专题03 有理数的简便运算技巧及新定义压轴（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

**基本信息** 以“通法-题型-压轴”三级体系构建有理数运算突破路径，通过6类简便运算技巧、5种新定义转化策略及6大规律探究方法培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法归纳|运算律逆用、符号法则、抽象符号转化|从运算本质到符号转化，构建基础逻辑| |题型归纳|3题型（含6+5+6方法）|凑整/拆项/裂项等技巧，新定义转化，规律探究策略|从具体运算到抽象定义再到规律发现，层层递进| |压轴挑战|20道综合题|复杂问题分层拆解、多方法融合应用|整合前序方法，对接中考压轴题思维要求|

专题03 有理数的简便运算技巧及新定义压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的简便运算 类型二、有理数的新定义问题 类型三、有理数的规律探究 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数简便运算与新定义压轴题是初中数学代数板块的核心重难点。有理数运算题型均围绕“运算律逆用、数字结构特征、化繁为简”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是凑整与拆项必须严格遵循四则运算顺序与符号法则，二是新定义问题必须将抽象符号精准转化为常规代数式或几何图形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的简便运算 典例1 计算：． 题型模版 一、凑整法 题型特征：算式中存在相加可得整数、互为相反数或同分母的数。 解题技巧：运用加法交换律和结合律，优先将能凑成整数或相互抵消的数结合在一起计算。 二、拆项法 题型特征：算式中包含带分数或较大的假分数。 解题技巧：将带分数拆分为“整数部分”与“真分数部分”，再分别将整数与整数、分数与分数结合计算。 三、组合法 题型特征：算式项数较多，且符号或数字呈现一定的周期性规律。 解题技巧：观察算式规律，将相邻的几个数分为一组（如四个一组），先计算每组的和，再计算总和。 四、裂项相消法 题型特征：算式为多个分数相加，且分母可表示为两个连续自然数的乘积（如 $\frac{1}{n(n+1)}$）。 解题技巧：将每个分数裂项为两个分数之差（如 $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$），相加后中间项会相互抵消，仅剩首尾两项。 五、逆用分配律 题型特征：多个乘积相加或相减，且各乘积中含有相同的因数。 解题技巧：逆用乘法分配律，提取公共因数，将原式转化为一个数乘以几个数的和（或差）的形式，使计算简化。 六、倒数法 题型特征：复杂的分数除法，直接计算较为繁琐。 解题技巧：先求出原式的倒数，利用除法变乘法及分配律进行简便计算，最后再将结果取倒数得到原式的值。 变式1-1． 变式1-2用适当方法计算 (1) (2) 变式1-3 计算： 类型二、有理数的新定义问题 典例2 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 题型模版 一、新运算规则型 题型特征：题目引入一种新的运算符号（如※、⊕、*等），并给出该运算的具体代数法则（如 $a※b = 2a - b$）。 解题技巧：严格按照题目给定的“新规则”代入计算。特别注意：新运算通常不具备交换律和结合律，切勿随意套用常规运算律；若遇到多重括号，必须从最内层括号开始依次向外计算。 二、概念与条件判断型 题型特征：给出一个全新的数学概念或名词（如“伴随数对”、“平衡数”等），并附带特定的成立条件或等式。 解题技巧：首先准确理解新概念的内涵，将其转化为常规的代数式或方程。随后利用现有的代数知识（如解方程、化简代数式）进行求解，本质上是“披着新外衣”的旧知识。 三、规律探究与函数型 题型特征：给出一个运算符号（如 $f$）对部分具体数值的运算结果，要求发现其中的规律，并推导一般公式或进行连乘、连加计算。 四、数轴与几何背景型 题型特征：结合数轴上的点，定义两点之间的某种特殊关系（如“半距点”、“k倍分点”、“距离坐标”等）。 解题技巧：将抽象的新定义转化为数轴上的线段长度关系或绝对值方程。注意点在数轴上的位置可能不唯一，解题时往往需要进行分类讨论，避免漏解。 五、程序流程型 题型特征：以框图或流程图的形式，给出一个包含判断条件和运算步骤的数值运算程序。 解题技巧：理清程序的执行逻辑，明确输入值与输出值之间的代数关系。若已知输出求输入，通常需要列出方程或不等式进行逆向求解，同时要注意检验结果是否满足流程图中的判断条件。 变式2-1定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 变式2-2【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 变式2-3对于任意的一个四位数，其百位数字与千位数字的平方和恰好为的十位和个位组成的两位数，则这个四位数为“平方和数”． 例如：，，是“平方和数”； 又如：，，，不是“平方和数”． (1)判断4652，5747是否为“平方和数”，并说明理由； (2)一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当、均是整数时，求出所有满足条件的． 类型三、有理数的规律探究 典例3 我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型模版 一、数字序列规律型 题型特征：给出一串有特定规律的有理数（如 1, -2, 3, -4...），要求找出下一个数、第 n 个数，或前 n 项的和。 解题技巧： 标序号：给每一项标上序号 n，寻找序号与对应数值的关系。 跳着看：若整体无明显规律，尝试将奇数项与偶数项分开观察。 符号与数值分离：若正负号交替，先用 (-1)^n 或 (-1)^{n+1} 表示符号，再单独观察数字的绝对值规律。 二、图形与数表规律型 题型特征：给出按特定规律排列的图形（如点阵、方块）或数表，要求推断某个位置的图形数量或数值。 解题技巧： 分层/分方向计数：将复杂图形拆解，分层或分方向寻找数量变化规律。 找“变量”：观察随着层数或行列数 n 的增加，图形数量是如何变化的（如等差、平方、乘积关系）。 表格规律：分别观察数表的行、列或对角线，寻找横向或纵向的数据递增/递减规律。 三、算式与等式规律型 题型特征：给出一组具有相同结构的算式或等式（如 1^2-1=1times0，2^2-2=2times1），要求写出第 n 个等式。 解题技巧： 对比左右两边：分别观察等式左边和右边随序号 n 变化的部分。 类比联想：将等式中的具体数字替换为序号 n，如“比序号小1的数”可表示为 n-1。 验证：写出推导出的第 n 个等式后，代入前两项进行验证。 四、循环规律型 题型特征：给出一组不断重复出现的数字、图形或运算结果，要求求第 n 项的值或末位数字。 解题技巧： 找周期：先写出前几项，找出一个完整的循环周期。 除法求余：用总项数除以周期长度，根据余数确定其在周期中的位置。 余数为0：若刚好整除，则对应周期内的最后一个元素。 五、迭代与函数规律型 题型特征：定义一个函数 f(n)，并规定 f_1(n)=f(n)，f_{k+1}(n)=f(f_k(n))，要求求多次迭代后的结果。 解题技巧： 逐步计算：耐心计算出前几次迭代的结果（如 f_1, f_2, f_3）。 寻找循环节：多次迭代往往会出现数字循环（如结果在几个数之间来回跳动），找出循环节即可推算出第 k 次的结果。 六、分组规律型 题型特征：将正整数按特定规律分组（如第一组1个数，第二组3个数，第三组5个数...），要求找某个数所在的组别及位置。 解题技巧： 找组内规律：明确每一组包含的数字个数（如奇数个）。 求前缀和：计算前 m 组总共包含多少个数字，利用等差数列求和公式建立不等式。 定位：通过相减确定目标数字在第 m+1 组中的具体位置（第几个）。 变式3-1在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图，为了计算的值，我们构造以下图形共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图，添加图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得，用此方法，可求得 ． (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则 ， ； ② （用含的代数式表示）． (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． (4)如图是一个边长为的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 变式3-2观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 2．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 4．已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：（4），，…那么第119个括号内的各数之和是（   ） A．874 B．1757 C．2658 D．3466 5．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，……以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个．①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 7．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 8．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 9．已知，则的整数部分是______． 10．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”，此时，规定，例如中，是“九九数”，；又如中，不是“九九数”，则： （1）______； （2）对于一个“九九数”，且为偶数，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“九九数”为______． 11．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 12．对于正数x，规定，例如，，则的结果是_________． 13．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为，且，则称为“二倍等和数”．规定．例如：，∵，∴是“二倍等和数”，则．若“二倍等和数”，则_____；若为“二倍等和数”，恰好能被整除，则的最大值与最小值的差为______． 14．观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 15．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 16．计算 17．计算： 18．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 19．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 20．给定一个三位正整数的后两位数字相同且各位数字均不为，则称这个数为“喜洋洋数”；若把这个数的百位数字放到后两位数字组成的数的后面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“步步高数”；记一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差为，例如，为“喜洋洋数”，则就为它的“步步高数”，． (1)______，______； (2)已知一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差，求喜洋洋数”的值； (3)已知一个“喜洋洋数”的百位数字是，且关于的方程有整数解，求所有满足条件的的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的简便运算技巧及新定义压轴 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的简便运算 类型二、有理数的新定义问题 类型三、有理数的规律探究 —攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 有理数简便运算与新定义压轴题是初中数学代数板块的核心重难点。有理数运算题型均围绕“运算律逆用、数字结构特征、化繁为简”三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是凑整与拆项必须严格遵循四则运算顺序与符号法则，二是新定义问题必须将抽象符号精准转化为常规代数式或几何图形。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、有理数的简便运算 典例1 计算：． 【答案】 【分析】对每一项进行化简，再用裂项相消法计算求和． 【详解】解： ． 题型模版 一、凑整法 题型特征：算式中存在相加可得整数、互为相反数或同分母的数。 解题技巧：运用加法交换律和结合律，优先将能凑成整数或相互抵消的数结合在一起计算。 二、拆项法 题型特征：算式中包含带分数或较大的假分数。 解题技巧：将带分数拆分为“整数部分”与“真分数部分”，再分别将整数与整数、分数与分数结合计算。 三、组合法 题型特征：算式项数较多，且符号或数字呈现一定的周期性规律。 解题技巧：观察算式规律，将相邻的几个数分为一组（如四个一组），先计算每组的和，再计算总和。 四、裂项相消法 题型特征：算式为多个分数相加，且分母可表示为两个连续自然数的乘积（如 $\frac{1}{n(n+1)}$）。 解题技巧：将每个分数裂项为两个分数之差（如 $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$），相加后中间项会相互抵消，仅剩首尾两项。 五、逆用分配律 题型特征：多个乘积相加或相减，且各乘积中含有相同的因数。 解题技巧：逆用乘法分配律，提取公共因数，将原式转化为一个数乘以几个数的和（或差）的形式，使计算简化。 六、倒数法 题型特征：复杂的分数除法，直接计算较为繁琐。 解题技巧：先求出原式的倒数，利用除法变乘法及分配律进行简便计算，最后再将结果取倒数得到原式的值。 变式1-1． 【答案】 【分析】设①，将两边同时乘3，得②， ，得，设③， 将两边同时乘3，得④，，得，进而可得． 【详解】解：设①， 将两边同时乘3，得 ②， ，得 ， ， 设③， 将两边同时乘3，得 ④， ，得 ， 故， ， ， ． 变式1-2用适当方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式拆分为两部分求和，分别计算后作差得结果； （2）先化简找出规律，再用裂项相消法抵消中间项，计算剩余项得结果． 【详解】（1）解： ∵，，，，共项，和为， ，，，，共项，和为， ∴原式； （2）解：对于第项，， ∴分母乘积为， ∴第项为， ∴ ． 变式1-3 计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的化简．先观察分子分母的规律，分子分母每一项都有相同的倍数关系，可以提取公因式进行化简． 【详解】解：原式 ． 类型二、有理数的新定义问题 典例2 在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 题型模版 一、新运算规则型 题型特征：题目引入一种新的运算符号（如※、⊕、*等），并给出该运算的具体代数法则（如 $a※b = 2a - b$）。 解题技巧：严格按照题目给定的“新规则”代入计算。特别注意：新运算通常不具备交换律和结合律，切勿随意套用常规运算律；若遇到多重括号，必须从最内层括号开始依次向外计算。 二、概念与条件判断型 题型特征：给出一个全新的数学概念或名词（如“伴随数对”、“平衡数”等），并附带特定的成立条件或等式。 解题技巧：首先准确理解新概念的内涵，将其转化为常规的代数式或方程。随后利用现有的代数知识（如解方程、化简代数式）进行求解，本质上是“披着新外衣”的旧知识。 三、规律探究与函数型 题型特征：给出一个运算符号（如 $f$）对部分具体数值的运算结果，要求发现其中的规律，并推导一般公式或进行连乘、连加计算。 四、数轴与几何背景型 题型特征：结合数轴上的点，定义两点之间的某种特殊关系（如“半距点”、“k倍分点”、“距离坐标”等）。 解题技巧：将抽象的新定义转化为数轴上的线段长度关系或绝对值方程。注意点在数轴上的位置可能不唯一，解题时往往需要进行分类讨论，避免漏解。 五、程序流程型 题型特征：以框图或流程图的形式，给出一个包含判断条件和运算步骤的数值运算程序。 解题技巧：理清程序的执行逻辑，明确输入值与输出值之间的代数关系。若已知输出求输入，通常需要列出方程或不等式进行逆向求解，同时要注意检验结果是否满足流程图中的判断条件。 变式2-1定义：表示正整数的所有正因数的个数，例如有个正因数：、、，则．设，其中表示取遍的所有正因数再求和．例如．则________． 【答案】 【分析】根据题意理解定义，找全正因数个数，相加计算即可． 【详解】解：根据题意可知，的正因数：、、、、、共有个 ∴， 根据题意可知，， ∴，，， ∵的正因数：、、、有个， ∴， ∵的正因数：、、有个， ∴， ∵， ∴． 变式2-2【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把n个相除记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果：____； 【深入思考】我们会发现，有理数的除方运算可以转化为乘方运算，并化成幂的形式． 例如： （2）类比上面的计算过程，请将运算转化为幂的形式，要求写出转化过程； （3）利用上述规律计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，除方的运算法则，解题的关键在于正确理解除方的运算法则． （1）根据除方的运算法则，以及有理数的乘除运算法则计算求解，即可解题； （2）根据除方的运算法则，以及有理数乘方整理求解，即可解题； （3）根据除方的运算法则，以及含乘方的有理数的混合运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2） ． （3）原式 ． 变式2-3对于任意的一个四位数，其百位数字与千位数字的平方和恰好为的十位和个位组成的两位数，则这个四位数为“平方和数”． 例如：，，是“平方和数”； 又如：，，，不是“平方和数”． (1)判断4652，5747是否为“平方和数”，并说明理由； (2)一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，当、均是整数时，求出所有满足条件的． 【答案】(1)4652是“平方和数”，5747不是“平方和数” (2)满足条件的为2868，5550，8268 【分析】（1）根据定义计算解答即可； （2）根据题意，得一定是10的倍数，根据的千位数字为，百位数字为，得到，根据是整数，分类计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“平方和数”； ，， 不是“平方和数”； （2）解：一个“平方和数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ， ， ，是整数， 一定是10的倍数， 的千位数字为，百位数字为， ， ， ， 当时，，，不是整数，不符合要求； 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，不是整数，不符合要求， 当时，，，是整数，符合要求，此时“平方和数”； 当时，，，不是整数，不符合要求； 综上所述，满足条件的为，，． 类型三、有理数的规律探究 典例3 我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数制转换，算盘的算珠表示规则及数字表示的逻辑推理，根据题意理解十六进制转十进制的规则，再分析算盘的算珠表示规则，将十进制数88转化为十六进制数，逐一验证选项中算盘的算珠表示是否对应，选出正确选项即可． 【详解】解：A项：，不符合题意； B项：，不符合题意； C项：，符合题意； D项：，不符合题意， 故选：C． 题型模版 一、数字序列规律型 题型特征：给出一串有特定规律的有理数（如 1, -2, 3, -4...），要求找出下一个数、第 n 个数，或前 n 项的和。 解题技巧： 标序号：给每一项标上序号 n，寻找序号与对应数值的关系。 跳着看：若整体无明显规律，尝试将奇数项与偶数项分开观察。 符号与数值分离：若正负号交替，先用 (-1)^n 或 (-1)^{n+1} 表示符号，再单独观察数字的绝对值规律。 二、图形与数表规律型 题型特征：给出按特定规律排列的图形（如点阵、方块）或数表，要求推断某个位置的图形数量或数值。 解题技巧： 分层/分方向计数：将复杂图形拆解，分层或分方向寻找数量变化规律。 找“变量”：观察随着层数或行列数 n 的增加，图形数量是如何变化的（如等差、平方、乘积关系）。 表格规律：分别观察数表的行、列或对角线，寻找横向或纵向的数据递增/递减规律。 三、算式与等式规律型 题型特征：给出一组具有相同结构的算式或等式（如 1^2-1=1times0，2^2-2=2times1），要求写出第 n 个等式。 解题技巧： 对比左右两边：分别观察等式左边和右边随序号 n 变化的部分。 类比联想：将等式中的具体数字替换为序号 n，如“比序号小1的数”可表示为 n-1。 验证：写出推导出的第 n 个等式后，代入前两项进行验证。 四、循环规律型 题型特征：给出一组不断重复出现的数字、图形或运算结果，要求求第 n 项的值或末位数字。 解题技巧： 找周期：先写出前几项，找出一个完整的循环周期。 除法求余：用总项数除以周期长度，根据余数确定其在周期中的位置。 余数为0：若刚好整除，则对应周期内的最后一个元素。 五、迭代与函数规律型 题型特征：定义一个函数 f(n)，并规定 f_1(n)=f(n)，f_{k+1}(n)=f(f_k(n))，要求求多次迭代后的结果。 解题技巧： 逐步计算：耐心计算出前几次迭代的结果（如 f_1, f_2, f_3）。 寻找循环节：多次迭代往往会出现数字循环（如结果在几个数之间来回跳动），找出循环节即可推算出第 k 次的结果。 六、分组规律型 题型特征：将正整数按特定规律分组（如第一组1个数，第二组3个数，第三组5个数...），要求找某个数所在的组别及位置。 解题技巧： 找组内规律：明确每一组包含的数字个数（如奇数个）。 求前缀和：计算前 m 组总共包含多少个数字，利用等差数列求和公式建立不等式。 定位：通过相减确定目标数字在第 m+1 组中的具体位置（第几个）。 变式3-1在解决数学问题时，我们经常会用到“数形结合”的思想方法，它的核心在于建立“数”与“形”之间的关系，从而将抽象的数量关系用直观的图形表现出来． (1)如图，为了计算的值，我们构造以下图形共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图，添加图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得，用此方法，可求得 ． (2)如图3，观察点阵图，回答下列问题： ①， ， ， 则 ， ； ② （用含的代数式表示）． (3)小华在课后思考连续的偶数的和如何借助图形来找到规律，他做了如下尝试： 请你画出第四个图，并总结出规律： ． (4)如图是一个边长为的正方形，请借助图形求的值．（要求：画出示意图，借助示意图求出式子的运算结果） 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】本题考查规律探究与归纳，代数式表示规律，掌握数形结合思想是解题关键． （1）用补全图形的方法，将数列的和转化为矩形的点数进行计算； （2）观察点阵中点的数量规律，归纳出从开始的连续奇数之和等于首末项之和的一半的平方； （3）通过图形面积的累加，归纳出连续偶数之和等于项数与项数加的乘积； （4）用正方形面积的连续三等分与截取，将数列的和转化为总面积减去最后剩余图形的面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，若要计算，添出另一半后的图形有个点， 则． 答：． （2）解：根据题意可知， ， ， ， ，， ． 答：，，． （3）解：第1图：， 第2图：， 第3图：， 则． 答：． （4）解：正方形边长为，则其面积为，求可画图如下： 第一步：将正方形三等分，取其中份，面积为； 第二步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第三步：将剩下的正方形再三等分，取其中份，面积为； 第四步：将剩下的​正方形再三等分，取其中份，面积为， 这四部分面积之和即为所求式子的值，而它等于正方形总面积减去最后剩下的一小块面积 ， 则． 答：． 变式3-2观察下列各式： ；；；； (1)根据你发现的规律，计算： ； (2)请用一个含n的代数式表示计算结果． ； (3)根据发现的规律，请计算的值．（写出必要的解题过程） 【答案】(1)55 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方的意义，通过拆分指数将原式转化为可利用乘方意义进行计算的形式，进而简便计算． 【详解】解：∵， ∴原式 ， 故选：A． 2．按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 3．在“□2□4□6□8□10□12□14□16”的“□”中填上“”或“”号，若运算结果为，则称数是“可被表示的数”．例如，，则称是“可被表示的数”．下列各数中是“可被表示的数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减运算，整除．先计算所有数的总和，再根据符号变化对结果的影响，推导可被表示的数的特征，进而判断选项． 【详解】解：∵， 设被改为“”号的数的和为，则运算结果， ∵所有数均为偶数，偶数的和为偶数，即为偶数， ∴是的倍数，又是的倍数， ∴必为的倍数， A．不是的倍数，不符合要求， B．不是的倍数，不符合要求， C．不是的倍数，不符合要求， D．是的倍数，符合条件， 故选：D． 4．已知数列4，7，10，13，16，…，将其中的各项依次按一项、二项、三项、四项循环的方式进行分组：（4），，…那么第119个括号内的各数之和是（   ） A．874 B．1757 C．2658 D．3466 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的计算以及规律探索，先根据题意可知第个数表示为，因为分组方式为每4个括号一循环，每个循环包含1、2、3、4项，第119个括号是第30个循环的第3个括号，含3个数，对应数列第294、295、296项，求和即可． 【详解】解：， 这列数的第个数可以表示为， ∵ 分组循环周期为4， ∴ 余 ， 故第119个括号为第30个循环的第3个括号， ∵ 每个循环总项数为 ， ∴ 前29个循环共 项， 第30个循环： 第1括号对应第291项， 第2括号对应第292、293项， 第3括号对应第294、295、296项， ∵第个数可以表示为， ∴ ， ， ， ∴ 和 ． 故选：C． 5．已知整数，，，，…满足下列条件：，，，，……以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的运算，找到规律是解题的关键． 通过计算前几项发现规律：当为奇数时，；当为偶数时，，由于是偶数，代入公式即可． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴当为奇数时，；当为偶数时，， ∵是偶数， ∴， 故选B． 6．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…．以此类推，得出下列说法中，正确的有（   ）个．①，，，；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出规律是关键． 通过计算操作序列发现周期性：每3次操作（12个数）循环一次，循环序列为. 说法①正确；说法②中对应周期中第7个数为，错误；说法③中前50项和为，错误． 【详解】解：∵ 初始数列， 一次操作：相反数得，与1的和的倒数得， 二次操作：对操作， 相反数得，与1的和的倒数得， ∴ 说法①正确； 三次操作：对操作， 相反数得，与1的和的倒数得， 序列周期为12：， 对于， ∵ ， ∴ 对应周期第7个数， ∴ 说法②错误； 对于前50项和，周期和， ∵ ， ∴ ， ∵ 和为周期5前两个数，与和相同， ∴ ，， ， ∴ 说法③错误. 综上，仅①正确， 故选：B． 7．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 8．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 9．已知，则的整数部分是______． 【答案】100 【分析】先确定中共有20个数，利用放缩法得到的取值范围，对不等式取倒数得到的取值范围，即可求出的整数部分． 【详解】解：对任意正整数满足，都有， .， 同理，对任意正整数满足，都有， ， 不等式各项均为正数， 对不等式取倒数得， 化简得：， 的整数部分为． 10．一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“九九数”，此时，规定，例如中，是“九九数”，；又如中，不是“九九数”，则： （1）______； （2）对于一个“九九数”，且为偶数，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“九九数”为______． 【答案】 或 【分析】（1）根据定义代入求值，进行判断即可；（2）先设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，根据为“九九数”，推出，，并求出的值为，求出，再根据是的倍数，推出是的倍数，根据的取值范围推出，然后根据为偶数，推出的可能取值为：，最后进行计算结合的千位数字不小于百位数字即可求解． 【详解】解：（1）中，，是“九九数”， ； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为， ∵为“九九数”， ∴，即，， ∴ ， ∴， ∵是的倍数，， ∴是的倍数， ∵各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为奇数，的可能取值为：， ∵的千位数字不小于百位数字，各个数位上的数字互不相等且均不为零， ∴， ∵时， 若，，符合题意，，，； 若，，符合题意，，，； 若，，不符合题意； 若，，不符合题意； ∴综上，满足条件的所有“九九数”为或． 11．对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 【点睛】题目给出线段长度和经过的点，必须先算出两条线段准确端点，理解新定义概念及算法：：两线段上点的最小距离（通常是右线段左端点左线段右端点），：两线段上点的最大距离（通常是右线段右端点左线段左端点），第二问中线段b位置不确定，必须分左右两种情况讨论，算出线段b的准确端点，对每种情况，用两点距离为6，找出符合条件的整数x、y，注意不漏解、不重解． 12．对于正数x，规定，例如，，则的结果是_________． 【答案】 【分析】此题考查了规律性计算问题的解决能力，关键是能准确理解并运用该知识、加法交换结合律和题目中的计算规定，先运用规定的计算法则进行逐一计算，再运用加法交换结合律进行求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为，且，则称为“二倍等和数”．规定．例如：，∵，∴是“二倍等和数”，则．若“二倍等和数”，则_____；若为“二倍等和数”，恰好能被整除，则的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义数字问题，整式化简，有理数运算，首先对于给定的，根据“二倍等和数”定义进行计算即可；设，则，又恰好能被整除，即可被整除，然后列出符合条件的“二倍等和数”，然后求其最大值与最小值的差，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴是“二倍等和数”， ∴， ∵为“二倍等和数”， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵恰好能被整除， ∴能被整除， ∵，，，即， ∴ 时，，则，故，不符合题意； 时，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； 时，，则，故，即为；或，故，不符合题意； 时，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意；或，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； ，，则，故，即为； 时，，则，故，不符合题意； ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为， 故答案为：，． 14．观察等式：，，，将这三个等式两边分别相加得． 计算______． 【答案】 【分析】本题考查了裂项相消法求和，关键是仿照题干将每一项进行拆分；通过观察分母为连续奇数的乘积，将每一项拆分为差的形式，利用裂项相消法求和． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．若“！”是一种运算符号，并且，，，，求． 【答案】 【详解】解：原式 ． 16．计算 【答案】 【分析】观察题干，找到规律，可得中间的相同数据两两结合进行加减，即可将原式化为，再进行有理数的混合运算即可． 【详解】解：原式 ． 17．计算： 【答案】1 【详解】解： ． 18．探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 19．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 20．给定一个三位正整数的后两位数字相同且各位数字均不为，则称这个数为“喜洋洋数”；若把这个数的百位数字放到后两位数字组成的数的后面组成一个新的三位数，则称这个新的三位数为“步步高数”；记一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差为，例如，为“喜洋洋数”，则就为它的“步步高数”，． (1)______，______； (2)已知一个“喜洋洋数”与它的“步步高数”的差，求喜洋洋数”的值； (3)已知一个“喜洋洋数”的百位数字是，且关于的方程有整数解，求所有满足条件的的值． 【答案】(1)；． (2) (3)，，， 【分析】本题考查整式加减的应用、解方程、有理数四则混合运算． (1)根据“喜洋洋数”和“步步高数”的定义进行计算； (2)设“喜洋洋数”为，则对应的“步步高数”是，可得：，即，可知，，即得到； (3)设“喜洋洋数”为，则对应的“步步高数”是，则有，可得，根据关于的方程有整数解，可知，，，，从而可得的值． 【详解】（1）解：“喜洋洋数”的“步步高数”是， ； “喜洋洋数”的“步步高数”是， ； 故答案为：；； （2）解：设“喜洋洋数”为且，， ， 对应的“步步高数”是， ， ， ，即， 由题意可得：，， ； （3）解：设“喜洋洋数”为，为不为的整数，， 则对应的“步步高数”是， ， 关于的方程可以变为：， 整理得：，由于方程有整数解，所以， 解得：， 关于的方程有整数解， ，，，， 当时，； 当时； 当时，； 当时，； 综上分析可知，，，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $