第1章 三角形（知识清单）数学浙教版2024八年级上册

第1章 三角形 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 ． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 的和 （2）三角形的一个外角 任意一个与它不相邻的内角 6.三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 7.定义与命题、证明 定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为 ，错误的命题称为 ； 定理：用推理的方法判断为 的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 8.能够 的两个图形称为全等图形，能够 的两个三角形叫做全等三角形 9.全等三角形对应边 、对应角 ；全等三角形的周长 、面积 、对应边上的“三线”也 . 10.全等三角形的判定 （1） 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2） 及其 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3） 及其 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4） 及其中一边的 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 11.作一个角等于已知角： 图1 图2 步骤： ①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. ②作射线O'A'.以点O'为圆心，以OC长为半径作弧l，交O'A'于点C'. ③以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交弧l于点D'. ④过点O'，D' 作射线O' B'. ∴∠A'O'B' 就是所求作的角. 12.线段垂直平分线定义：将一条线段 ，并且 于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线； 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 相等； 13.角平分线上的点到 相等； 一、三角形的角 1.三角形内角和为180° 错误：未考虑到三角形内角和为180°的隐含条件； 注意：三角形内角和为180°是隐含条件，不在题干中提及但可以在已知是三角形时运用。 例1 （2025·湖北·三模）如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.设未知数求解三角形的内角 错误：在只知道一个内角的度数时无法求出三角形的其他两个内角 注意：根据内角之间的已知条件，学会未知数列式解决求内角的问题，如已知一个角和另外两个角的等量关系，或已知三个角间多个等量关系，比如，已知三个角的比例是1:2:3，可以设三个角的度数为α，2α，3α，然后根据内角和为180°，列式α+2α+3α=180，可以求出三个内角的度数。 例2 （24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 例3 （24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，求各内角的度数． 二、三角形的边 1.用三角形的三边关系确认是否构成三角形 错误：判断时没有考虑任意两边之和都要大于第三边的原则，只判断其中两边大于第三边。 注意：要同时满足任意两边之和大于第三边，简便方式是可以只比较小的两条边的和与最大边长的大小。 例4 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．6，4，2 B．6，3，2 C．5，5，2 D．7，3，2 2.忽略验证求得的边长是否满足两边之和大于第三边 错误：在经过计算得出三角形的边长后，没有验证是否符合“任意两边之和大于第三边” 注意：通过计算得出的三角形的边长，一定要验证是否符合“任意两边之和大于第三边”。 例5 （24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 3.用两边之和大于第三边求其中一边的取值范围或求字母参数的取值范围 错误：只考虑所求边小于另两边长度的和 注意：需要同时考虑“任意两边之和大于第三边”，因此第三边不但要小于另外两边之和，还要大于另外两边之差（大边－小边） 例6 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，化简 ． 三、三角形的角平分线 1.混淆角的角平分线和三角形的角平分线 错误：三角形的角平分线是射线，或者画成射线 注意：角的角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，从三角形的其中一个顶点出发作角平分线，交对边于另一个点，这是线段。 例7 下列说法中错误的是（ ） A.三角形的角平分线有三条 B.三角形三条角平分线交于一点 C.三角形的角平分线是射线 D.三角形的角平分线平分一个内角 例8 （24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数． 四、三角形的中线 1.中线的性质 错误：作出中线后忽略端点所在边被分为相等的两部分的事实 注意：中线产生的已知条件中，一条边被分为相等的两段，非常重要，也可以引申出：中线将三角形分为面积相等的两部分。 例9 （24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 例10 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 五、三角形的高线 1.作钝角三角形一边上的高 错误：在作钝角三角形钝角边上的高时，只作垂直，不经过对边顶点。或在判断高线时，忽略经过对边顶点的要求。 注意：应遵循作三角形的高线的原则：作一边的高线，需要从改边对面顶点出发，作边所在直线的垂线，与直线交于垂点。如果是钝角三角形，在作钝角边上的高时，对面顶点作下来的高应该与该边一侧的延长线相交。 例11 （24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 2.三角形三条高线交于一点 错误：认为三条高线交于三角形内部。 注意：三角形三条高线的交点不像三条中线或者三条角平分线的交点在三角形内部，当三角形是直角三角形时，三条高线交于直角顶点；当三角形是钝角三角形时，三条高线交于三角形外。 六、定义、命题与证明 1.对于定义、命题和定理的概念混淆 错误：不理解哪些语句属于定义，对命题和定理的关系分不清楚。 注意：定义是表示某一名称或者术语的意义的句子，属于陈述语句；命题是用于某一件事情的句子，伴随着条件和结论，有真命题和假命题之分；而定理是经过推断证明是真的命题。 例12 （22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 例13 （24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 例14 （24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 例15 （22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，求证：． 七、三角形的外角及其性质 1.通过三角形的外角的性质求解三角形的内角 错误：只能通过外角判断相邻内角的度数，间接求解三角形的其他内角。 注意：可以直接通过三角形的外角的性质，结合其他条件求出不相邻的其他内角。 例16 （23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 例17 （24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 八、全等三角形的性质 1.对应边相等，对应角相等 错误：未确定对应关系就建立等量关系 注意：当两个三角形全等时，首先要确定他们的三边和三角的对应关系，然后对应相等。 例18 （24-25七年级下·全国·假期作业）如图，和是对应角，和是对应角．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例19 （24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是 ． 例20 （24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 九、全等三角形的判定——SSS、SAS 1.证明三角形全等的规范性 错误：在证明两个三角形全等的过程中，没有将需要的条件一一罗列出来，条件有缺漏 注意：证明是非常严谨的过程，在证明三角形全等的过程中，我们需要将证明全等的条件一一罗列出来，因此我们使用大括号将其罗列，这一步至关重要。 例21 （24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点F，C在上，，，，求证：． 2.混淆判定依据 错误：罗列的条件与写出的判定依据不对应，如判定全等的条件是三边，但是判定依据备注的是SAS 注意：应该先根据已知条件确定判定方向和依据，然后再书写判定过程和依据，这样能保证判定条件和依据对应。 例22 （24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 3.尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据 错误：看到与角有关，认为尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据是SAS 注意：尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据都是SSS，之所以与角有关，是因为只有通过SSS判定了两个三角形全等，才能利用全等三角形角的性质确定所作角等于已知角，所作直线构成的同位角相等。 例23 （24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 4.SSA无法判定两个三角形全等 错误：用任意两边对应相等，其中一个角对应相等来判断三角形全等 注意：只有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，这个角必须是夹角。 如图,△ABC与△ABD中,AB＝AB,AC＝AD,∠B＝∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 例24 （23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 十、全等三角形的判定——ASA、AAS 1.在同顶点旋转模型中证明对应角相等 错误：不会利用∠1=∠2、∠3=∠4等相关的等量关系证明△ACE≌△BDE。 注意：可由三角形内角和为180°，列出∠DBE+∠1+∠AED=∠CAE+∠2+∠AED=180°，可证明∠DBE=∠CAE，再结合其他等量关系，可证明△ACE≌△BDE。 例25 （23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 2.选择合理的方式证明两个三角形全等 错误：在证明两个三角形全等时，缺乏必要条件时无法选择合理的方式证明两个三角形全等： ①在已知的条件中无法在SSS、SAS、ASA、AAS中选择合理的依据。 ②已知条件与证明目标三角形全等缺失的条件关系不大，无法证明之。 注意：在证明两三角形全等的复杂问题中，要通过具体问题具体分析，选择正确的依据，梳理思路证明之，具体如下： 条件 思路 依据 证明方式 已知两边对应相等SS 证明第三条边相等S SSS 证明边相等的思路： ①通过计算或等量关系证明边相等 ②通过证明这对边所在的另一组三角形的全等，证明这对边相等 证明角相等的思路： ①通过计算或等量关系证明角相等 ②通过证明这对角所在的另一组三角形的全等，证明这对角相等 证明这两边的夹角相等A SAS 已知一边和一边端点处的角对应相等SA 证明组成这个角的另一边相等S SAS 证明另一个角相等A ASA/AAS 已知一边和它的对角对应相等AS 证明另一个角相等A AAS 已知两个角对应相等AA 证明其中一条边相等S ASA/AAS 例26 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在直线上，点在的两侧，，． (1)说明：； (2)若，求的长． 例27 （24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 十一、垂直平分线及其性质 1.垂直平分线的性质 错误：无法通过垂直平分线上的点的性质获得边长的等量关系。 注意：已知点在一条线段的垂直平分线上，只要将该点与线段两端连结，就能得到两条线段相等，运用了垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质。 例28 （24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2.补全垂直平分线的作图 错误：已知点在线段的垂直平分线上，但没有将点与线段的两个端点连结，则无法得到距离相等的等量关系 注意：已知点在线段的垂直平分线上，一定要将作图补全，即将该点与线段两端连结，则可运用性质得到两条连结线段相等的等量关系，方便计算与证明。 例29 （24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 3.折叠问题隐含的垂直平分线的模型 错误：折叠问题相关的计算与证明题，忽略隐含的垂直平分线的模型 注意：折叠问题，折叠前后的图形是全等图形，全等图形的对应点连结时，折痕即为连结线段的垂直平分线，因此：折痕所在的直线上的点到折叠前后任意对应点的距离相等。如下图所示，△ABC沿着折痕MN折叠，使得点B与点A重合，此时MN即为线段AB的垂直平分线。 十二、角平分线及其性质 1.角平分线的性质 错误：无法通过角平分线上的点的性质获得距离相等的等量关系。 注意：已知点在一个角的角平分线上，只要过这点分别作角两边的垂线，就能得到两条垂线相等，运用了角平分线上的点到角两边的距离相等。 例30 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 2.补全角平分线的作图 错误：常见的角平分线上的点到角其中一边作垂直，另一边未作垂直的，没联系到作图补全角平分线模型。 注意：作该点到另一边的垂线，得到该点到两边的距离相等的等量关系，方便计算或证明。 例31 （24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 例32 （24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 3.三角形角平分线、外角平分线的交点问题 错误：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，没有多作相关角的两边的垂线。 注意：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，要多作相关角的两边的垂线，如下多种情况： 类别 示图 已知条件 结论 类型一 ☆点D是△ABC中内角平分线AD与BD的交点。 ○分别作DE、DF、DG垂直AB、AC与BC。 DE=DF=DG 类型二 E F ☆点P是△ABC中内角平分线BP与外角平分线AP的交点。 ○分别作PE、PQ、PF垂直BE、AC与BC。 （1）PE=PQ=PF （2）点P在外角平分线PC上。 类型三 ☆点E是△ABC中外角平分线EC与EB的交点。 ○分别作EQ、ED、EP垂直AQ、BC与AP。 （1）EQ=ED=EP （2）点E在内角平分线AE上。 例33 （24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 1.（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 2.（24-25七年级下·江苏盐城·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．如果，那么， C．如果，那么 D．对顶角相等 3.（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 4.（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 6.（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为18，则的长为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 7.（2025·河北唐山·三模）将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8.（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，，若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 12.（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 13.（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 14.（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ． 15.（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 16.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为 ． 17.（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 18.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 19.（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 20.（22-23八年级上·全国·课后作业）命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明． 21.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 22.（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 23.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M． (1)当时． ①求的度数； ②若于N，求图中的值； (2)若，，求（用含x，y的代数式表示）． 24.（24-25七年级下·广东清远·期末）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形 1.由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形 . 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“ △ABC ”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 4.三角形内角和定理：三角形的内角和为 180°． 5.三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图， ∠ACD 是△ABC的一个外角. （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角 的和 （2）三角形的一个外角 大于 任意一个与它不相邻的内角 6.三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的角平分线 三角形的中线 三角形的高 文字语言 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 图形语言 作图语言 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 过点A作AD⊥BC于点D． 标示图形 符号语言 1.AD是△ABC的角平分线． 2.AD平分∠BAC，交BC于点D． 3.∠1＝∠2＝∠BAC． 1.AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3.BD＝DC＝BC 4.点D是BC边的中点． 1.AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3.AD⊥BC于点D． 4.∠ADC＝90°，∠ADB＝90° (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 推理语言 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 用途举例 角度相等． 1.线段相等． 2.面积相等． 1.线段垂直． 2.角度相等． 注意事项 与角的平分线不同． — 1.与边的垂线不同． 2.不一定在三角形内． 重要特征 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 7.定义与命题、证明 定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 命题：判断某一件事情的句子叫做命题，正确的命题称你为 真命题 ，错误的命题称为 假命题 ； 定理：用推理的方法判断为 正确 的命题叫做定理；定理可以作为判断其他命题真假的依据； 证明：要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明； 8.能够 重合 的两个图形称为全等图形，能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形 9.全等三角形对应边 相等 、对应角 相等 ；全等三角形的周长 相等 、面积 相等 、对应边上的“三线”也 相等 . 10.全等三角形的判定 （1） 三边 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； （2） 两边 及其 夹角 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）； （3） 两角 及其 夹边 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）； （4） 两边 及其中一边的 对角 分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）； 11.作一个角等于已知角： 图1 图2 步骤： ①以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. ②作射线O'A'.以点O'为圆心，以OC长为半径作弧l，交O'A'于点C'. ③以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交弧l于点D'. ④过点O'，D' 作射线O' B'. ∴∠A'O'B' 就是所求作的角. 12.线段垂直平分线定义：将一条线段 平分 ，并且 垂直 于该线段的一条直线叫做这条线段的垂直平分线； 线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到 线段两端的距离 相等； 13.角平分线上的点到 角两边的距离 相等； 一、三角形的角 1.三角形内角和为180° 错误：未考虑到三角形内角和为180°的隐含条件； 注意：三角形内角和为180°是隐含条件，不在题干中提及但可以在已知是三角形时运用。 例1 （2025·湖北·三模）如图，已知直线，三角板的直角顶点放在直线上，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质．由对顶角相等可得，再根据三角形内角和为180度求出，再根据两直线平行、同位角相等，可得，结合即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选C． 2.设未知数求解三角形的内角 错误：在只知道一个内角的度数时无法求出三角形的其他两个内角 注意：根据内角之间的已知条件，学会未知数列式解决求内角的问题，如已知一个角和另外两个角的等量关系，或已知三个角间多个等量关系，比如，已知三个角的比例是1:2:3，可以设三个角的度数为α，2α，3α，然后根据内角和为180°，列式α+2α+3α=180，可以求出三个内角的度数。 例2 （24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，由三角形外角的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 例3 （24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和为即可求解． 【详解】解：，，， ， 解得：， ，． 二、三角形的边 1.用三角形的三边关系确认是否构成三角形 错误：判断时没有考虑任意两边之和都要大于第三边的原则，只判断其中两边大于第三边。 注意：要同时满足任意两边之和大于第三边，简便方式是可以只比较小的两条边的和与最大边长的大小。 例4 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把一根长12的铁丝按下面的长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（   ） A．6，4，2 B．6，3，2 C．5，5，2 D．7，3，2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边．首先排除三段之和不为12的选项，再逐一验证剩余选项是否满足三边关系． 【详解】解：验证各选项总和是否为12： A：，符合； B：，排除； C：，符合； D：，符合． 检查三边关系： 选项A：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 选项B：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 选项C：，均满足条件，可构成三角形． 选项D：，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形． 故选：C 2.忽略验证求得的边长是否满足两边之和大于第三边 错误：在经过计算得出三角形的边长后，没有验证是否符合“任意两边之和大于第三边” 注意：通过计算得出的三角形的边长，一定要验证是否符合“任意两边之和大于第三边”。 例5 （24-25七年级下·北京海淀·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ． 【答案】3或8 【分析】本题考查三角形三边关系． 分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案． 【详解】解：设三角形第三边的长是x， 由三角形三边关系定理得到， ∴， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； ∵， ∴三角形第三边的长是3或8． 故答案为：3或8． 3.用两边之和大于第三边求其中一边的取值范围或求字母参数的取值范围 错误：只考虑所求边小于另两边长度的和 注意：需要同时考虑“任意两边之和大于第三边”，因此第三边不但要小于另外两边之和，还要大于另外两边之差（大边－小边） 例6 （24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，化简 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 三、三角形的角平分线 1.混淆角的角平分线和三角形的角平分线 错误：三角形的角平分线是射线，或者画成射线 注意：角的角平分线是射线，三角形的角平分线是线段，从三角形的其中一个顶点出发作角平分线，交对边于另一个点，这是线段。 例7 下列说法中错误的是（ ） A.三角形的角平分线有三条 B.三角形三条角平分线交于一点 C.三角形的角平分线是射线 D.三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】要区分三角形的角平分线并非角的平分线，三角形的角平分线是线段，它被规定了两个端点。 【详解】A选项，三角形每个内角都可作一条角平分线，所以正确； B选线，三角形的角平分线交于三角形内的一点，所以正确； C选项，三角形的角平分线是线段，不是射线，所以C错误； D选项，角平分线将一端点为顶点的角平分，所以正确。 故选:C 例8 （24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，三角形外角性质，据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，然后利用互余得到的度数，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：，， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ． 四、三角形的中线 1.中线的性质 错误：作出中线后忽略端点所在边被分为相等的两部分的事实 注意：中线产生的已知条件中，一条边被分为相等的两段，非常重要，也可以引申出：中线将三角形分为面积相等的两部分。 例9 （24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设，， 是中线， ， 中线将这个三角形的周长分为15和21两部分， 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 综上可知，的长为16或8， 故选：C． 例10 （24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：，且点是的中点， ． 点是的中点， ． 点为的中点， ． 故选：B． 五、三角形的高线 1.作钝角三角形一边上的高 错误：在作钝角三角形钝角边上的高时，只作垂直，不经过对边顶点。或在判断高线时，忽略经过对边顶点的要求。 注意：应遵循作三角形的高线的原则：作一边的高线，需要从改边对面顶点出发，作边所在直线的垂线，与直线交于垂点。如果是钝角三角形，在作钝角边上的高时，对面顶点作下来的高应该与该边一侧的延长线相交。 例11 （24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是A选项 故选：A． 2.三角形三条高线交于一点 错误：认为三条高线交于三角形内部。 注意：三角形三条高线的交点不像三条中线或者三条角平分线的交点在三角形内部，当三角形是直角三角形时，三条高线交于直角顶点；当三角形是钝角三角形时，三条高线交于三角形外。 六、定义、命题与证明 1.对于定义、命题和定理的概念混淆 错误：不理解哪些语句属于定义，对命题和定理的关系分不清楚。 注意：定义是表示某一名称或者术语的意义的句子，属于陈述语句；命题是用于某一件事情的句子，伴随着条件和结论，有真命题和假命题之分；而定理是经过推断证明是真的命题。 例12 （22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 【答案】D 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断． 【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意； B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意； D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意； 故选：D． 例13 （24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列命题为真命题的有（　　） ①1的平方根是1；②无理数都是无限小数；③同角的余角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了命题真假的判断，平方根的概念，无理数的定义，余角的性质，平行与垂直公理等知识；逐一判断各命题的真假：①平方根概念错误；②无理数定义正确；③余角性质正确；④平行线条件缺失；⑤垂线条件缺失． 【详解】解：1. 命题①：1的平方根是1； 平方根的定义是若一个数的平方等于a，则这个数是a的平方根。1的平方根应为±1，故①为假命题； 2. 命题②：无理数都是无限小数； 无理数的定义为无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，②为真命题； 3. 命题③：同角的余角相等； 同角的余角指与同一个角相加为90°的两个角，它们的度数必然相等，③为真命题； 4. 命题④：过一点有且只有一条直线与已知直线平行； 平行公理要求“在同一平面内且点在直线外”，题目未明确条件，故④为假命题； 5. 命题⑤：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 垂直的性质需明确“在同一平面内”，否则在三维空间中不成立，题目未限定平面，故⑤为假命题； 综上，真命题为②、③，共2个； 故选C． 例14 （24-25八年级下·全国·假期作业）把下列命题改写成 “如果……，那么……” 的形式： (1)全等三角形的对应角相等； (2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形． 【答案】(1)如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； (2)如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了改写命题.将命题改写成 “如果……，那么……” 形式，关键是准确区分命题的条件和结论，使改写后的语句逻辑清晰、表意明确． “如果” 后面接的是命题的条件，“那么” 后面接的是命题的结论．对于 (1)，条件是两个三角形全等，结论是对应角相等；对于 (2)，条件是等腰三角形有一个角为，结论是该三角形是等边三角形． 【详解】（1）将全等三角形的对应角相等改写成“如果……，那么……” 的形式：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等； （2）将有一个角等于的等腰三角形是等边三角形改写成“如果……，那么……” 的形式：如果一个等腰三角形有一个角等于，那么这个等腰三角形是等边三角形． 例15 （22-23八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出． 【详解】证明：过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 七、三角形的外角及其性质 1.通过三角形的外角的性质求解三角形的内角 错误：只能通过外角判断相邻内角的度数，间接求解三角形的其他内角。 注意：可以直接通过三角形的外角的性质，结合其他条件求出不相邻的其他内角。 例16 （23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：，点B、C在的两边上，点P为平面内一点，且，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的内角和与三角形的外角性质，全面分类、熟练掌握三角形的内角和与三角形的外角性质是解题的关键； 分三种情况：当点P在的内部时，当点P在的外部时，若点P在上方，当点P在的外部时，若点P在下方，分别画出图形，利用三角形的内角和与三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：当点P在的内部时，如图，延长交于点D， 则， ∴； 当点P在的外部时，若点P在上方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 当点P在的外部时，若点P在下方，如图，设交于点E， ∵， ∴， ∴； 综上： 或或； 故答案为：或或． 例17 （24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 八、全等三角形的性质 1.对应边相等，对应角相等 错误：未确定对应关系就建立等量关系 注意：当两个三角形全等时，首先要确定他们的三边和三角的对应关系，然后对应相等。 例18 （24-25七年级下·全国·假期作业）如图，和是对应角，和是对应角．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再利用内角和定理求解，再进一步可得答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 例19 （24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线运动．若经过秒后同时停止，当与全等时，则点的运动速度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论． 设点的运动速度为，分两种情况：①当时，则，即；②当时，则，，即，，求解即可． 【详解】解：设点的运动速度为，则，，， ， 分两种情况：①当时， ∴， ∴，； 解得：，； ②当时，则， ∴，， 解得：，． 综上，点的运动速度是或． 故答案为：或． 例20 （24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 九、全等三角形的判定——SSS、SAS 1.证明三角形全等的规范性 错误：在证明两个三角形全等的过程中，没有将需要的条件一一罗列出来，条件有缺漏 注意：证明是非常严谨的过程，在证明三角形全等的过程中，我们需要将证明全等的条件一一罗列出来，因此我们使用大括号将其罗列，这一步至关重要。 例21 （24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点F，C在上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先证明，进而证明，即可推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2.混淆判定依据 错误：罗列的条件与写出的判定依据不对应，如判定全等的条件是三边，但是判定依据备注的是SAS 注意：应该先根据已知条件确定判定方向和依据，然后再书写判定过程和依据，这样能保证判定条件和依据对应。 例22 （24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 3.尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据 错误：看到与角有关，认为尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据是SAS 注意：尺规作图作一个角等于已知角、过一点作已知直线的平行线的依据的依据都是SSS，之所以与角有关，是因为只有通过SSS判定了两个三角形全等，才能利用全等三角形角的性质确定所作角等于已知角，所作直线构成的同位角相等。 例23 （24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P．试证明仪器画出的是的平分线． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，的面积是18，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，即可得证； （2）过点P作于点G，根据角平分线的性质得出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）证明：在和中，， ． ， 即， 平分． （2）解：如图，过点P作于点G． 平分，， ． 且， ，， ， ． 4.SSA无法判定两个三角形全等 错误：用任意两边对应相等，其中一个角对应相等来判断三角形全等 注意：只有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，这个角必须是夹角。 如图,△ABC与△ABD中,AB＝AB,AC＝AD,∠B＝∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等. 例24 （23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，添加条件 ，可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键，根据两直线平行内错角相等推出，结合已知条件，若根据“”得到，则应添加的条件为． 【详解】解：∵， ∴， 若，则 在和中 ∴， 故答案为：． 十、全等三角形的判定——ASA、AAS 1.在同顶点旋转模型中证明对应角相等 错误：不会利用∠1=∠2、∠3=∠4等相关的等量关系证明△ACE≌△BDE。 注意：可由三角形内角和为180°，列出∠DBE+∠1+∠AED=∠CAE+∠2+∠AED=180°，可证明∠DBE=∠CAE，再结合其他等量关系，可证明△ACE≌△BDE。 例25 （23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在和中，，连接，交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定. 由证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，故①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，故②正确； 作于，于，如图所示， 则， ， ， 平分，故④正确； 假设平分，则， 在与中， ， ， ， ， ， 而，故③错误； 所以其中正确的结论是①②④． 故选：D． 2.选择合理的方式证明两个三角形全等 错误：在证明两个三角形全等时，缺乏必要条件时无法选择合理的方式证明两个三角形全等： ①在已知的条件中无法在SSS、SAS、ASA、AAS中选择合理的依据。 ②已知条件与证明目标三角形全等缺失的条件关系不大，无法证明之。 注意：在证明两三角形全等的复杂问题中，要通过具体问题具体分析，选择正确的依据，梳理思路证明之，具体如下： 条件 思路 依据 证明方式 已知两边对应相等SS 证明第三条边相等S SSS 证明边相等的思路： ①通过计算或等量关系证明边相等 ②通过证明这对边所在的另一组三角形的全等，证明这对边相等 证明角相等的思路： ①通过计算或等量关系证明角相等 ②通过证明这对角所在的另一组三角形的全等，证明这对角相等 证明这两边的夹角相等A SAS 已知一边和一边端点处的角对应相等SA 证明组成这个角的另一边相等S SAS 证明另一个角相等A ASA/AAS 已知一边和它的对角对应相等AS 证明另一个角相等A AAS 已知两个角对应相等AA 证明其中一条边相等S ASA/AAS 例26 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在直线上，点在的两侧，，． (1)说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）平行线的性质得到，利用即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴． 例27 （24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 十一、垂直平分线及其性质 1.垂直平分线的性质 错误：无法通过垂直平分线上的点的性质获得边长的等量关系。 注意：已知点在一条线段的垂直平分线上，只要将该点与线段两端连结，就能得到两条线段相等，运用了垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质。 例28 （24-25七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．若的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，根据的周长，即可求解． 【详解】解： 边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点， ，， 的周长为12cm， ， ， 故选：B． 2.补全垂直平分线的作图 错误：已知点在线段的垂直平分线上，但没有将点与线段的两个端点连结，则无法得到距离相等的等量关系 注意：已知点在线段的垂直平分线上，一定要将作图补全，即将该点与线段两端连结，则可运用性质得到两条连结线段相等的等量关系，方便计算与证明。 例29 （24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 3.折叠问题隐含的垂直平分线的模型 错误：折叠问题相关的计算与证明题，忽略隐含的垂直平分线的模型 注意：折叠问题，折叠前后的图形是全等图形，全等图形的对应点连结时，折痕即为连结线段的垂直平分线，因此：折痕所在的直线上的点到折叠前后任意对应点的距离相等。如下图所示，△ABC沿着折痕MN折叠，使得点B与点A重合，此时MN即为线段AB的垂直平分线。 十二、角平分线及其性质 1.角平分线的性质 错误：无法通过角平分线上的点的性质获得距离相等的等量关系。 注意：已知点在一个角的角平分线上，只要过这点分别作角两边的垂线，就能得到两条垂线相等，运用了角平分线上的点到角两边的距离相等。 例30 （24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 2.补全角平分线的作图 错误：常见的角平分线上的点到角其中一边作垂直，另一边未作垂直的，没联系到作图补全角平分线模型。 注意：作该点到另一边的垂线，得到该点到两边的距离相等的等量关系，方便计算或证明。 例31 （24-25八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为（    ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点E作与点F，由角平分线的性质定理可知，再根据三角形的面积求解即可． 【详解】解：过点E作与点F， ∵平分， ∴． ∴面积＝， 故选：D 例32 （24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，，点P为中点，平分．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键． 过点P作于E，由角平分线性质得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：过点P作于E， ，， ，即， 平分，，， ， ∵点P是的中点， ， ， 又，， 平分． 3.三角形角平分线、外角平分线的交点问题 错误：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，没有多作相关角的两边的垂线。 注意：三角形多条角平分线或外角平分线的交点，要多作相关角的两边的垂线，如下多种情况： 类别 示图 已知条件 结论 类型一 ☆点D是△ABC中内角平分线AD与BD的交点。 ○分别作DE、DF、DG垂直AB、AC与BC。 DE=DF=DG 类型二 E F ☆点P是△ABC中内角平分线BP与外角平分线AP的交点。 ○分别作PE、PQ、PF垂直BE、AC与BC。 （1）PE=PQ=PF （2）点P在外角平分线PC上。 类型三 ☆点E是△ABC中外角平分线EC与EB的交点。 ○分别作EQ、ED、EP垂直AQ、BC与AP。 （1）EQ=ED=EP （2）点E在内角平分线AE上。 例33 （24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 1.（24-25七年级下·福建福州·期末）若三角形的两条边长分别为4和9，则第三边的边长可以是（    ） A．4 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三边关系，根据三角形三边关系定理，第三边应大于两边之差且小于两边之和，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：设第三边长为， ∵三角形的两边长分别为4和9， ∴，即 观察四个选项，唯有C选项的8满足； 故选：C 2.（24-25七年级下·江苏盐城·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．如果，那么， C．如果，那么 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握平行线性质、有理数乘法法则、零乘积法则及对顶角定理是解题的关键． 逐一分析各选项是否符合数学定义或定理． 【详解】A． 只有当两直线平行时，同旁内角才互补．若两直线不平行，则其同旁内角不互补，故该选项是假命题，不符合题意； B． 时，和同号，可能均为正或均为负．例如，时，但均小于0，故该选项是假命题，不符合题意； C． 根据零乘积法则，时或．例如且时，但成立；若且，则不成立，故该选项是假命题，不符合题意； D． 根据对顶角定理，对顶角一定相等，故该选项是真命题，符合题意； 故选：D． 3.（2025·河北沧州·模拟预测）下图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确的是（   ） A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以 C．作出三角形Ⅱ的依据是 D．作出三角形Ⅲ的依据是 【答案】B 【分析】本题为关于全等三角形判定定理，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，是否满足三角形的判定定理是解答本题的关键．根据“”可判断Ⅰ，根据“” 可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅰ可以根据“”来作出完全相同的三角形，Ⅱ可以根据“”来作出完全相同的三角形． 故选：B． 4.（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为的中，是边上的中线，已知，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的周长公式和三角形中线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形中线的定义．利用三角形中线定义和周长公式即可求出答案． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ∵周长为， ∴， ∴， 故选：B． 5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 6.（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长为18，则的长为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．由垂直平分线可得，又由的周长等于18，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵的周长等于18， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7.（2025·河北唐山·三模）将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质，三角形外角的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， 故选：A． 8.（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，点B，C，D在同一直线上，，若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在中，是边上的中线，若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，利用证明，得，再利用三角形三边关系可得答案． 【详解】解：延长至点，使，则，   为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴，即， ∴． 故选：B． 10.（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 11.（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，． （1）在中，边上的高是 ； （2）在中，边上的高是 ； （3）在中，边上的高是 ； （4）若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的高线定义，求三角形的面积， 根据三角形高线的定义解答（1）（2）（3）；利用三角形面积公式直接求（4）面积即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴边上的高是， 故答案为：； （2）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （3）∵，即， ∴在中，边上的高是， 故答案为； （4）∵， ∴的面积为， 故答案为． 12.（2025·重庆渝中·二模）如图，中，为边上一点，，，，连接．若，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；根据已知可得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 13.（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 14.（24-25九年级下·吉林·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧，交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接，交于点E．若的周长为21，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可 【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段 ∵的周长为21， 故答案为：12． 15.（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 16.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：7 17.（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【详解】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 18.（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，……，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， …… ∴， ∴， 故答案为：； 19.（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 20.（22-23八年级上·全国·课后作业）命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明． 【答案】真命题，证明见解析 【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3的整式． 【详解】命题是真命题，理由如下： ， 由n是自然数可知，是自然数， 则是3的倍数， 即代数式的值是3的倍数， 命题是真命题． 21.（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，已知，点在边上，与交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)22 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角、对应边相等，是解题的关键． （1）由全等三角形的对应边相等得出，结合即可求解； （2）由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22.（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接． (1)若的长为6，的周长为7，求的周长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解； （2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，， 的周长为7， ， 的周长 ； （2）解：，， ， ∵在和中， ， ， ， ． 23.（24-25七年级下·四川成都·期中）已知，如图1，中，平分，平分，与交于点M． (1)当时． ①求的度数； ②若于N，求图中的值； (2)若，，求（用含x，y的代数式表示）． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，列代数式，关键是由角平分线定义、三角形内角和定理推出，由三角形的外角性质推出， （1）由角平分线定义得到，由三角形内角和定理推出，即可求出，②由三角形内角和定理求出，得到，得到； （2）由三角形的外角性质推出，而ニ，即可得到． 【详解】（1）解： 平分平分， ， ， ， ， ， ， 于， ， ，由知， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 24.（24-25七年级下·广东清远·期末）（1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 50 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$