精品解析：内蒙古牙克石林业第一中学2024-2025学年高一下学期第三次模拟（期末）考试数学试题

牙林一中2024-2025年度高一年级下学期 第三次模拟考试数学试题 命题人：命题组 答题时间：120分钟 试卷分值：150分 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号等填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，不可超框，不可涂太轻.如需改动，用橡皮擦干净. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由复数，则. 故选：A. 2. 已知向量，的夹角为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先计算得到，然后计算即可. 【详解】由题可知：， . 故选：B 3. 若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用百分位数的求法，对分类讨论，即可求解. 【详解】因为， 若，则，解得，若，则上四分位数为，不合题意， 若，则上四分位数为不合题意， 故选：A. 4. 青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，圆柱的底面半径和高均为米，利用柱体和球体的体积公式计算即可得解. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为米，且半球的半径为米， 因此，此鼎的容积为立方米. 故选：B. 5. 已知事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 6. 有4万个不小于70两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ） A. 91.16 B. 85.23 C. 84.73 D. 79.97 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算平均数即可. 【详解】由题可知：样本平均数为， 所以估计这4万个数据的平均数约为. 故选：B 7. 已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. -2 【答案】B 【解析】 分析】由已知条件结合三角形面积公式可得，再将所求式子利用余弦定理化简可得解. 【详解】，又，可得， 又， . 故选：B. 8. 已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，找到线面角，然后根据台体体积公式计算高度，最后求出即可. 【详解】如图：分别为下、上底面的中心，连接，作交于点M， 由题可知：， ，则， 又与平面所成角为，所以. 故选：D 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A和B互斥 B. 事件A和B互相对立 C. 事件A和B相互独立 D. 事件A和B的概率相等 【答案】AB 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件和相等事件的定义可解. 【详解】根据题意，事件能同时发生，所以事件A和B不互斥，故A，B错误； 事件是否发生相互不影响，所以事件A和B相互独立，故C正确， 又，故D正确； 故选：AB. 10. 已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ，，， D. ，，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直，面面垂直的判定与性质逐项推导判断即可. 【详解】对于A，两条直线平行，其中一条直线垂直于一个平面，则另一个直线也垂直于该平面， 即，，故A正确； 对于B，面面垂直的判定，一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直， 即，，故B正确； 对于C，根据线面垂直判定，直线与平面内的相交直线都垂直，则直线与平面垂直。 而C项中的直线并不一定相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质，如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面， 即，，，，故D正确； 故选：ABD. 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦定理可以判断AC；对B可知或，判断即可；对D，通过比较可知，判断即可. 【详解】对A，若，则，为锐角三角形，不能明确边长之间关系，错误； 对B，，则或，又，可知，所以为等腰三角形或者直角三角形，错误； 对C，在中，若，则，所以，正确； 对D，由，则，，所以有两个，正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，建立方程，再解方程即可. 【详解】因为复数在复平面中对应的点为， 又点在点在直线上， 所以，解得. 故答案为：5. 13. 已知，且，则_________，向量在向量方向上的投影向量坐标为_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件，利用垂直的坐标表示，可得，即可求得，从而有，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，且，所以，解得， 所以，则，又，， 所以向量在向量方向上的投影向量坐标为， 故答案为：；. 14. 已知为所在平面外一点，，当三棱锥的体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得当三棱锥的体积最大时，平面.将三棱锥补成三棱柱，设底面外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，从而可得，根据正弦定理可得，再结合勾股定理可得，再根据球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意得为锐角，，所以只有一解，即的面积为定值. 所以当三棱锥的体积最大时，平面. 如图，将三棱锥补成三棱柱，设底面外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，则为底面外接圆的半径，为三棱锥外接球的半径. 由，得，由，得. 因为平面，则，所以.故该三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]分成5组，制成频率分布直方图如图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求的值并估计当天游客满意度分值的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）求样本数据的第85百分位数. 【答案】（1）中老年、中青年、少年的人数分别为30人、50人、20人. （2），平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的基本量的计算公式计算； （2）根据频率和1求得，然后根据平均数公式计算即可； （3）找到第85百分位数所区间然后按照公式计算即可. 【小问1详解】 由题可知：老年抽取：人，中青年抽取：人，少年抽取人. 【小问2详解】 由图可知：， 平均数为： 【小问3详解】 的频率为：；的频率为；的频率为；的频率为；所以可知第85百分位数落在， 所以第85百分位数为 16. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）两式子平方相加即可； （2）利用二倍角得正弦、余弦公式化简，然后进行齐次化即可. 【详解】（1）由题可知：①， ②， 则①+②得：，所以. （2），又，所以. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得结果； （2）利用面积公式可得，然后使用余弦定理可知，最后使用面积公式可求边上的高. 【小问1详解】 由题可知：，则， 且， 又，所以. 【小问2详解】 作边上的高，如图： ，由（1）可知，所以， 则， 18. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. （1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【答案】（1）样本空间见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. （3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 【小问3详解】 由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种， 记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导， 则事件包含：，共种， 所以. 19. 在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，得，再结合条件，利用线垂直的判定定理，即可求解； （2）设，连接，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件可得，，从而有为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 因为平面，面，则， 又，，则， 又，面， 所以平面. 【小问2详解】 设，连接， 因为，，，是的中点， 所以，且，， 则为正方形，所以为中点， 又是的中点，所以， 又面，面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，又是中点，则， 又，所以，则， 又面，面，则， 又，面， 所以面，又面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，，， 所以，故二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牙林一中2024-2025年度高一年级下学期 第三次模拟考试数学试题 命题人：命题组 答题时间：120分钟 试卷分值：150分 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号等填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，不可超框，不可涂太轻.如需改动，用橡皮擦干净. 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，的夹角为，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 3. 若数据3，5，6，8，9，，18，21的上四分位数为15，则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 21 D. 22 4. 青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为米，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 5 已知事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下： 数据 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数约为（ ） A. 91.16 B. 85.23 C. 84.73 D. 79.97 7. 已知中，角所对的边分别为.设的面积为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. -2 8. 已知正四棱台的体积为14，，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 抛掷两枚硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件A和B互斥 B. 事件A和B互相对立 C. 事件A和B相互独立 D. 事件A和B的概率相等 10. 已知直线a，b，l，平面α，β，γ，则下列命题正确的是（ ） A. ， B ， C. ，，， D. ，，， 11. 在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若为锐角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则符合条件的有两个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复平面内表示复数的点在直线上，则实数______． 13. 已知，且，则_________，向量在向量方向上投影向量坐标为_________. 14. 已知为所在平面外一点，，当三棱锥体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某零食超市某天接待了1250名顾客，老年375人，中青年625人，少年250人，景点为了提升服务质量，采用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]分成5组，制成频率分布直方图如图： （1）求抽取的样本中老年、中青年、少年的人数； （2）求的值并估计当天游客满意度分值的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）； （3）求样本数据的第85百分位数. 16. （1）已知，求的值； （2）若，求的值. 17. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求的值； （2）若的面积为，求边上的高. 18. DeepSeek是由中国杭州DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. （1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 19. 在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$