专题03 函数（15题型）（广西专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 函数 题型概览 题型01 正比例、一次函数图像的性质 题型02 一次函数与几何综合 题型03 一次函数的实际应用 题型04 由一次函数图像解方程与不等式 题型05 反比例函数的图像性质 题型06 反比例函数K的几何意义 题型07 反比例函数的实际应用 题型08 反比例函数与几何综合 题型09 一次函数与反比例函数综合 题型10 二次函数图像的性质 题型11 利用二次函数求最值与范围问题 题型12 二次函数的综合实际应用 题型13 图形运动与函数图像 题型14 二次函数与几何综合 题型15从函数的图象获取信息 01正比例、一次函数图像的性质 1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】此题考查了求函数解析式，判断点是否在函数图象上，正确求函数解析式，理解判断点的方法是解题的关键．先求出k，得到函数解析式，再分别将点的横坐标代入计算纵坐标，由此得到答案． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上一点， ∴，得， ∴， 当时，，故选项不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C符合题意； 当时，，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（2025·广西·二模）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 【答案】A 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，根据，可得y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限，据此可判断A、D，求出当时和当时的函数值即可判断B、C． 【详解】解：A、在中，当时，，则点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意； B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意； 故选：A ． 3．（2025·广西桂林·二模）【函数探究】某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（常数，且）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为_____． (2)当时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中_____； ②在如图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (3)当时，即． ①当时，函数化简为_____； ②在如图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（常数，且）的一条性质： ．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)4，图像见详解 (3)，图像见详解 (4)答案见详解 【知识点】用描点法画函数图象、求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． （1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：4； ②根据表格描点再连接起来，如图所示， （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 描点如图所示，    （4）解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 02一次函数与几何综合 4．（2025·广西·二模））问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 【答案】（1）①；②描点见解析；③点随的变化始终在直线上运动；（2）见解析；（3）的周长最小值为 【知识点】求一次函数解析式、画一次函数图象、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的交点问题，轴对称的性质，理解题意是解题的关键． （1）把代入可求出点纵坐标，再把各点描出来，可得点的位置变化规律； （2）分别根据题待定系数法和消元法，求得解析式，即可求解； （3）作出点关于直线的对称点，进而根据轴对称的性质得出的周长最小值为，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ②描点如下：    猜想：点的横坐标为，纵坐标为，点在一条直线上运动， （2）设出y与x的解析式为，代入， ∴ 解得： 将，代入验证符合解析式， 在直线上； 乙同学设点P的坐标为， ， 得，即． 在直线上； （3）如图， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，则，当时，，则 ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∵，则 过点作，且 ∴关于的对称轴点为，则， 的周长最小值为． ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ 5．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． 03 一次函数的实际应用 6．（2025·广西钦州·二模）项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 【答案】任务1：见解析；任务2：（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系，；任务3：①当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟；②照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水；③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 【知识点】画一次函数图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 任务1：根据表格数据描点即可； 任务2：根据上表中的数据和所描的点，（k、b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；再利用待定系数法求解解析式即可； 任务3：①把代入解析式即可得到答案； ②把代入解析式即可得到答案； ③答案不唯一，合理即可． 【详解】解：任务1：如图，描点如下： 任务2：由数据和画图可知（k，b为常数）才能正确反映总水量y与时间t的函数关系； 点和都在此函数的图象上 ， 解得：， ； 任务3：①当时，则， 解得：， 当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间为12分钟； ②当时，， 照此漏水速度，此水龙头1小时会浪费300毫升水； ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换． 04 由一次函数图像解方程与不等式 7．（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是关键，当的图象位于的图象上方时，满足，再结合图象可得答案． 【详解】解：由图象知，当时，函数的图象位于函数的图象上方， 所以关于的不等式的解集是， 故选：A． 8．（2025·广西·二模）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．    【答案】x≥1 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】将P(a，2)代入直线l1：y＝x+1中求出a＝1，然后再根据图像越在上方，其对应的函数值越大即可求解． 【详解】解：将点P(a，2)坐标代入直线y＝x+1，得a＝1， 从图中直接看出，在P点右侧时，直线l1：y＝x+1在直线l2：y＝mx+n的上方， 即当x≥1时，x+1≥mx+n， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式与一次函数的关系，图像越在上方，其对应的函数值就越大． 05 反比例函数的图像性质 9．（2025·广西·二模）如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0 【答案】B 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】根据反比例函数图象的性质：当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵图象在二、四象限， ∴k＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图像性质，掌握反比例函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． 10．（2025·广西·二模）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可． 【详解】解：把点代入得： ． 故选：B． 11．（2025·广西·二模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 06 反比例函数K的几何意义 12．（2025·广西·二模）反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，由△POM的面积为，可知，再结合图象所在的象限，确定k的值，则函数的解析式即可求出． 【详解】解∶的面积为， 又图象在第四象限， 反比例函数的解析式为∶． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 07 反比例函数的实际应用 13．（2025·广西·二模）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 【答案】探究检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究； 探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【知识点】实际问题与反比例函数、相似三角形的判定与性质综合 【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：； 探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案． 【详解】探究 由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系， 设，将其中一点代入得：， 解得：， ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式； 将 代入得：； 答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为； 探究 ， 在自变量的取值范围内，随着的增大而减小， 当时，， ， ； 探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得， 由探究1知， ， 解得， 答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为． 【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决． 14．（2025·广西·二模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、分式方程的经济问题 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 15．（2025·广西·二模）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 10 a b … (1)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，的长度随之变化．设重物B的重力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是 ； ②完成表格： ， ； ③在如图的直角坐标系中画出该函数的图象： (2)在（1）的条件下，若点O的坐标为，点M的坐标为，在（1）中所求函数的图象上存在点N，使得，求点N的坐标． 【答案】(1)①；②5，2；③见解析 (2)点N的坐标为 【知识点】实际问题与反比例函数、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． （1）①由公式可得关于的函数解析式； ②将和代入①中解析式中求解即可； ③根据表格数据进行描点、连线即可画出图象； （2）由题意，设，利用，解方程求解即可． 【详解】（1）解：①由得，则， ∴关于的函数解析式为； ②当时，； 当时，； ③列表： 10 20 30 40 50 … … 10 5 2 … 描点，连线，可得该函数的图象： （2）解：由题意，设， ∵点M的坐标为， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点N的坐标为． 08 反比例函数与几何综合 16．（2025·广西·二模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的几何意义，全等三角形的判定和性质，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据的几何意义即可求解，熟练掌握以上性质的解题关键． 【详解】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在函数上，如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， 故选：． 17．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）1 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则，得到根据相似三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，同理得得到求得 计算即可； （3）连接交于G，根据等腰三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则， ∵ ， ∴ ∴ ∴， 即， ， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ 同理 ∵， ∴； （3）如图，连接交于G， ∵， ， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴，     ∴ 设， 在中， ∴ ∴ ， ∴ 由(1)知， ∴ ∵， ， 故答案为：1． 09 一次函数与反比例函数综合 18．（2025·广西梧州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先将点坐标代入反比例函数解析式中，求出点的横坐标，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入一次函数解析式中，求出，再求出点的坐标，过点作轴于点，过点作于点，可得，从而可证明（），再利用全等三角形的性质可得，，从而可求得的坐标，再求得中的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，解得：， ∴， ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∵一次函数与轴相交于点， ∴， 过点作轴于点，过点作于点，则， ∵把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， 又点在反比例函数的图像上， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与反比例函数的综合运用，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的性质与判定（）综合，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 19．（2025·广西·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，与的大小； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数与反比例函数的表达式分别为 (2)当时，；当时，；当时， (3)4 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，三角形面积公式，是解题的关键． （1）把代入，，即可求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）根据得时，；时，；时，，即可； （3）联立两函数解析式求出点B的坐标，求出一次函数与y轴的交点，根据，即可求出答案 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于 ∴，． ∴． ∴一次函数与反比例函数的表达式分别为． （2）∵与相交于， ∴当时，； 当时，； 当时，． （3）联立， 解得或 ． ∴点B的坐标为． 设直线与y轴交于点C， 令，则． ∴． ∴． ∴ ． 米． 10 二次函数图像的性质 20．（2025·广西·二模）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解题关键在于用待定系数法列方程来求解．根据两抛物线的形状、开口方向相同可知，a相同，求出a，再根据顶点坐标即可求出m． 【详解】解：抛物线与抛物线的形状、开口方向相同， ， ， 该抛物线最高点的函数值为1， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 故选：． 21．（2025·广西·二模）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：， 故选：D． 22．（2025·广西·二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，即可得出答案． 【详解】对于二次函数，其二次项系数， ∴该函数图象开口向上， 对称轴为， ∴点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点就在对称轴上，到对称轴距离为， ∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大 ，且， ∴． 故选：D． 23．（2025·广西·二模）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ，故①正确，符合题意； 抛物线经过点， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， ， 故③不正确，不符合题意； 当时，， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质． 24．（2025·广西·二模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，即可判断a，c的符号，然后求出即可求解． 【详解】解：建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上， ∵根据抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，则． 故选：A． 11 利用二次函数求最值与范围问题 25．（2025·广西·二模）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润与销售价之间的函数关系式，再依据函数的增减性求出最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意得： 与之间的函数关系式为： （2）根据题意得： ， 时有最大值，最大值为：， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元 （3）解：依题意可得：剩余利润为元， 即 由 解得：或 的取值范围为：， 捐款后剩余利润不低于时，， 答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是． 26．（2025·广西·二模）综合与实践 用硬纸板制作体积最大的无盖纸盒 问题背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个无盖的长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 问题解决 （1）求制作的无盖纸盒的底面边的长． （2）写出一个无盖纸盒的体积与之间的函数关系式，并求出当x的值为多少时，单个无盖纸盒的体积最大，最大值为多少 【答案】（1）边的长为；（2）当时，单个无盖纸盒体积的最大值为 【知识点】整式加减的应用、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了列代数式、二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）表示出图中纸盒的体积，然后根据二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）根据题意，得 ． 答：边的长为． （2）根据题意，得． ，， 当时，y有最大值500， 即单个无盖纸盒体积的最大值为． 27．（2025·广西梧州·二模）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究． (1)甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． (2)刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． (3)刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 【答案】(1)甲同学的说法正确 (2) (3)的值为或或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． （1）根据可得结果； （2）把代入求出解析式，再结合函数图象求最大值和最小值即可得到的取值范围． （3）比较抛物线对称轴与的位置关系，分情况讨论分别结合增减性和顶点的特征求最值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数的图象与轴都有两个交点． 故甲同学的说法正确． （2）解：把代入得到， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， 当时，函数图象如图： 由图可得，在顶点处有最小值，当时有最大值， ∴的取值范围为． （3）解：（2）的函数解析式为， ∴对称轴为，开口向上，当时随增大而增大，当时随增大而减小， ①当，即时，随增大而减小， ∴当时，有最大值；当时，有最小值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； ②当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离小于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时不符合题意； ③当，时，对称轴在范围中间，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，此时， ∴在顶点处有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得， ∵，， 此时符合题意； ④当，即时，随增大而增大， ∴当时，有最小值；当时，有最大值； ∵函数的最大值和最小值之差为6， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，若，且函数的最大值和最小值之差为6，的值为或或． 28．（2025·广西·二模）（2025·广西·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）由抛物线与x轴相交于点，，利用待定系数法即可求解； （2），，得到的函数表达式，即可求出结果． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 由题意可得：，， ， ，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线， ①若点M、N关于抛物线对称轴对称，则，， ②， ， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合运用，熟练掌握求二次函数解析式的方法、用配方法求函数的最值及函数的对称性是解题的关键． 12 二次函数的综合实际应用 29．（2025·广西·二模）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【答案】（1）；  （2）    （3）大于且小于 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解题目中的数量关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，令二次函数中，即可求解； （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，根据进行计算即可求解． 【详解】解：（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设，把代入一次函数解析式，把，代入二次函数解析式， 由题意得：，， 解得：，， ∴，； （2）依题意，得， 解得，（舍），， 当时，， 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度， ∵， ∴， ∴， 在中， 当时，； 当时，． ∴． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 30．（2025·广西·二模）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 【答案】问题1：；问题2：；问题3： 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 问题1：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或（舍）， ， ． 31．（2025·广西河池·二模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 【答案】任务1：；任务2：支撑柱的最小高度为米．任务3：横幅能按计划悬挂． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立坐标系、求得函数解析式成为解题的关键． 任务1：先根据题意建立直角坐标系，然后运用待定系数法求解即可； 任务2：先求出支撑柱到的距离至少为8米，再令，求得y的值即可解答； 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米，令，求得x的值，进而求得当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米，据此即可即可． 【详解】解：任务1：根据题意建立直角坐标系如下：顶点坐标为：，点， 设该抛物线的解析式为：， 则，解得：， 所以该抛物线形彩虹桥的解析式为． 任务2：∵要确保道路的正常通行， ∴两个支撑柱之间的距离最少为， ∴支撑柱到的距离至少为8米， 令，则． 所以支撑柱的最小高度为米． 任务3：由题意可得：横幅的上边沿离路面的最小距离为米， 令，则，解得：， ∴当横幅的上边沿离路面距离为6米，桥面的宽度为10米， ∵， ∴横幅能按计划悬挂． 32．（2025·广西柳州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 【答案】(1)； (2)两条水柱的相遇点距离地面米． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数平移变换等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平移变换得到新抛物线解析，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：， 又两辆车喷水口的水平距离为60米，即， 将代入解析式，得：， 解得：， ； （2）解：两辆车同时后退米，即抛物线向右平移后的抛物线解析式为： ， 当时，， ∴两条水柱的相遇点距离地面米． 13 图形运动与函数图像 33．（2025·广西·二模）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】分三个时间段求出函数解析式即可判断； 【详解】①当0＜x≤4时，y＝=x2， ②当4＜x≤8时，y＝×4×4−2××（4−x）2＝−x2＋4x−8， ③当x＞8时，y＝8， 故B选项的函数图像符合， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 14 二次函数与几何综合 34．（2025·广西贵港·二模）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式： (2)点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标； ②请求出的最大值． 【答案】(1)抛物线为：，直线的解析式为 (2)①的横坐标为；②的最大值为 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据中心对称的性质可得抛物线的表达式，再令，求解点、的坐标，令，求出的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解可得直线的解析式； （2）①如图，连接，设，而，求解直线为的解析式为，联立，解得，则，，， 根据列方程即可求解 ；②作于，而，可得，可得，推出，再建立二次函数的模型解题即可． 【详解】（1）解：抛物线：，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． 抛物线为：， 抛物线为：， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，，； 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）①如图，连接，设，而， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线为的解析式为， 联立， 解得：， ，，， ， ， 解得：（不符合题意的根舍去）， ， 的横坐标为； ②作于，而， ， ， ， ，，， ， ，， ， ，， 当时，的最大值为：． 【点睛】本题考查的是中心对称的性质，求解二次函数、一次函数的解析式以及交点坐标，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用相关知识． 35．（2025·广西南宁·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，， (2)点的坐标为或 (3)最大值为，的值为9 【知识点】求一次函数自变量或函数值、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）根据点的坐标，代入二次函数解析式中，可求得，从而可得二次函数解析式，再求出点的坐标，然后求出点的坐标，再求出关于的函数解析式，从而可求得； （2）先根据，求出的值，再求出点的坐标； （3）先说明四边形为平行四边形，再求出直线的解析式，然后设点的坐标为，用表示出与，再根据，得出，求出的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数，点的坐标为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，，解得：，， ∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴点的坐标为． 二次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴， 设点的横坐标为，的面积为， ∴， 当时，， ∴； （2）当时，，解得：， 当点的横坐标为时， ，此时点的坐标为； 当点的横坐标为时， ， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）如图，连接，过点作轴于点，交于点，作，交轴于点， ∴四边形为平行四边形， 设直线的解析式为， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 记点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， 此时的值为9． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由平行截线求相关线段的长或比值，的最值，求一次函数的解析式等知识点，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 15 从函数的图象获取信息 36．（（2025·广西·二模）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（     ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D 1．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²的图象和性质、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，解题关键是将点代入各函数表达式，结合函数性质及的条件判断是否符合． 分别将点点，，代入四个选项中的函数表达式，根据函数性质求出a、b的值或关系，结合这一条件判断该函数是否符合要求． 【详解】A．对于函数，把代入得，即；把代入得，此时的值前后不一致，所以该函数不符合条件，不符合题意； B．函数，它是一次函数，随的增大而增大，把代入得；把代入得；把代入得．此时的值不相等，且，不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意； C．对于函数，它是二次函数，图象开口向下，对称轴为轴，即．点和关于轴对称，把或代入得；把代入得．满足，该函数符合条件，符合题意； D．对于函数，它是二次函数，图象开口向上，对称轴为轴，即．把或代入得；把代入得．不满足，所以该函数不符合条件，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·广西·二模）若点，点在反比例函数的图象上，且，则（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 先确定反比例函数的增减性，再利用比较它们的函数值的大小． 【详解】∵， ∴函数的图象在第一，三象限，并且在每个象限内，y 随x的增大而减小， ∵点 点 在反比例函数的图象上，且 ， ∴． 故选：B． 3．（2025·广西·二模）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象识别 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据洗涤衣服时经历的三个阶段洗衣机内的水量的变化情况，分析得到水量与时间的函数图象． 【详解】解：注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0；如图所示： 故选：C． 4．（2025·广西·二模）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 5．（2025·广西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，掌握利用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线得， 解得：， 一次函数的解析式为； 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：把代入，得：， ∴点的坐标为， ． ， ，     ． 当代入，得， 当代入，得 ∴点的纵坐标为，则， 点的坐标为或． 6．（2025·广西·二模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】(1)①，见解析；② (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 7．（2025·广西·二模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．    数学建模 （1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】（）；（），；米． 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数)、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解； （）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出； ②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解； 本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为， 设与之间的函数关系式为， 由题意得，点的坐标为， 将代入， 得，解，得， ， 即与之间的函数关系式为， （）由（）得， 当时，，解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； ②过点作于点，过点作于点，交于点，    设所在直线的函数表达式为， 将分别代入， 得解，得， ∴所在直线的函数表达式为， 设点的横坐标为， 点在拋物线的图象上， ，， ， ，且， 有最大值，当时，最大， 轴， ， 又，，， ， ， 当时，有最大值， 当时，有最大值， 此时， ∴需要铝合金材料的最大长度约为米． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 题型概览 题型01 正比例、一次函数图像的性质 题型02 一次函数与几何综合 题型03 一次函数的实际应用 题型04 由一次函数图像解方程与不等式 题型05 反比例函数的图像性质 题型06 反比例函数K的几何意义 题型07 反比例函数的实际应用 题型08 反比例函数与几何综合 题型09 一次函数与反比例函数综合 题型10 二次函数图像的性质 题型11 利用二次函数求最值与范围问题 题型12 二次函数的综合实际应用 题型13 图形运动与函数图像 题型14 二次函数与几何综合 题型15从函数的图象获取信息 01正比例、一次函数图像的性质 1．（2025·广西梧州·二模）已知点是正比例函数图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·二模）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 3．（2025·广西桂林·二模）【函数探究】某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（常数，且）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为_____． (2)当时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中_____； ②在如图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (3)当时，即． ①当时，函数化简为_____； ②在如图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（常数，且）的一条性质： ．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 02一次函数与几何综合 4．（2025·广西·二模））问题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（a为实数），当a变化时，点P的位置也随之改变．点P的位置有何变化规律呢？ 【方法探究】 （1）甲同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表： 点的坐标 ①请直接写出点的坐标； ②描点：如图1，建立平面直角坐标系，现已描出了点，请描出点； ③请观察点的位置，猜想点P的位置随a的变化有何规律？ 【问题解决】 （2）同学们认为通过观察，实验，归纳得到的结论不一定正确，还需要进一步验证． 甲同学根据（1）中的猜想，用待定系数法，选择其中的点，求出y与x的解析式，再将点的坐标代入验证． 乙同学则设点P的坐标为，令得①，得②，消掉字母a，求出y与x的解析式． 问题解决：请分别用甲、乙同学的方法求出y与x的解析式，并简要比较这两种方法； 【拓展应用】 （3）如图2，点，分别为轴，轴正半轴上的一点，，求周长的最小值． 5．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 03 一次函数的实际应用 6．（2025·广西钦州·二模）项目式学习 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成水资源浪费现象仍较为突出．某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况．同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量（毫升）是否为时间（分钟）的函数？ 素材 每隔1分钟记录量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（分钟） 1 2 3 4 5 总水量y（毫升） 10 15 20 25 30 问题探究和问题解决 任务1 请在下图的平面直角坐标系内描出上表每对数据所对应的点． 任务2 请根据上表中的数据和所描的点，判断总水量y与时间t的函数关系？请求出这个关系式． 任务3 ①同学们继续观察，当量简中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议． 04 由一次函数图像解方程与不等式 7．（2025·广西桂林·二模）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 8．（2025·广西·二模）直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为 ．    05 反比例函数的图像性质 9．（2025·广西·二模）如果反比例函数y＝的图象在二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k＞0 B．k＜0 C．k≥0 D．k≤0 10．（2025·广西·二模）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 11．（2025·广西·二模）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 06 反比例函数K的几何意义 12．（2025·广西·二模）反比例函数图象的一支如图，的面积为，则该函数的表达式为 ． 07 反比例函数的实际应用 13．（2025·广西·二模）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表． 素材1  国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1． 探究1  检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 素材2  图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足． 探究2  当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围． 素材3  如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同． 探究3  若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长． 14．（2025·广西·二模）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 15．（2025·广西·二模）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． 10 20 30 40 50 … … 10 a b … (1)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，的长度随之变化．设重物B的重力为，的长度为．则： ①y关于x的函数解析式是 ； ②完成表格： ， ； ③在如图的直角坐标系中画出该函数的图象： (2)在（1）的条件下，若点O的坐标为，点M的坐标为，在（1）中所求函数的图象上存在点N，使得，求点N的坐标． 08 反比例函数与几何综合 16．（2025·广西·二模）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（    ）    A． B． C． D． 17．（2025·广西·二模）探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 09 一次函数与反比例函数综合 18．（2025·广西梧州·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于点，与轴相交于点，把线段绕点逆时针旋转，若点的对应点在函数的图像上，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 19．（2025·广西·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，与的大小； (3)连接，求的面积． 10 二次函数图像的性质 20．（2025·广西·二模）已知抛物线与抛物线的形状、开口方向相同，且该抛物线最高点的函数值为1，则抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·广西·二模）把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·广西·二模）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．（2025·广西·二模）如图，抛物线经过点，，且，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 24．（2025·广西·二模）剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．剪纸中有一种“抛物线剪纸”艺术，即作品的外轮廓在抛物线上，体现了一种曲线美．如图，这是利用“抛物线剪纸”艺术剪出的蝴蝶，建立适当的平面直角坐标系，使外轮廓上的A，B，C，D四点落在抛物线上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11 利用二次函数求最值与范围问题 25．（2025·广西·二模）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 26．（2025·广西·二模）综合与实践 用硬纸板制作体积最大的无盖纸盒 问题背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计） 实践活动 如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个无盖的长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形 问题解决 （1）求制作的无盖纸盒的底面边的长． （2）写出一个无盖纸盒的体积与之间的函数关系式，并求出当x的值为多少时，单个无盖纸盒的体积最大，最大值为多少 27．（2025·广西梧州·二模）数学活动课上，同学们在刘老师的指导下对二次函数进行了研究． (1)甲同学经过分析后发现，无论取任何实数，该函数的图象与轴都有两个交点．请你通过计算判断甲同学的说法是否正确． (2)刘老师为了让同学们更好地感悟“数形结合”的思想，提出了新问题：若该函数图象经过点，当时，求的取值范围． 乙同学经过思考后，通过待定系数法求函数的解析式，利用函数的图象与性质确定了的最大值和最小值，进而求出的取值范围．请你结合自己对二次函数的理解求出的取值范围． (3)刘老师要求同学们能对所学知识举一反三，进一步研究：在已知（2）的函数解析式的前提下，若，且函数的最大值和最小值之差为6，求的值． 28．（2025·广西·二模）（2025·广西·二模）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点，是抛物线上不同的两点且，求的最小值． 12 二次函数的综合实际应用 29．（2025·广西·二模）综合与实践 问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 10 20 30 40 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 问题提出： 科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述． （1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题延伸： 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； 拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域． （3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 30．（2025·广西·二模）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 31．（2025·广西河池·二模）根据以下素材，探索完成任务． 材料 如图，某经济开发区计划在道路上方搭建一座抛物线桥拱形彩虹桥，已知道路的宽为（路内侧两边各有宽的绿化带，其余路面正常通行），桥面最高处与路面的距离为． 任务1 以所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求该抛物线形彩虹桥的解析式． 任务2 按计划在该彩虹桥下方需对称安置两个支撑柱进行支撑，若要确保道路的正常通行，求支撑柱的最小高度． 任务3 若在该彩虹桥下方有一个限高的横杆，现要在横杆上方悬挂一个宽、高的横幅，在不超出桥面的情况下，横幅能否按计划悬挂（不考虑横杆的宽度）？请通过计算说明． 32．（2025·广西柳州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数解析式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ 13 图形运动与函数图像 33．（2025·广西·二模）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 14 二次函数与几何综合 34．（2025·广西贵港·二模）如图，抛物线：，抛物线交轴于点、（点在点的右侧），交轴于点，抛物线与抛物线关于原点成中心对称． (1)求抛物线的函数表达式和直线对应的函数表达式： (2)点是第一象限内抛物线的一个动点，连接、，与相交于点． ①作轴，垂足为，当时，求点的的横坐标； ②请求出的最大值． 35．（2025·广西南宁·二模）探究与拓展 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是此函数图象在轴上方部分的动点，连接，．设点的横坐标为，的面积为，关于的函数图象如图2所示． (1)请直接写出点的坐标，和图2中的值； (2)当时，求点的坐标； (3)当点仅在函数图象上点至点之间的部分运动时，连接，交于点，则是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值并直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 15 从函数的图象获取信息 36．（（2025·广西·二模）某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（     ） A．本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C．本次充电持续时间是120分钟 D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 1．（2025·广西梧州·二模）已知点，，在同一个函数的图象上，其中，这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广西·二模）若点，点在反比例函数的图象上，且，则（   ） A． B． C． D．不能确定 3．（2025·广西·二模）小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 4．（2025·广西·二模）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 5．（2025·广西·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 6．（2025·广西·二模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 7．（2025·广西·二模）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米．    数学建模 （1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$