专题01 三角形的认识（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 三角形的认识（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的定义和基础认识 1 题型二、三角形内角和相关的求角问题（常考点） 1 题型三、两边之和大于第三边（常考点） 3 题型四、三角形外角相关的求角问题（常考点） 3 题型五、三角形角平分线相关的求角问题（重点） 5 题型六、三角形中线相关的线段计算问题（重点） 7 题型七、中线相关的面积问题、“同底等高”问题及其延伸（难点） 8 题型八、三角形高线的作图问题 8 题型九、三角形“三线”结合的综合性问题（重点） 10 题型十、用方程解决三角形的求角问题（重点） 13 题型十一、折叠问题（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的定义和基础认识 1.（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 2.如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ． 【答案】 4 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE 【分析】根据三角形的定义得出答案即可． 【详解】解：以点为顶点的三角形有4个，它们分别是，，，． 故答案为：4，，，，． 3.（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 【答案】 内角 ，， 6 ，，，，， 【分析】本题主要考查三角形的有关概念，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． （1）根据三角形角的定义结合图形解答即可； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）根据三角形的概念解答即可； 【详解】解：（1）是的内角． 故答案为：内角； （2）图中以线段为边的三角形有，，． 故答案为：，，； （3）图中共有6个三角形，它们分别是，，，，，． 故答案为：6；，，，，，． 题型二、三角形内角和相关的求角问题 4.（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理可得，即可求解，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 故选：． 5.（24-25九年级下·河北邢台·期末）我们学习了物体的受力，当一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平行线的性质求出，根据对顶角相等求出，再根据，即可求出． 【详解】解：如图，交于点， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6.（24-25八年级上·广西桂林·期中）在中，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据三角形内角和等于减去，的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵且，， ∴ ， 故答案为：． 7.（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴∠CDB=∠FDE=180°－∠F－∠FEC=180°－40°－90°=50° ∴， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若交于点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据平行线的性质，求出，三角形的内角和定理得到，即可得证． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴是直角三角形． 9.如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和，平行线性质；根据方位角及平行线性质，可分别求得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 题型三、多条线段能组成多少三角形 10.（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，对各选项逐一验证，判断是否满足条件． 【详解】解：A、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B、，，， 最大边为，另两边之和为， ， ∴ 三线段共线，无法构成三角形； C、，，， 最大边为，另两边之和为， ， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D、，，， 最大边为，另两边之和为， ，且，均成立， 满足三边关系，能组成三角形， 故选：D ． 11.（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据题意先得出在4条线段中取3条共有四种情况，然后结合三角形的三边关系即可作出判断. 【详解】解：以长度分别为3，5，8，11的四条线段，取3条共有以下四种情况： 3，5，8；3，5，11；3，8，11；5，8，11； 其中能够组成三角形的只有5，8，11这一种情况； 所以可以组成三角形的组数是1； 故选：D. 12.（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 13.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 14.（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 【答案】(1) (2)6或8 【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解； （2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c为偶数解答即可． 此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件． 【详解】（1）解：根据三角形三边关系可得； （2）根据三角形三边关系可得， 因为第三边c的长为偶数， 所以c取6或8； 故答案为：6或8； 15.（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的三边长分别为3、5、a，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，根据三角形三边的关系得到，则，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵的三边长分别为3、5、a， ∴，即， ∴， ∴ ． 题型四、三角形外角相关的求角问题 16.（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角和性质，求解出且观察出与和的关系是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同位角相等”，可求解的度数，再由三角形的外角定理，即“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 又因为， 所以， 又因为为的外角， 所以． 故选：D ． 17.（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：C． 18.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，根据三角形的外角和为，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 19.（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， 故答案为：． 20.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点D是的边上的一点，，．试求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.先根据三角形外角的性质得出，再由可知，在中，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵是的外角，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴. 21.（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据三角形的外角性质求出，根据三角形内角和定理求出的度数； （2）根据三角形的外角性质证明即可． 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ； （2）解：猜想， 理由如下：，， ． 题型五、三角形角平分线相关的求角问题 22.（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得，由角平分线定义得，根据直角三角形两锐角互余得 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：D． 23.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理、平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据三角形内角和求出，由角平分线求出，最后由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 24.（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，，，，则 度． 【答案】140 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ，即， 故答案为：140． 25.（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握以上知识是解题． 先根据三角形内角和定理求出，，再由角平分线求出即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 平分， ， ． 故答案为：． 26.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 27.（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考 （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用整体思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解． （1）根据角平分线，利用和的内角和为进行角度转化可得结论； （2）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可； （3）设，，根据角平分线，利用和的内角和，可得出2个关于、、、的等式：，，再进行整体代换即可． 【详解】解：（1）如图， ∵、分别时和的角平分线 ∴，， 在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得： 即：； （2），理由如下： 如图， 设，， ∵是与外角的平分线和的交点 ∴，，， ∴在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得：， 即：； （3），理由如下： 设，， ∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴，，， ∴在中，， 即：， 在中，，即：， 代入上式得：， 即：． 题型六、三角形中线相关的线段计算问题 28.（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 29.（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 30.（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 31.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质得到，再根据三角形周长计算公式推出，据此可得答案． 【详解】解：∵是的边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型七、中线相关的面积问题、“同底等高”问题及其延伸 32.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 33.（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，从而求出的面积，同理可求的面积，的面积，然后相加即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵A、B分别是线段的中点， ∴，， ∴， 同理：， ∴的面积． 故答案为：7． 34.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．根据中线平分三角形面积和两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比进行解答即可． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴，， 则 设，则， ∵， ∴ 解得， 即的面积为， 故答案为： 35.（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积、转化思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由三角形的情况拓展至四边形的情况即可得解； （2）过点作交延长线于，取中点； （3）根据、两条中线，结合阅读材料中的方法，计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，思路从三角形向四边形拓展的过程中体现的是转化思想； 故选：B； （2）解：如图所示： 过点作交延长线于，则，， 即， 取中点，则平分，那么也将四边形的面积平分为面积相等的两部分； （3）解：点是的中点， . 是的中点， . 是的中点， . 题型八、三角形高线的作图问题 36.（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如果三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的一个顶点．那么这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高的定义，熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键； 根据高的概念，知三角形的三条高所在直线的交点在外部的三角形是钝角三角形． 钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部； 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点． 【详解】解：三角形的三条高所在的直线的交点在三角形某一顶点， 那么这个三角形是直角三角形． 故选：B 37.（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 38.（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 39.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 题型九、三角形“三线”结合的综合性问题 40.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题． 先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后由即可计算度数． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 41.（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据得出，由可得出的度数，由平分可得出的度数，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 42.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，比大，平分，于E，于F，则 ． 【答案】80 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义等，先设，则，根据三角形的内角和定理得，进而根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可得，最后再根据可得出的度数． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：80． 43.（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 【答案】． 【分析】本题考查角平分线性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些是解题的关键． 根据角平分线性质得角相等，在中，根据三角形内角和定理得度数，从而得度数，再在中，求得度数． 【详解】解：在中，，， ， 是的平分线， ， 在中，，， ． 故答案为：． 44.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线将与的周长之差转换为和的差即可得出答案； （2）设边上的高为，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：的周长为， 的周长为， ∵是的边上的中线， ∴， ∴ ； （2）设边上的高为， ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 解得． 45.（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 46.（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，； ，，； ，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查了“准互余三角形”定义，三角形内角和定理，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“准互余三角形”即可求解； （）根据“准互余三角形”可得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）根据“准互余三角形”进行求证即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ，，，不符合题意； ，能构成“准互余三角形”； ，能构成“准互余三角形”； 故选：； （2）解：因为为“准互余三角形”，和是“准互余角”，， 所以， 所以， 又因为， 所以； （3）解：因为平分， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以是“准互余三角形”． 题型十、用方程解决三角形的求角问题 47.（21-22八年级上·浙江金华·期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．一个外角等于和它相邻的内角 【答案】C 【分析】依据三角形内角和以及外角的定义逐项判断△ABC的内角中是否存在90°的角即可． 【详解】A项，设∠A度数为x，则根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3可得∠B=2x，∠C=3x，根据三角形内角和为180°，可得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形，A项不符合题意； B项，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C，∴2∠C=180°，即∠C=90°，即△ABC是直角三角形，B项不符合题意； C项，设∠A度数为3x，则根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5可得∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和为180°，可得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则最大的角∠C=5x=75°，即△ABC不是直角三角形，C项符合题意； D项，三角形的一个外角与其相邻的内角相等，又可知这两个角互为邻补角，根据领补角的定义可知这两个角的和为180°，则有此外角与其相邻的内角均为90°，即△ABC是直角三角形，D项不符合题意； 故选：C． 48.（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据列方程求出，，然后根据三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴． ∴为直角三角形． 故选：A． 49.（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求x，y的值． 【答案】的值为70，的值为40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质、二元一次方程组的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质可得，然后利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 联立， 整理得：， 解得， 所以的值为70，的值为40． 题型十一、折叠问题 50.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对折的性质，三角形的外角的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握对折的性质是解题的关键． 先由题意易得，由对折的性质可得，，再由三角形的外角的定义可得，最后由三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，沿所在直线对折得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 51.（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 52.（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 53.（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 【答案】68 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，对顶角，熟练掌握折叠的性质解题的关键．由折叠的性质得，，，根据三角形内角和，，求得，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 根据对顶角相等，， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：68． 54.（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)填空： 度； (2)求的大小． 【答案】(1)90 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，邻补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠可知，又，进而可得出结论； （2）由三角形内角和可得，由折叠可知，，所以，进而可得度数． 【详解】（1）解：由折叠可知 故答案为：90； （2）解：由折叠可知， 在中， 在中，， 55.（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 1.（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知中，，则的长度可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系定理， 根据三角形三边关系定理，第三边必须大于其他两边之差且小于其他两边之和判断即可． 【详解】解：已知中，， 设的长度为， 根据三角形三边关系得：的取值范围为． 故选C． 2.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 3.（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C 4.（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 5.（2025·山西吕梁·三模）如图，从点光源发出平行于主光轴的光线，在凸透镜处折射后经过焦点射出，从点光源发出的光线经过光心后沿原方向射出，两束光线汇聚于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握对顶角相等、三角形外角的性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，最后由三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6.（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角和为360度，结合比例关系，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7.（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故答案为：． 8.（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，的边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，从顶点作的垂线段即为边上的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：边上的高是， 故答案为：． 9.（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形．分层计算即可求解． 【详解】解：单独的小三角形有8个， 两层小三角形有4个， 三层小三角形有2个， 共有个， 故答案为：14． 10.（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的知识，先将两个直角三角形分开求解出的度数，再利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】解：如图： 由题意得：在中，可求得， 在中，可求得， 则在四边形中， ， 所以的度数为． 故答案为． 11.（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 【详解】解： ，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又 ，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 12.（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，点在边上，且平分交于点． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角定理，角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角定理是解题的关键． （1）在中，由三角形内角和定理求解即可； （2）先由外角定理求出，然后由角平分线求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ， ； （2）解：是的外角， ． ， ． 平分， ． 在中，， ． 13.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 14.（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 所以平分． （2）解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以． 15.（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的认识 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形的定义和基础认识 1 题型二、三角形内角和相关的求角问题（常考点） 1 题型三、两边之和大于第三边（常考点） 3 题型四、三角形外角相关的求角问题（常考点） 3 题型五、三角形角平分线相关的求角问题（重点） 5 题型六、三角形中线相关的线段计算问题（重点） 7 题型七、中线相关的面积问题、“同底等高”问题及其延伸（难点） 8 题型八、三角形高线的作图问题 8 题型九、三角形“三线”结合的综合性问题（重点） 10 题型十、用方程解决三角形的求角问题（重点） 13 题型十一、折叠问题（难点） 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形的定义和基础认识 1.（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ． 3.（24-25八年级上·全国·随堂练习）观察下图，回答下列问题： （1）是的 ． （2）图中以线段为边的三角形有 ． （3）图中共有 个三角形，它们分别是 ． 题型二、三角形内角和相关的求角问题 4.（2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 5.（24-25九年级下·河北邢台·期末）我们学习了物体的受力，当一木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若摩擦力与重力方向的夹角，则斜面的坡角的度数是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25八年级上·广西桂林·期中）在中，，则的度数为 ． 7.（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ． 8.（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若交于点，求证：是直角三角形． 9.如图，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向，求的度数． 题型三、多条线段能组成多少三角形 10.（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11.（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 12.（24-25七年级下·陕西西安·期末）有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 13.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知一个三角形的两边长为4和7，则第三边x的取值范围是 ． 14.（24-25八年级上·青海海东·期末）已知三角形的两边，，第三边是． (1)求第三边的取值范围； (2)若第三边的长是偶数，则的值为___________． 15.（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的三边长分别为3、5、a，化简 题型四、三角形外角相关的求角问题 16.（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17.（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18.（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，若，，则的度数是 ． 19.（24-25七年级下·江西南昌·期末）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为 ． 20.（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点D是的边上的一点，，．试求的度数． 21.（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点D在上，点E在上，相交于点O． (1)若，求的度数； (2)试猜想与之间的关系，并证明你的猜想． 题型五、三角形角平分线相关的求角问题 22.（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，，是的角平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23.（24-25七年级下·山西太原·开学考试）如图，在中，，，是的角平分线，点E在上，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 24.（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，，，，则 度． 25.（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，平分，则 ． 26.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． (1)的度数为_______； (2)求的度数． 27.（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考 （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 题型六、三角形中线相关的线段计算问题 28.（24-25七年级下·重庆·期中）在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 29.（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 30.（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ． 31.（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 题型七、中线相关的面积问题、“同底等高”问题及其延伸 32.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 33.（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 34.（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 35.（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期一 过三角形或四边形顶点作一条平分图形的面积的直线今天，我在课堂中学到了三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分．如图1，在中，是边上的中线，则． 我思考如何过四边形一个顶点作一条直线，将四边形分成面积相等的两部分． 我把自己的想法跟老师交流，老师给我的指导是在面积不变的情况下把四边形化成三角形，再利用三角形的中线平分三角形的面积，进一步平分四边形的面积． 如图2，老师在网格中画出四边形，四个顶点都在格点上（网格线的交点），连接，要求过点画一条直线与平行，然后在该直线上找到合适的点，使，再根据三角形的中线平分三角形的面积，就可以画出的中线，将四边形的面积平分为面积相等的两部分． 任务： (1)材料中“将四边形的面积平分为面积相等的两部分转化为画出三角形的中线”体现的数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．方程思想    D．建模思想 (2)根据老师的指导，在图2的网格图中，帮小聪完成作图． (3)如图3，在图1的基础上，点分别是的中点，连接．若，求的面积． 题型八、三角形高线的作图问题 36.（24-25七年级下·上海浦东新·期中）如果三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的一个顶点．那么这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 37.（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 38.（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   39.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 题型九、三角形“三线”结合的综合性问题 40.（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41.（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 42.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，，比大，平分，于E，于F，则 ． 43.（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示） 44.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，是的中线，已知． (1)求与的周长之差； (2)若边上的高为，求边上的高． 45.（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 46.（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，与为“准互余角”． (1)下列各组给出了三角形的三个内角，其中能构成“准互余三角形”的是________（填序号）． ，，； ，，； ，，． (2)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，求的度数． (3)如图，在中，，若平分，试说明是“准互余三角形”． 题型十、用方程解决三角形的求角问题 47.（21-22八年级上·浙江金华·期末）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．∠A+∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．一个外角等于和它相邻的内角 48.（24-25七年级下·上海长宁·期末）在中，，且是的5倍，那么该三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 49.（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求x，y的值． 题型十一、折叠问题 50.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，点，分别是、边上的点，将沿所在直线对折，得到．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 51.（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 52.（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 53.（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则 °． 54.（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)填空： 度； (2)求的大小． 55.（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 1.（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知中，，则的长度可能为（   ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 3.（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 5.（2025·山西吕梁·三模）如图，从点光源发出平行于主光轴的光线，在凸透镜处折射后经过焦点射出，从点光源发出的光线经过光心后沿原方向射出，两束光线汇聚于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知的三个外角度数之比为，那么三个外角中最大角的度数是 ． 7.（24-25七年级下·上海长宁·期末）三角形的三边分别为5，，9，则a的取值范围是 ． 8.（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，的边上的高是 ． 9.（24-25七年级下·北京·开学考试）图中有 个三角形． 10.（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是两个直角三角形，则的度数是 ． 11.（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 12.（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，点在边上，且平分交于点． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 13.（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 14.（24-25七年级下·全国·期中）如图，中，D为边上一点，过点D作，交于点E，F为边上一点，连接并延长，交的延长线于点G，且． (1)试说明平分； (2)若，，求的度数． 15.（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$