专题05 一元二次不等式中的含参问题（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题05 一元二次不等式中的参数问题 目录 类型一、按二次项系数 1 类型二、按判别式Δ的符号分类 3 类型三、按方程的根的大小分类 4 类型四、含有多种分类的综合问题 6 7 类型一、按二次项系数 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0） 2.一元二次不等式（ax2＋bx＋c＞0）的求解步骤 ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 1 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 2 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 3 若方程无实根,不等式的解集为. 3.三个“二次”的对应关系 二次函数 的图象 一元二次方程 有两相异实数根 有两相等实数根 无实数根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 【重要性质】 解含参数的一元二次不等式的常用方法：分类讨论. 常用的分类方法有以下三种： 1 按二次项系数的符号分类,即； 2 按判别式的符号分类,即； 3 按方程的根、的大小分类,即． 例1．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 变式1-1．解决下列问题 （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 变式1-2．设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 变式1-3．已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 类型二、按判别式Δ的符号分类 例2．解关于的不等式：． 变式2-1．已知，解关于的不等式：. 变式2-2．（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 变式2-3．已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 类型三、按方程的根的大小分类 例3．解关于x的不等式，． 变式3-1．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 变式3-2．已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 变式3-3．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 类型四、含有多种分类的综合问题 例4．求解不等式 变式4-1．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 变式4-2．已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式 变式4-3．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 1、 单选题 1．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 5．设a为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是（    ） A． B．或 C． D． 6．对于给定的实，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（   ） A． B． C．或 D．或 三、解答题 7．解关于x的不等式 8．解关于x的不等式． 9．已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)若，解关于的不等式． 10．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次不等式中的参数问题 目录 类型一、按二次项系数 1 类型二、按判别式 6 类型三、按方程的根的大小分类 9 类型四、含有多种分类的综合问题 12 16 类型一、按二次项系数 1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0） 2.一元二次不等式（ax2＋bx＋c＞0）的求解步骤 ⑴计算判别式 ⑵根据的值分类讨论： 1 若方程有两个相等的实根:不等式的解集为 2 若方程有两个不等的实根:不等式的解集为. 3 若方程无实根,不等式的解集为. 3.三个“二次”的对应关系 二次函数 的图象 一元二次方程 有两相异实数根 有两相等实数根 无实数根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 【重要性质】 解含参数的一元二次不等式的常用方法：分类讨论. 常用的分类方法有以下三种： 1 按二次项系数的符号分类,即； 2 按判别式的符号分类,即； 3 按方程的根、的大小分类,即． 例1．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见详解 【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一个根，从而可求出. （2）对分情况讨论，由方程根的分布情况即可求解集. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， ①当时，即，解得：，不等式的解集为：； ②当时，令，解得， 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时，不等式解集为：； 若时， 不等式解集为：； 综上所述：当时，不等式解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 变式1-1．解决下列问题 （1）解关于的不等式； （2）若关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 【答案】（1）答案见解析；（2） 【分析】（1）原不等式化为，对分类讨论求解即可； （2）根据不等式解集及根与系数的关系，可得，代入所求不等式化简求解即可. 【详解】（1）原不等式化为， 当时，可得，解得， 当时，的根为且，解得或， 当时，可得，解得； 当时，的根为且，解得或； 当时，由解得，故不等式解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）由题意得，且，解得， 不等式可化为， 即，解得或， 故不等式解集为. 变式1-2．设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 变式1-3．已知二次函数． (1)若的解集为，求ab的值； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【详解】（1）若的解集为，则1，b是方程的根， 由，解得：，由解得：， 所以； （2）由二次函数知， 不等式整理得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 类型二、按判别式 例2．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【详解】当时，不等式为，解得：，则不等式解集为； 当时，； ①当时，且； 令，解得：，； 若，则，的解为， 即不等式的解集为； 若，则，的解为或， 即不等式的解集为； ②当，即时，不等式为，解得：， 即不等式的解集为； ③当，即时，恒成立，即不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 变式2-1．已知，解关于的不等式：. 【答案】答案见解析 【分析】分别在、、、和的情况下，利用一元二次不等式的求法求得对应的解集. 【详解】， 当时，， 方程的两个根分别为或， 则由，得， 当时，，原不等式化为，得， 当时，，不等式无解， 综上，当a<1时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为 变式2-2．（1）已知关于x的二次方程无实数解，求实数a的取值范围； （2）已知，解不等式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）若关于的二次方程无实数解，则函数的图象与轴无交点，，解得实数的取值范围； （2）令，解出方程的根且判断大小，根据开口向上即可取不等式的解集． 【详解】（1）关于的二次方程无实数解， 函数的图象与轴无交点， ， 解得：， 实数的取值范围为； （2）令， 当时，， 解得：， 所以不等式的解集是． 变式2-3．已知函数. (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可； （2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可. 【详解】（1）由题意，可得， ； （2）①当时，即时， 原不等式的解集为； ②当时，即或时， 当时，， 原不等式的解集为， 当时，， 原不等式的解集为； ③时，即或时，， 解得或， 原不等式的解集为. 类型三、按方程的根的大小分类 例3．解关于x的不等式，． 【答案】分类讨论，答案见解析. 【分析】将不等式化为，分，和，求出不等式的解集即可. 【详解】由得，． 因为， 所以①当，即时，不等式的解集为：； ②当，即时，，不等式无解； ③当时，即时，不等式的解集为：． 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 变式3-1．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 变式3-2．已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； （2）分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解． 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； （2）不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为空集， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为 变式3-3．已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，然后代入方程求出，解一元二次不等式求解. （2）按照，和分类讨论，根据一元二次不等式的解法解不等式即可. 【详解】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 类型四、含有多种分类的综合问题 例4．求解不等式 【答案】答案见解析 【分析】将不等式左边因式分解可得，再分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】解：因为， 所以， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为， 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得，所以不等式的解集为； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 当时，原不等式即，解得或， 所以不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或； 变式4-1．已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出即可； （2）分类讨论，分三种情况讨论求出解集. 【详解】（1）当时，． ∵，即， ∴. 设方程的两根分别为，，则， 解得，， ∴不等式的解为， ∴函数的解集为． （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （i），即时，方程无解，不等式解集为； （ii），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （iii），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 变式4-2．已知函数，． (1)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先对二次项系数分类讨论，再依据二次函数性质建立不等式，求解参数即可. （2）对参数分类讨论，再求解不等式即可. 【详解】（1）由题意得对任意的恒成立， 当时，，而， 此时对任意的不成立，故排除， 故我们讨论的开口，当时，此时开口向下，不符合题意，故排除， 当时，此时开口向上，符合题意，令， 故，解得，得到实数的取值范围为. （2）当时，，令，解得 当时，我们讨论如下，因为， 所以，令， 解得或，当时，解得， 此时， 故得到的解集为， 当时，我们做出如下讨论，令，解得， 此时，令，解得， 令，解得，此时令，解得， 当时，恒成立，令，解得， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 变式4-3．设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 一、单选题 1．若使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知不等式的解集是不等式的解集的子集，根据集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设不等式的解集，不等式的解集， 由题意知，， 又不等式，解得，或， 即， 又不等式， 当，即时，解得，即，满足， 当时，解得，即，满足， 当，即时，解得，即， 要使，则，解得 综上知，， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是将问题转化为集合包含关系求参数的范围，再解含参数的不等式讨论什么时候符合条件. 2．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 3．已知关于的不等式组的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式且两不等式解集的交集中有且仅有一个整数，讨论参数求其范围. 【详解】对于或， 而解集与或的交集中有且仅有一个整数， 当时，解集为，此时满足要求； 当时，解集为，此时不可能满足题设； 当时，解集为，此时满足要求； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题 4．已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 5．设a为实数，则下列集合可能是不等式的解集的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，将分式不等式等价为，再对参数进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以， 显然必有，则不等式等价于， 当时，不等式可化为，又，解得或； 当时，不等式可化为，解得，此时A选项满足题意； 当时，不等式可化为， 若，即，解得，此时C选项满足题意； 若，即，此时不等式无解； 若，即，解得，此时D选项满足题意； 综上可知，B选项不满足题意. 故选：ACD. 6．对于给定的实，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的性质，考虑二次项系数的正负以及方程的根和的大小关系，分类讨论，来确定不等式的解集. 【详解】当时，， 因为，所以的图象开口向上， 方程的根为和， 所以不等式的解集为或； 当时，此时不等式变为，不成立，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 因为，所以的图象开口向下， 若，则不等式变为，无解，不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 若，则不等式的解集为； 综上，解集可能为，，，或. 故选：ABD 三、解答题 7．解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 8．解关于x的不等式． 【答案】详见解析. 【分析】分类讨论，求不等式的解集即可. 【详解】原不等式变形为． ①当时，； ②当时，不等式即为， 当时，x或； 由于，于是 当时，； 当时，； 当时，． 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 9．已知函数． (1)若，且，求的最小值； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； （2）依题意可得，分、、、、五种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为且，所以，即， 又，所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； （2）当时，不等式，即为，即； 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 当时，，解得，所以不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 10．已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，解不等式； (3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解； （2）当时，，即，因式分解，对进行讨论，可得解集； （3）转化为恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围． 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由解集为，得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）当时，，即， 可得，因为， ①当时，即，不等式的解集为； ②当时，，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，．又， 所以不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）由题对任意，不等式恒成立， 即，因为时，恒成立， 可得，设，则，所以， 可得， 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$