专题01 与三角形高线、中线﹑角平分线有关的五种模型（高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01 与三角形高线、中线﹑角平分线有关的五种模型 题型一：利用三角形的中线求面积 题型二：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 题型三：三角形的两条内角平分线形成的夹角 题型四：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 题型五：三角形的两条外角平分线形成的夹角 题型一：利用三角形的中线求面积 1．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 3．如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 4．如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 5．如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 6．如图，已知的面积是，点是的中点，，那么的面积是 7．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 8．如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    题型二：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 9．如图，在中，是高，平分，，则 ．    10．如图，在中，，平分．若，，则 ． 11．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 12．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 题型三：三角形的两条内角平分线形成的夹角 13．如图，中分别平分、，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 15．如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 16．（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 17．如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线．求的度数． 18．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 题型四：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 19．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 20．如图，在中，，和外角的平分线交于，得；和外角的平分线交于，得；……依次类推，则 ． 21．如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 23.综合与实践 【问题重现】 人教版义务教育教科书数学八年级上册第17页第9题原文如下： “如图，．求x的值．” 受这道题启发，某校八年级数学课外实践探究进行了一下探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 （1）如图1，D是的边延长线上一点，．求x的值； 【继续探究】 （2）如图2，E是四边形的边延长线上一点，．求x的值； 【深度探究】 （3）已知：E是四边形的边延长线上一点，与的平分线所在直线相交于点．设．请直接写出之间的数量关系． 24．小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 题型五：三角形的两条外角平分线形成的夹角 25．如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 26．【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与三角形高线、中线﹑角平分线有关的五种模型 题型一：利用三角形的中线求面积 题型二：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 题型三：三角形的两条内角平分线形成的夹角 题型四：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 题型五：三角形的两条外角平分线形成的夹角 题型一：利用三角形的中线求面积 1．如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据三角形中线平分三角形面积，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点，分别为，边上的中点， ∴，， ∵的面积为12， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【详解】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分的面积为（   ）． A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积． 【详解】解： ，为的中点， ， 为的中点， ， 为的中点， ， 故选：C． 4．如图，点D是的边上任意一点，点E、F分别是线段的中点，若的面积为24，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质．根据三角形的中线平分面积进行计算即可．熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵E、F分别是线段、的中点， ∴分别为：的中线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴； 故选：B． 5．如图，的面积为，平分，于，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：． 6．如图，已知的面积是，点是的中点，，那么的面积是 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的面积等知识点，掌握三角形中线将三角形分成面积相等的两等份成为解题的关键． 先说明，再根据和等高可得，然后根据三角形中线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵和等高， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故答案为： 7．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是三角形的中线定义及性质，解题关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形中线的性质推得，再根据高相等的两个三角形面积比等于底边比得到、，最后根据三角形中线性质即可推得两阴影部分的面积和． 【详解】解：是的中线，， ， ， ，， 、是的中线， 、是、的中点， ，， ． 故答案为：． 8．如图，在中，是边的中点，是边的中点，阴影部分的面积为，则的面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积与中线的关系，根据等底同高的两个三角形面积相等，依次计算即可，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴，，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二：三角形同一个角的平分线与高线形成的夹角 9．如图，在中，是高，平分，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形内角和，根据题意和图形，可以求得和的度数，从而可以求得的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵是高， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，平分．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，由角平分线的定义求出的度数，再根据直角三角形的性质求出 的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形内角和等于即可求解． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， ． 12．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义． （1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型三：三角形的两条内角平分线形成的夹角 13．如图，中分别平分、，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【点睛】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理； 根据角平分线的定义得，，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到． 【详解】解：在中，． ． 平分，平分． ，． ． 在中，． 故选：C． 14．如图，在中，与的角平分线交于与的角平分线交于点与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（　　）．（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，根据三角形的角平分线的性质求出与的关系，并能找出与的关系规律成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得到再根据三角形的内角和定理可得：的度数，再根据与的角平分线交于点，可得，进而求出，，以此类推可得到： ，然后整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴ ∴ ∴， 同理：， 依此类推， ． 故选C 15．如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 17．如图，在中，，，是的角平分线，是的角平分线．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质以及角度之间的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据角度之间的和差关系求出以及，由三角形的外角性质即可求出答案． 【详解】解： 是的角平分线      又 ，     在中，，且     则      又 是的角平分线      又 是的外角      答：的度数是 18．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 题型四：三角形的一条内角平分线与一条外角平分线形成的夹角 19．如图，在中，，点在的延长线上，与的平分线交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和，能灵活推导出与的关系是解决此题的关键．先求出，再推出，进而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴， ∵， ， ∴ ， 故答案为： ． 20．如图，在中，，和外角的平分线交于，得；和外角的平分线交于，得；……依次类推，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，找出角度的变化规律是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把代入解答即可． 【详解】解： 平分，平分， ，， ，， ， ， 同理可得， …… ， ， 故答案为：2． 21．如图，在中，平分，平分，平分的外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形的外角性质以及角的和差，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，即可得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ． 故选C． 22．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出． 【详解】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 23.综合与实践 【问题重现】 人教版义务教育教科书数学八年级上册第17页第9题原文如下： “如图，．求x的值．” 受这道题启发，某校八年级数学课外实践探究进行了一下探究，请你和他们一起完成吧． 【问题变式】 （1）如图1，D是的边延长线上一点，．求x的值； 【继续探究】 （2）如图2，E是四边形的边延长线上一点，．求x的值； 【深度探究】 （3）已知：E是四边形的边延长线上一点，与的平分线所在直线相交于点．设．请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，角平分线的定义； （1）根据题意得出，即可得出，根据三角形的外角的性质可得； （2）延长交于点，根据三角形内角和定理得出，同（1）可得； （3）同（2）方法，即可求解，注意分类讨论，射线交于点，射线的反向延长线交于点． 【详解】（1）∵， ∴ ∵D是的边延长线上一点， ∴ ∴，即 ∵ ∴ （2）解：如图，延长交于点， ∵ ∴， ∴， 同（1）可得 （3）当射线交于点，如图所示，延长交于点， 依题意， ∴， ∴， 同（1）可得 当射线的反向延长线交于点，如图所示，延长交于点， ∵ ∴ 同（1）可得 24．小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 题型五：三角形的两条外角平分线形成的夹角 25．如图，中，．若的两个外角平分线，交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和与外角和定理，以及角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和与外角和定理是解题的关键，利用三角形内角和定理可求出，再利用三角形外角和定理求出两个外角和的度数，然后根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴的两个外角和为：， ， 的两个外角的角平分线， ， ， 故选：B． 26．【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和 两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$