专题07 与有理数有关的四大创新题型（40题）（举一反三专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题07 与有理数有关的四大创新题型（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 考卷信息： 本套训练卷共40题，含四大类型的创新题型，每种题型各10题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对与有理数有关的阅读理解与新定义的理解！ 【题型1 探究进位制】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 4．（24-25七年级上·广东中山·期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为 ．    5．（24-25七年级上·北京西城·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论： 如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除； 如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除． 从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 6．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）由本学期学习《进位制的认识与探究》知，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）．根据你所学知识与学习活动体悟，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)已知二进制数，请计算并写出的值（要求写成二进制表示的数）； (3)请把转换成十二进制的数． 7．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 8．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)①在二进制中计算； ②在八进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 10．（2025·广西南宁·二模）综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 【题型2 新定义】 11．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期中）若定义一种新的运算“※”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 13．（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 14．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 17．（24-25七年级上·江西南昌·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把 记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______， ______． （2）【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ① ， ② ． （3）将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）． （4）【结论应用】计算：的值． 18．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 19．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算，如； 若，则称a与b互为“望一”数； 若，则称a与b互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ． ①；②；③；④；⑤； (3)若，则x可以取哪些整数？ 20．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【题型3 阅读理解】 21．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数______，______； (2)请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 25．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读材料，并回答问题： (1)如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A，B两点处，将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为32；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为8，利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长； (2)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大你还要38年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是115岁！”小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程． 26．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 27．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）生活中的数学问题 【阅读材料】 如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有位数字．它是由前位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 比如右图的位数字“”中， “”为国家代码，“”为厂商代码， “”为产品代码，而最后一位数字“” 则为校验码． 其中，校验码可以用来校验商品条形码中前 位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的 算法得来的．其算法为：       步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 【解决问题】 ①若甲商品条形码的数字为“”，利用上述校验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由． ②若某正规商品的条形码数字为“■”，其中有一个数字被污染了，请求出这个被污染的数． 28．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是______； (2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 29．（24-25七年级上·福建厦门·期中）阅读材料，并回答问题 钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟，如果用符号“”表示钟表上的加法，则．由上述材料可知： (1)________； (2)类比几个相同加数的和可以写成乘积的形式，我们可定义钟表上的乘法，用符号“”表示，即． ①计算：； ②类比有理数中的倒数，我们可定义：若，则称是的钟表倒数（其中为中的任意一个整数，为自然数）．请用含（为自然数）的式子表示出5的所有钟表倒数． 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题． “聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题 (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空 ； ________； 猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； 进一步可猜想： ___________． 通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． (3)请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 【题型4 综合与实践】 31．（24-25七年级上·全国·期中）综合与实践：一只电子跳蚤从数轴上原点处出发，第一次向左跳动1个单位，第二次向右跳动2个单位，第三次向左跳动3个单位，第四次向右跳动4个单位，第五次向左跳动5个单位，第六次向右跳动6个单位，如此往返． (1)第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？ (2)若该跳蚤从－8对应的点处出发，则第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第几次跳动的落点位置是原点？ (3)若该跳虫从（是正整数）对应的点处出发，则第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第（是正整数）次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第几次跳动的落点位置是原点？ 32．（24-25七年级上·广西百色·期中）综合与实践 【问题情境】 如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合． （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是________； （2）在（1）条件下，如果圆片Q点在数轴A点的位置再向右滚动3周，到达B点的位置，则点B所表示的数为________； 【问题拓展】 （3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，运动情况依次记录如表： 计次 第1次 第2次 第3次 滚动周数 计次 第4次 第5次 第6次 滚动周数 第6次向右滚动m（m为正整数）周后，点Q与原点的距离为6． ①请求出m的值； ②当圆片结束6次滚动时，求点Q一共运动的路程． 33．（23-24七年级上·广西桂林·期中）【综合与实践】 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 34．（24-25七年级上·山东济南·期中）综合与实践 探究喷墨打印机的工作原理 素材1 喷墨式双向打印机通过喷射墨水完成文件打印．如图1，打印机外框架上有一根水平杆，喷头架在水平杆上来回移动完成喷墨．第一次，喷头架从左到右喷墨，停止后纸张向前移动；第二次，喷头架从停止处出发，反向完成喷墨，如此往复． 素材2 如图2，以这根水平杆所在的直线建立数轴，以水平杆的中点为原点，以向右的方向为正方向，用一个单位长度表示．已知喷头架的初始位置为，向右个单位长度记为，向左个单位记为，以下记录了喷头架的次运动情况：，，，，，． 问题解决 任务1 确定位置 经过次喷墨后，确定喷头架的最终位置． 任务2 确定路程 经过次喷墨后，求出喷头架移动的总路程． 35．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【问题的发现与提出】 巴黎时间2024年8月4日晚上，在巴黎奥运会男子米混合泳接力决赛中，中国队夺得金牌，打破美国长达四十年的垄断．小明是在北京时间8月5日凌晨观看的现场直播，他知道两地存在时间上的差异，即时差．为了解时差的奥秘，小明查阅并整理了相关资料． 【资料的查询与整理】 时差产生的原因：地球可以看成一个球体，太阳光线不能同时照到地球的每一个角落．随着地球自西向东的自转，不同经度上的地方就会在不同的时间接收到太阳光，这就导致了各地时间的差异．显然，地球上相对东面的位置比西面的位置更早接收到太阳光，时间自然比西面要早． 时区制度的设立：国际上规定，以英国格林尼治天文台所在的经线为零度经线，根据地球自转的方向，将地球表面按从东到西，每隔划分为1个区域，可以得到24个区域，即24个时区，并规定零度经线所在的时区（西经一东经的区域）称为中时区（零时区），中时区以东有12个时区，依次记为东一区至东十二区，以西也有十二个时区，依次记为西一区至西十二区，由于地球形状的影响，最终东十二区和西十二区合为一个时区．在同一时区内各地的时间相同，不同时区内各地有各自的时间，每相邻时区的时差为1小时．这样，当一个时区是中午12点时，相邻的时区可能是下午1点或早上11点． 时区设立的意义：时区制度的设立是为了适应人类社会发展的需要，提供一个全球统一的时间框架，以便于跨地域的交流和活动． 【问题的理解与应用】 由于中时区又称为零时区，好比数轴上的原点，东区好比正半轴，西区好比负半轴．所有时区与中时区的时差都等于和中时区相比的那个时区的时区数．比如东八区就与中时区相差8小时，时区数是八．又由于所有相邻的时区时刻都相差1小时，这样东一区与西一区之间的中时区，就好比数轴上与之间的0一样．将数轴上的数与时区对应的点、经度对应起来，可以用下图来表示： 其中E表示东经，对应点；W表示西经，对应点； E表示东经，对应点；数字1表示东一区（从东经到东经之间的区域）；对应点． 法国巴黎和中国北京分别采用东经（东一区）和东经（东八区）的时间，因此北京时间比巴黎时间要早7个小时．例如，巴黎时间8月4日，就是北京时间8月5日凌晨． 【问题的解决与实践】 (1)A，，三地分别采用经度是东经15°，东经120°和西经120°的时间，将三地用背景材料中数轴上的数简明地表示，分别是____________； (2)下一届奥运会将于2028年在美国洛杉矶举行，洛杉矶采用西八区的时间． ①若北京时间是2024年10月10日13：00，洛杉矶时间是____________； ②若2028年洛杉矶奥运会的某一项游泳比赛于当地时间7月20日19：00进行，请你推算此时的北京时间． 36．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 37．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ 38．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材： 如图1是学校操场实物图，图2是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置8条跑道，跑道设置6条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务： (1)海安某校操场是跑道． ①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，问小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在最外圈跑道，并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场最外圈跑道的周长． 39．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）【阅读理解】 一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． 40．（23-24七年级上·全国·课后作业）综合与实践活动    （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你还能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ （4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？ 归纳总结：三阶幻方的性质：每一________、每一________和________的三个数的和都相等． 【实践应用】 “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．    在新“幻方”（图3所示）中，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 与有理数有关的四大创新题型（举一反三专项训练） 【湘教版2024】 考卷信息： 本套训练卷共40题，含四大类型的创新题型，每种题型各10题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加深学生对与有理数有关的阅读理解与新定义的理解！ 【题型1 探究进位制】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法与加法的应用，理解十六进制与十进制之间的对应关系是解题关键．先根据有理数的乘法法则求出的值，再利用十六进制将结果表示出来即可得． 【详解】解：， ，十六进制中的C与十进制中的12对应， 数156用十六进制可表示为，即， 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天． 【答案】510 【分析】本题考查了有理数乘方的混合运算，解题关键是理解七进制数的表示方法； 根据图中的数学列式计算类比于十进制，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数即可解答． 【详解】解：因为，七进制是满七进一， 所以，从右到左依次排列的绳子，分别代表绳结数乘以，，，的天数， 所以孩子自出生后的天数是：． 故答案为：510． 4．（24-25七年级上·广东中山·期末）十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列式计算后取余数即可． 【详解】解：……0， ……2， ……7， ……3， 则将十进制数2000转化为．八进制数为， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·北京西城·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢三进一就是三进制，用数字，，记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数记为，由，可得是十进制数． (1)将转换为十进制数，结果是________； (2)对于一个用三进制表示的正整数，有下列两个结论： 如果这个数的末位数字能被整除，那么这个数就能被整除； 如果这个数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个数就能被整除． 从中选出正确结论，并以四位的三进制数为例，说明该结论正确的道理． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． （1）根据题意将三进制转化为十进制即可； （2）根据题意判断出正确，将四位的三进制数化为十进制的数，经过变形即可验证． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：是正确结论，理由见下： ， 能被整除， 如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 6．（24-25七年级上·重庆九龙坡·期末）由本学期学习《进位制的认识与探究》知，进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，以此类推，进制就是逢进一．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．进制的数转化为十进制的数的方法是：若进制表示的数为，则转换为十进制数的过程为（规定当时，）．根据你所学知识与学习活动体悟，完成以下问题： (1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：_____，_____； (2)已知二进制数，请计算并写出的值（要求写成二进制表示的数）； (3)请把转换成十二进制的数． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了进位制，解题的关键是读懂题意； （1）根据公式进行转化即可； （2）根据转化为十进制，再利用公式进行转化即可； （3）根据，根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ． 7．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当时，．如：；． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为：），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如； 写出________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：（天）； 故答案为：510； （2）； 故答案为： （3）由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故． 8．（24-25七年级上·重庆忠县·期末）综合与实践：阅读下列材料： 【材料1】“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，书写时将进制的基数写在右下角，如表示二进制的，十进制的进制的基数通常省略不写．各进制数之间可以互相转换，例如：二进制数转换成十进制数：，若将十进制数转化成与其相等的进制数，只需将十进制数除以取余数，再倒序排列，例如：将十进制数转换成七进制数，其转换方法如图所示，并记为． 【材料2】进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，数位称呼仍把从右至左的每个数位依次称为个位、十位、百位等，例如：，． 根据以上学习材料，求解以下问题： (1)写出转换为十进制数和转换为二进制数的结果； (2)①在二进制中计算； ②在八进制中计算； (3)规定：若一个三位的九进制数和另一个三位八进制数的百位、十位、个位数字都相同，则称和是“同位数”．那么是否存在百位数字为1，十位数字为，个位数字为的“同位数”和满足，若存在，求出和的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)存在且或且或且 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，理解题意，掌握有理数乘方运算的法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法计算即可； （2）①进制数的四则运算与十进制数的四则运算规则相同，满进一，由此计算即可；②根据材料提示方法计算即可； （3）由题意，，即，被3整除，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①， ②； （3）解：若存在和满足， 由题意，， ，，， ，，且，为不超过7的非负整数， ∴，即， 即，被3整除， 即存在且或且或且． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）【综合与实践】 阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一"就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如： (1101)₂就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，，表示这个n进制数从右起，第一位上的数字为c，第二位上的数字为 b，第三位上的数字为a．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，）．同理，二进制数转换为十进制为：．一个十进制数转换为n进制数时，把十进制数表示成0，1，2，…，与基数n的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为，根据上述材料，解答下列问题． (1)①把二进制数转换为十进制数； ②把十进制数 29转换为二进制数． (2)把十进制数63转换为五进制数； (3)若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，试判断，与，是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)①11；② (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）①根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可．②根据题干十进制数转换为二进制数的方法计算即可． （2）仿照题干的转化方法把二进制数转换为五进制数即可． （3）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：①转换为十进制数为； ②因为，即，， 所以29转换为二进制数为； （2）解：因为，即，， 所以63转换为五进制数为； （3）解：与互为“久久数”， 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 10．（2025·广西南宁·二模）综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 【答案】（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意即可填涂出来； （2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解． 【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下： （2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级； 班级：，即为六班； （3）方法一：， 方法二：则， 补全图： 【题型2 新定义】 11．（24-25六年级上·山东淄博·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期中）若定义一种新的运算“※”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)132 (2) 【分析】（1）根据定义运算法则解答即可； （2）根据定义运算法则解答即可． 本题考查了新定义运算，熟练掌握有理数的乘方，加减混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 13．（2025·海南三亚·二模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成下列问题． 【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为_____，第5项是_____． 【公式推导】 如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到： 所以 （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：_____． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①， 则②， ②－①得， ． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3，243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）设根据例题的方法求得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：等比数列的公比为3，第5项是； 故答案为：3，243； （2）根据题意得：等比数列的通项公式：； 故答案为： （3）设①， 则②， 得， ． ∴． 14．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是关键． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求和，再计算即可． 【详解】（1）解：☆ ． 故答案为：； （2）解： ． 15．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则： 若，则第449次“运算”的结果是多少？ 【答案】8 【分析】本题考查的是数字的规律探究，能根据所给条件得出时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：由“运算”的含义，需要对正整数分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行①运算， 即（偶数）， 需再进行F②运算， 即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即（奇数）， 再进行①运算，得到（偶数）， 再进行②运算，即， 再进行①运算，得到（偶数），…， 即第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为， 第次运算结果为，第次运算结果为，…， 可以发现第次运算结果为，第次运算结果为， 从第次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为，偶数次为，而第次是奇数， 这样循环计算一直到第次“运算”，得到的结果为． 16．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读材料： 材料一：对实数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：；． 材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题： ？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：． 也可以这样理解：令①， 则②， ①+②得：， 即． 解决问题： (1) ； ； (2)已知，且，求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求：值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题即可； （2）根据,且,可得,,再根据当时, ；当时, ,即可求解； （3）由于由可得根据是正数可求，再代入求值即可. 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵,且 ∴, ∴ ， 故的值为； （3）∵为正数, ， ， ， 则(负值舍去)， ∴ ∴ ． 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注意公式的灵活应用． 17．（24-25七年级上·江西南昌·期中）【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”．一般地，把 记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______， ______． （2）【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式（包括写出过程）： ① ， ② ． （3）将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是：______．（只写最后结果）． （4）【结论应用】计算：的值． 【答案】（1），3；（2）①；②；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律； （4）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，3； （2）解：①； ②； （3）解：， 故答案为：； （4）解： ． 18．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 19．（24-25七年级上·湖南怀化·期中）定义新运算，如； 若，则称a与b互为“望一”数； 若，则称a与b互为“望外”数； (1)计算： ． (2)下列互为“望一”数的是 ．互为“望外”数的是 ． ①；②；③；④；⑤； (3)若，则x可以取哪些整数？ 【答案】(1)4； (2)①④；③⑤； (3)或0或1． 【分析】本题考查了新定义运算、绝对值的化简、解一元一次方程等知识点，根据新定义将所给等式转化为带有绝对值的式子是解答本题的关键． （1）根据新定义的运算代入数值计算即可； （2）根据新定义的运算代入数值计算，再根据“望一”数和“望外”数的定义逐个进行判断即可； （3）根据新定义的运算化简后，通过分类讨论的取值范围把含有绝对值的方程转化为一元一次方程，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4． （2）①， 是互为“望一”数； ②， 既不是互为“望一”数，也不是互为“望外”数； ③， 是互为“望外数”； ④， 是互为“望一数”； ⑤， 是互为“望外数”； 综上所述：互为“望一”数的是①④，互为“望外”数的是③⑤． 故答案为：①④；③⑤． （3）， ， ∴， 当时，， 解得， 当时，恒成立， 则满足的任意实数都满足题意， 当时，， 解得， 的取值范围为， 又为整数， 或0或1． 20．（23-24七年级上·湖南益阳·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ； （3）解： ． 【题型3 阅读理解】 21．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处? 问题（2）：有台机床时，应设在何处? 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）表示的点到表示的点距离之和，共有个点，是奇数个， ∴当时，有最小值， ． 22．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·阅读理解阅读：我们知道，所有无限循环小数都可以化成分数，那么如何把无限循环小数化为分数呢？下面介绍一种方法： 例：把和化成分数． 乘10，原数位每位进一位，得到，即，再减去得3，算式如下： ，即，所以；同样道理，把化成分数的算式如下： ，即，所以． 根据上面材料完成： (1)直接把下面无限循环小数化为分数______，______； (2)请把下面无限循环小数化为分数，写出计算过程． 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是仿照材料解题． （1）仿照材料里的方法将无限循环小数化为分数即可； （2）仿照材料里的方法将化为分数；先仿照材料求出，再根据计算即可． 【详解】（1）解：，即， ∴， ，即， ∴， 故答案为：，； （2）解：，即， ∴； ，即， ∴， ∴ 即． 24．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，有理数加法，数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数表示的几何意义即可进行求解； （2）根据在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3，即可得到符合条件的数； （3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7，得出满足条件的整数x的值，再求和即可； （4）由的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数4的点之间的距离与数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离之和，则当时，最小，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与之间的距离表示为； （2）表示：在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3， ∴或， 可以表示数轴上的数或数5； （3），表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，，0，1，2，3， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上表示到4和的距离之和， 所以当x在与4之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为9． 25．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读材料，并回答问题： (1)如图，有一根木尺放置在数轴上，它的两端P，Q分别落在A，B两点处，将木尺在数轴上水平移动，当点P移动到点B时，点Q所对应的数为32；当点Q移动到点A时，点P所对应的数为8，利用所学知识求出点A、点B所表示的数及木尺的长； (2)借助上面的方法解决问题：一天，小明去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大你还要38年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是115岁！”小明纳闷，爷爷今年到底是多少岁？请你画出示意图，求出小明和爷爷的年龄，并写出合理的计算过程． 【答案】(1)16，24，8cm (2)见解析，小明13岁，爷爷64岁，见解析 【分析】本题主要考查了用数轴解决实际问题，弄清题意、画出图示、找到题目中的等量关系是解决问题的关键． （1）由题意可知，点B到数32的距离、P，Q的距离、点A到数8的距离相等，由线段图可知是的三分之一，据此求得的长，进而求得点A、点B所表示的数； （2）仿照（1）画出图，可知爷爷和小明的年龄差为，进而求得小明和爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由题意可知，点B到数32的距离、P，Q的距离是的三分之一、点A到数8的距离相等， 所以木尺的长为， 所以点A表示的数为， 点B表示的数为． （2）解：如图，易得爷爷和小明的年龄差为（岁）， 所以爷爷的年龄为（岁）， 小明的年龄为（岁）， 所以小明13岁，爷爷64岁． 26．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， 所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； 补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 27．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）生活中的数学问题 【阅读材料】 如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有位数字．它是由前位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 比如右图的位数字“”中， “”为国家代码，“”为厂商代码， “”为产品代码，而最后一位数字“” 则为校验码． 其中，校验码可以用来校验商品条形码中前 位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的 算法得来的．其算法为：       步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和，即； 步骤3：计算与的和，即； 步骤4：取大于或等于且为10的整数倍的最小数，即； 步骤5：计算与的差就是校验码，即． 【解决问题】 ①若甲商品条形码的数字为“”，利用上述校验码的算法，判断此条形码的真伪，并说明理由． ②若某正规商品的条形码数字为“■”，其中有一个数字被污染了，请求出这个被污染的数． 【答案】① 条形码是假的；见解析；②被污染的数为8 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据题干信息列式计算再验证即可； （2）设被污染的数为，由题意得：，再解方程即可； 【详解】解：① 条形码是假的     理由：由题意得：， ， ，            是大于或等于且为10的整数倍的最小数， ， 校验码 条形码是假的.         ② 设被污染的数为，由题意得： ， ， ，                校验码 ，       ，         是大于或等于且为10的整数倍的最小数，且， ，   ， ； 28．（24-25七年级上·广西玉林·期中）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数抽上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则A，B两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是______； (2)式子的最小值是______； (3)应用：如图，某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A，B，C，D，它们依次有快递车15辆，9辆，5辆，11辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】(1) (2) (3)有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的含义； （1）直接根据两点之间的距离公式计算即可； （2）由表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和，当数在与之间时，即时，最小，再进一步解答即可； （3）先求解车辆总数与每个快递公司的车辆数10辆，再设计最小调运方案即可． 【详解】（1）解：与3的距离是； （2）解：∵表示在数轴上数对应的点与数，对应的点的距离之和， ∴当数在与之间时，即时，最小， ∴当时，式子有最小值，最小值是， （3）解：根据题意，（辆）， （辆）， 即共有40辆车，每个公司10辆， ∴调运方案如下： ∴有5种方案调运车辆数最小，都为10辆． 29．（24-25七年级上·福建厦门·期中）阅读材料，并回答问题 钟表中蕴含着有趣的数学运算．例如现在是10点钟，4小时以后是几点钟？虽然，但在表盘上看到的是2点钟，如果用符号“”表示钟表上的加法，则．由上述材料可知： (1)________； (2)类比几个相同加数的和可以写成乘积的形式，我们可定义钟表上的乘法，用符号“”表示，即． ①计算：； ②类比有理数中的倒数，我们可定义：若，则称是的钟表倒数（其中为中的任意一个整数，为自然数）．请用含（为自然数）的式子表示出5的所有钟表倒数． 【答案】(1)3 (2)① 8 ；② 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义运算： （1）根据材料可知，由此可解； （2）①先计算，结果除以12，余数即为所求；②设，则余数为1，设商为n，列式表示出m即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：3； （2）解：①，， 可得； ②设， 由题意知，余数为1，设商为n， 则， 因此 即5的所有钟表倒数为． 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题． “聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题 (1)请按照“聪慧组”同学的思路填空 ； ________； 猜想： ； (2)为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整． 设 则 即 化简得 得： 即___________； 进一步可猜想： ___________． 通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法． (3)请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为的正方形） 【答案】(1)；； (2)；； (3)，见解析． 【分析】（）根据题意中得到的规律即可求解； （）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算和画出图形即可求解； 本题考查了数字规律，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； ； ； 故答案为：；； （2）解：得：， 即； 设 则 即 化简得 得：， 即； 故答案为：；； （3）解：解法一：设， 则， 化简得， 得：， ∴； 解法二：如图， 由图可知：． 【题型4 综合与实践】 31．（24-25七年级上·全国·期中）综合与实践：一只电子跳蚤从数轴上原点处出发，第一次向左跳动1个单位，第二次向右跳动2个单位，第三次向左跳动3个单位，第四次向右跳动4个单位，第五次向左跳动5个单位，第六次向右跳动6个单位，如此往返． (1)第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？ (2)若该跳蚤从－8对应的点处出发，则第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第几次跳动的落点位置是原点？ (3)若该跳虫从（是正整数）对应的点处出发，则第1次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第2024次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第（是正整数）次跳动的落点位置表示的有理数是多少？第几次跳动的落点位置是原点？ 【答案】(1)，， (2)，，第16次 (3)，，第次 【分析】本题主要考查有理数的加减运算及整数的加减运算，解题的关键是理解题意； （1）根据有理数的加减运算可分别得出前6次跳蚤落点所表示的数，然后根据此规律可进行求解； （2）同理（1）可进行求解； （3）根据（1）（2）所得规律可进行求解 【详解】（1）解：根据题意可知，第1次跳动的落点位置表示的有理数是， 第2次跳动的落点位置表示的有理数是， 第3次跳动的落点位置表示的有理数是， 第4次跳动的落点位置表示的有理数是， 第5次跳动的落点位置表示的有理数是， 第6次跳动的落点位置表示的有理数是， … ∴第2024次跳动的落点位置表示的有理数是． （2）解：跳蚤从对应的点处出发，第1次跳动的落点位置表示的有理数是， 同理（1）可知：第2024次跳动的落点位置表示的有理数是 ， 因为， 所以第16次跳动的落点位置是原点． （3）解：第1次跳动的落点位置表示的有理数是， ∴第2024次跳动的落点位置表示的有理数， 第（是正整数）次跳动的落点位置表示的有理数是 ， 所以第次跳动的落点位置表示的有理数是， 易知，令， 解得， 所以， 故第次跳动的落点位置是原点． 32．（24-25七年级上·广西百色·期中）综合与实践 【问题情境】 如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合． （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是________； （2）在（1）条件下，如果圆片Q点在数轴A点的位置再向右滚动3周，到达B点的位置，则点B所表示的数为________； 【问题拓展】 （3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，运动情况依次记录如表： 计次 第1次 第2次 第3次 滚动周数 计次 第4次 第5次 第6次 滚动周数 第6次向右滚动m（m为正整数）周后，点Q与原点的距离为6． ①请求出m的值； ②当圆片结束6次滚动时，求点Q一共运动的路程． 【答案】（1）；（2）4；（3）①；②30个长度单位 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算以及数轴，准确理解题意　是解题的关键． （1）利用点表示的数转动的周数，即可求出结论； （2）利用点表示的数点表示的数转动的周数，即可求出答案； （3）①利用点与原点的距离每次转动的周数之和，可列出关于的一元一次方程，即可得到答案． ②利用点运动的路程每次转动的周数的绝对值之和，即可求出答案． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：； （2）根据题意可得：， 故答案为：； （3）① 解得 ② 答：点Q一共运动的路程为30个长度单位． 33．（23-24七年级上·广西桂林·期中）【综合与实践】 外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 七 送餐量（单位：单） (1)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (2)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)49单 (2)1790元 【分析】本题考查正负数的应用、有理数四则运算应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）先求得表格数据的平均数，再加上标准数40即可求解； （2）根据工资底薪及补贴标准列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意， （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐49单； （2）解： （元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1790元． 34．（24-25七年级上·山东济南·期中）综合与实践 探究喷墨打印机的工作原理 素材1 喷墨式双向打印机通过喷射墨水完成文件打印．如图1，打印机外框架上有一根水平杆，喷头架在水平杆上来回移动完成喷墨．第一次，喷头架从左到右喷墨，停止后纸张向前移动；第二次，喷头架从停止处出发，反向完成喷墨，如此往复． 素材2 如图2，以这根水平杆所在的直线建立数轴，以水平杆的中点为原点，以向右的方向为正方向，用一个单位长度表示．已知喷头架的初始位置为，向右个单位长度记为，向左个单位记为，以下记录了喷头架的次运动情况：，，，，，． 问题解决 任务1 确定位置 经过次喷墨后，确定喷头架的最终位置． 任务2 确定路程 经过次喷墨后，求出喷头架移动的总路程． 【答案】任务一：喷头架在初始位置；任务二：． 【分析】本题考查了有理数的加法应用，正负数的应用，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．任务一：把次运动的数据加起来，即可求解；任务二：把次运动数据的绝对值相加即可求解． 【详解】任务一：， 答：喷头架在初始位置；   任务二：， 答：喷头架移动的总路程为． 35．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）综合与实践 【问题的发现与提出】 巴黎时间2024年8月4日晚上，在巴黎奥运会男子米混合泳接力决赛中，中国队夺得金牌，打破美国长达四十年的垄断．小明是在北京时间8月5日凌晨观看的现场直播，他知道两地存在时间上的差异，即时差．为了解时差的奥秘，小明查阅并整理了相关资料． 【资料的查询与整理】 时差产生的原因：地球可以看成一个球体，太阳光线不能同时照到地球的每一个角落．随着地球自西向东的自转，不同经度上的地方就会在不同的时间接收到太阳光，这就导致了各地时间的差异．显然，地球上相对东面的位置比西面的位置更早接收到太阳光，时间自然比西面要早． 时区制度的设立：国际上规定，以英国格林尼治天文台所在的经线为零度经线，根据地球自转的方向，将地球表面按从东到西，每隔划分为1个区域，可以得到24个区域，即24个时区，并规定零度经线所在的时区（西经一东经的区域）称为中时区（零时区），中时区以东有12个时区，依次记为东一区至东十二区，以西也有十二个时区，依次记为西一区至西十二区，由于地球形状的影响，最终东十二区和西十二区合为一个时区．在同一时区内各地的时间相同，不同时区内各地有各自的时间，每相邻时区的时差为1小时．这样，当一个时区是中午12点时，相邻的时区可能是下午1点或早上11点． 时区设立的意义：时区制度的设立是为了适应人类社会发展的需要，提供一个全球统一的时间框架，以便于跨地域的交流和活动． 【问题的理解与应用】 由于中时区又称为零时区，好比数轴上的原点，东区好比正半轴，西区好比负半轴．所有时区与中时区的时差都等于和中时区相比的那个时区的时区数．比如东八区就与中时区相差8小时，时区数是八．又由于所有相邻的时区时刻都相差1小时，这样东一区与西一区之间的中时区，就好比数轴上与之间的0一样．将数轴上的数与时区对应的点、经度对应起来，可以用下图来表示： 其中E表示东经，对应点；W表示西经，对应点； E表示东经，对应点；数字1表示东一区（从东经到东经之间的区域）；对应点． 法国巴黎和中国北京分别采用东经（东一区）和东经（东八区）的时间，因此北京时间比巴黎时间要早7个小时．例如，巴黎时间8月4日，就是北京时间8月5日凌晨． 【问题的解决与实践】 (1)A，，三地分别采用经度是东经15°，东经120°和西经120°的时间，将三地用背景材料中数轴上的数简明地表示，分别是____________； (2)下一届奥运会将于2028年在美国洛杉矶举行，洛杉矶采用西八区的时间． ①若北京时间是2024年10月10日13：00，洛杉矶时间是____________； ②若2028年洛杉矶奥运会的某一项游泳比赛于当地时间7月20日19：00进行，请你推算此时的北京时间． 【答案】(1)1，8， (2)①2024年10月9日；②2028年7月21日 【分析】本题属于跨学科题，主要考查了数轴的应用，将实际问题转化为数轴问题成为解题的关键． （1）根据阅读材料和数轴知识即可解答； （2）先确定法国巴黎和中国北京，所在的时区，然后结合数轴的正负即可解答． 【详解】（1）解：∵A，，三地分别采用经度是东经15°，东经120°和西经120°的时间， ∴A在东一区，B在东八区，C在西八区， ∴A，，三地数轴上表示的数分别为：1，8，． 故答案为：1，8，． （2）解：∵洛杉矶和中国北京分别采用西八区和东八区的时间， ∴北京时间比巴黎时间要早16个小时， ∴①当北京时间是2024年10月10日13：00，洛杉矶时间是2024年10月9日； ②当洛杉矶时间7月20日19：00，北京时间为：2028年7月21日． 36．（24-25七年级上·广西柳州·期中）综合与实践 【知识再现】我们都知道，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，因为原点表示的数是0，所以，由此可知，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为数轴上分别表示7与的两点之间的距离，所以； 【问题初探】阅读以下材料，并回答问题： 如图，把一根长度为木棒放在一条数轴（单位长度为）上，它的两端分别落在点处，将木棒在数轴上水平移动，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为17，当点移动到处时，点与点重合，此时点对应的数为5． （1）由此可得，____________，的值为____________． （2）图中点所表示的数是____________，点所表示的数是____________． 【拓展应用】 （3）借助上述方法解决下列问题： 一天，小华去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我已经是109岁的老寿星了，哈哈”小华纳闷，奶奶到底是多少岁？ 请你画出示意图，求出小华和奶奶现在的年龄，并说明解题思路． 【答案】（1）12，4；（2）9，13；（3）小华今年13岁，奶奶今年61岁，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴及绝对值的含义，并能将题中结论应用是解本题的关键，综合性较强，难度适中． （1）根据数轴上两点间距离直接求解； （2）根据数轴上两点的几何意义直接求解； （3）奶奶与小华的年龄差不变，借助数轴，把奶奶与小华的年龄差看作木棒，再对应求值即可 【详解】解：（1）根据题意有， 5到点A的距离、点A到点B的距离、点B到17的距离相等，都等于木棒的长度a， ，， 12，的值为； 故答案为：12，4； （2）由（1）可知∶， 所表示的数是5， 点所表示的数是，点所表示的数是， 故答案为：9，13； （3）如图∶点A表示小华现在的年龄，点B表示奶奶现在的年龄， 借助数轴，把小华与奶奶的年龄差看作木棒，类似奶奶像小华那么大时看作当B点移动到A点时，此时点A所对应的数为．小华像奶奶那么大时看作当A点移动到B点时此时B点所对应的数为109． 可知奶奶比小华大（岁）． ，． 点A对应的数为13，点B对应的数为61． 答：小华今年13岁，奶奶现在的年龄为61岁． 37．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ 【答案】(1) (2)或1 (3)8秒或12秒 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，再找出数3表示的点关于点的对称点即可； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）分电子蚂蚁所在位置位于点的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数0表示的点重合， 折痕处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； （2）解：点到原点的距离是5个单位长度， 点A表示的数为5或， 点A表示的数为5时， ，， 点A表示的数为时， ，， 点表示的数为：或1； （3）解：当电子蚂蚁所在位置位于点的左侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 当电子蚂蚁所在位置位于点的右侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 即电子蚂蚁所用的时间为8秒或12秒． 38．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践： 七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动． 素材： 如图1是学校操场实物图，图2是操场部分跑道示意图，操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道（弯道是半圆形）组成，第一跑道（最内道）的总长度为．标准跑道一般设置8条跑道，跑道设置6条跑道，直道长均为，每道宽．在一个标准的跑道内，，，，等比赛跑道的起点不同，终点相同．（注：取3，跑道分界线的宽度忽略不计） 任务： (1)海安某校操场是跑道． ①求第一跑道弯道的半径； ②小明、小勇参加学校运动会比赛，小明在第一跑道，小勇在第二跑道，小明的速度是，小勇的速度是，他们同时跑向同一终点，问小明几秒能追上小勇？ (2)小丽、小红参加学校运动会比赛，若小丽在第三跑道，小红在最外圈跑道，并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸，求操场最外圈跑道的周长． 【答案】(1)①；②小明秒能追上小勇 (2)第四跑道周长为 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键： （1）①设第一跑道弯道半径为 R ，根据第一跑道全长由“两段直道两个半圆”组成，直道总长为，即可得到弯道的总长，由圆的周长公式即可求出半径；②两条相邻跑道半径相差，则第二跑道比第一跑道多出的长度为，再利用路程速度差时间列式计算即可； （2）根据题意，求出第四跑道与第三跑道整圈（）相差 ；再利用两条相邻跑道半径相差，由第一跑道整圈，求出第三跑道整圈的长度，最后加上第四跑道与第三跑道整圈的长度差 即可得出结果． 【详解】（1）解：①设第一跑道弯道半径为 R ， 第一跑道全长由“两段直道两个半圆”组成，直道总长为，弯道总长为 ， 则， 解得：； ②小明在第一跑道，小勇在第二跑道，均跑 比赛，小明的速度是，小勇的速度是， 两条相邻跑道半径相差，则第二跑道比第一跑道多出的长度为， 为保证二人比赛距离同为 ，第二跑道的起点要比第一跑道“向前”，这相当于小勇一开始比小明“领先”， 小明比小勇每秒快， 答：小明秒能追上小勇； （2）解：根据题意：小红在第四跑道， 两条相邻跑道半径相差，且第四跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸， 对应第四跑道的半圆跑道与第三跑道的半圆跑道相差，则两条跑道整圈（）相差 ， 第三跑道的全长可视为第一跑道的加上向外两道的长度差：每增加一条道（宽 ），整圈弯道长度增量为； 从第一跑道到第三跑道相差 ， 故第三跑道周长为， 因为第四跑道与第三跑道整圈相差 ， 所以第四跑道周长为． 39．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）【阅读理解】 一种中国自古以来就一直使用的纪年方法：干支纪年，以下是关于干支纪年的素材，请阅读后解决问题． 素材①：干支是天干和地支的总称，十天干依次为：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支依次为：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，即：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、……、辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑、……，每个组合代表一年，60年为一个循环，也称60年一甲子． 素材②：把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 天干的计算方法是：年份减3，除以10后，所得的余数； 地支的计算方法是：年份减3，除以12后，所得的余数． 以2024年为例，天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 素材③：十二地支又与十二生肖依次顺位相对应为：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪． 【解决问题】 (1)获得诺贝尔医学奖的中国科学家屠呦呦生于公历1930年，用干支纪年法她生于农历______年，她的属相是______年； (2)今年是伟大祖国75周年华诞，75年前的1949年用干支纪年法是农历______年； (3)六十甲子中有农历丁卯、丁丑、丁亥、丁酉、……，会不会出现“丁午”年？请说明理由． 【答案】(1)庚午，马 (2)己丑 (3)不会，理由见解析 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握天干地支纪年法的计算方法． （1）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （2）根据干支纪年法的计算方法求解即可； （3）由天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字可作出判断． 【详解】（1）解：∵屠呦呦生于公历1930年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法她生于农历庚午年，她的属相是马年； （2）解：∵75年前是1949年， ∴天干为：； 地支为：； ∴用干支纪年法是农历己丑年； （3）解：∵与天干中的单数个的字对应的字是地支的单数个字，而丁是第4个，是双数， 与之相对的字只能是地支中的第双数个字， ∵午”的排名是单数， ∴不会出现“丁午”年． 40．（23-24七年级上·全国·课后作业）综合与实践活动    （1）横行、竖列、对角线上的三个数之和分别是多少？你还能发现哪些相等的关系？ （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点？ （3）你能改变上述幻方中数字的位置，使它们仍然满足你发现的那些相等关系吗？ （4）在你构造的幻方中，最核心的位置是什么？有没有“成对”的数？ 归纳总结：三阶幻方的性质：每一________、每一________和________的三个数的和都相等． 【实践应用】 “九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．    在新“幻方”（图3所示）中，将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在，，分别表示其中的一个数，则的值为________． 【答案】归纳总结：横行，竖列，对角线上；实践应用：1 【分析】（1）分别计算横行、竖列、对角线上的三个数的和，即可出结论； （2）观察图形，即可得出结论； （3）根据三阶幻方的特点，改变数字的位置，即可验证其相等关系； （4）根据图中数据进行分析即可； （实践应用）根据题意得出最核心的位置是1，成对的数有“5和”，“4和”，“3和”，“2和0”，即可得出a、b、c的值，即可求解； 【详解】解：（1）横行：，，， 竖列：，，， 对角线：，， 相等关系为：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和都相等； （2）如果把和相等的每一组数分别连线，这些线段会构成一个“米”字形， 该图形是中心对称图形，也是轴对称图形； （3）如图所示：    （4）最核心的位置是5，有成对的数，“9和1”，“8和2”，“7和3”，“6和4”，其中“9和1”，“7和3”，只能在核心位置的“上下”或“左右”出现； 归纳总结：三阶幻方的性质：每一横行、每一竖列和对角线的三个数的和都相等． 故答案为：横行、竖列、对角线上； 实践应用：∵使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴最核心的位置是1，成对的数有“5和”，“4和”，“3和”，“2和0”， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是仔细观察，正确计算，总结出题目所给“三阶幻方”的特征． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$