律和有理数的混合运算，从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． （1）根据题意，利用“倒序相加法”，计算即可． （2）计算出和的值；． 【详解】（1）解：（1）设，① 则，② ①②得：， ， ； （2）设，① 则，② ①②得：， ， ． ． 【题型三】错位相减法 【例3】 在求的值时，可设， ，再用可得． 请你利用上述方法计算． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，设，则：，再用，求出，进而求出即可． 【详解】解：设，则：， ∴， ∴， ∴，即：． 【变式3-1】阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值； （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 本题考查了乘方计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即； （2）解：设， 将等式两边同时乘以3得： 将下式减去上式得 即． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的计算（11知识&11题型&1易错&3方法清单） 【清单01】加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 【清单02】加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 【清单03】减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b 【清单04】乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【清单05】乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【清单06】除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【清单07】乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【清单08】混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【清单09】科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 【清单10】近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. 要点：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 【清单11】精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点： （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【题型一】有理数加减法计算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)＋＋＋＋． 【变式1-1】提升计算： (1) (2) (3) 【变式1-2】计算： (1) (2) 【题型二】有理数加法的运算率 【例2】如图是老师写在黑板上的一道例题． 计算： ……步骤① ……步骤② (1)步骤①的运算依据是________，步骤②的运算依据是________；（以上两空均填“加法交换律”或“加法结合律”） (2)请仿照例题的计算方法，将算式“”进行简便计算． 【变式2-1】阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【变式2-2】运用加法运算律计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【题型三】有理数加减法的应用 【例3】（24-25七年级上·浙江台州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，向北或向南行驶了八段行程，傍晚最终到达B地，当天汽车的行驶记录（单位：km）如下（约定向北为正方向）： ，，，，，，，． (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1km平均耗油a升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式3-1】小车司机李师傅某天下午的营运全是在东西走向的常青公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，， (1)李师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？ (2)李师傅这天下午共行车多少千米？ 【变式3-2】文具店、小明家和书店依次坐落在一条东西走向的大街上．已知文具店位于小明家西边100米处，书店位于小明家东边200米处．一天，小明从家里出发先去书店购书，再去文具店选购学习用品，最后回家学习． (1)以小明家为原点，向东为正方向，取适当的长度为单位长度画一条数轴，在数轴上表示文具店和书店的位置，并写出文具店和书店所表示的数． (2)用求绝对值和的方法计算小明这一天所走的路程． 【变式3-3】足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【变式3-4】井冈山是红色革命旅游圣地，据统计2020年9月30日到井冈山旅游的人数为1万人，十一黄金周期间（共6天），井冈山每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 人数变化（万人） (1)请判断十一黄金周期间游客人数最多和最少的各是哪一天？它们相差多少万人？ (2)求十一黄金周期间去井冈山旅游的总人数． 【题型四】有理数乘除法计算 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】倒数的计算 【例5】的倒数是（   ） A． B． C．2023 D． 【变式5-1】如图，是一个“有理数转换器”，当输入的值为8时，则输出的值为 ． 【变式5-2】求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】若，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，求的值 【题型六】有理数乘除法的运算率 【例6】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【变式6-3】用简便方法计算： (1)； (2)． 【题型七】有理数乘除法的应用 【例7】甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙都要给丙24元，每千克苹果（   ）元． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式7-1】学校团委组织37名团员去西柏坡红色教育基地进行为期两天的参观学习，其中女团员18名，男团员19名．在办理入住时，所有女团员办理完成后，再安排男团员办理．房间价目表如下（说明：客房未住满的房间按原价收费）： 房型 单人间 双人间 三人间 房价（元/天） 120 150 200 （1）所有女团员每天住宿的费用最少为 元； （2）所有男团员每天住宿的费用最少为 元． 【变式7-2】国庆长假后，某高速公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护，约定向东巡视为正，向西巡视为负，当天的行驶记录如下（单位：）：． (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，则这次养护共耗油多少升？ 【变式7-3】医院的救护车加满油后沿东西方向抢救病人，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶路程记录如下（单位）：，，，，，，，． (1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？ (2)若救护车每千米耗油0.5升，油箱容量为26升，求救护车当天抢救过程至少还需要补充多少油？ (3)救护过程中，救护车离出发地A最远处有多远？ 【题型八】有理数的幂的概念 【例8】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【变式8-1】化简＝（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 【题型九】科学计数法 【例9】现有一个整数70……，后面的0被墨汁盖住了，已知这个整数用科学记数法表示为的形式，其中，则原数中“0”的个数为（    ） A．4 B．6 C．5 D．7 【变式9-1】2025年浙江省常住人口约万，若将其用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】美丽的郭溪是一个充满生机和活力的地域，它古老而又年轻，占地面积约为万平方千米，将3.9万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】据报道，在中国空间站上一天可以看见16次日出，中国空间站一天飞行的路程大约为万千米．数据万用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式9-4】减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为 ． 【题型十】近似数 【例10】下列各数精确到的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】年余姚市生产总值（）高达元，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数是 亿，省略“亿”后面的尾数约是 ． 【变式10-2】 ．（精确到十分位） 【变式10-3】ChatGPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具．自2022年11月30日推出到现在，用户量达189068236人，横线上的数读作 ，把它改写成用“亿”作单位并保留一位小数约是 人． 【题型十一】有理数的混合运算 【例11】（24-25七年级上·浙江·期中）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是 (　　) 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式11-1】递等式计算（能简便的用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) 【变式11-2】递等式计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式11-3】脱式计算，能简便的用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式11-4】（21-22七年级上·浙江台州·期末）计算： (1)； (2)． 【题型一】不理解新定义运算步骤导致出错 【例1】 规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对 ． 【变式1-1】（21-22七年级上·浙江台州·期末）现定义一种“*”运算，观察下列算式，完成以下探究． ； ； ； ； ； ； ； … (1)计算：_________，_________； (2)类比有理数运算法则，从符号和绝对值两方面，归纳“*”运算的运算法则：两数进行“*”运算时，_________（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行“*”运算，或任何数和0进行“*”运算，等于_________； (3)我们知道加法有交换律和结合律，交换律在有理数的“*”运算中显然适用，那么结合律呢？请你通过以下两个算式进行验证并写出结论（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． ①；②． 【变式1-2】我们规定一种新定义：，其中符号“”是我们规定的一种新定义，如，根据新定义计算： (1)； (2)． 【变式1-3】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果： ；= ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （3）算一算：． 【题型一】裂项相消法 【例1】 若与互为相反数，则的值为 ． 【变式1-1】已知与互为相反数．求的值． 【变式1-2】观察类比： (1)第4个式子为 ； (2)思考并计算： ①； ②． 【题型二】倒序相加法 【例2】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【变式2-1】阅读理解  “数学王子”高斯从小就善于观察和思考，他在读小学时就能在课堂上快速计算出．我们可将高斯的做法归纳如下： 令，① 又，② ①②，得， 解得． 知识应用 (1)填空：计算：________； (2)填空：计算：________； (3)请你使用阅读材料归纳得的方法计算：． 【变式2-2】阅读下面的材料：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设，① 则，② ①②得． 所以，， 所以． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请类比以上做法，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【题型三】错位相减法 【例3】 在求的值时，可设， ，再用可得． 请你利用上述方法计算． 【变式3-1】阅读材料，求值：． 解：设， 将等式两边同时乘以2得： 将下式减去上式得 即 请你仿照此法计算： (1) (2)（其中n为正整数） 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $