精品解析：河南省平顶山市宝丰县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年第二学期期末评估试卷 七年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年3月，国家卫健委提出实施“体重管理年”3年行动．下面运动标识是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，11 D. 5，12，13 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，添加一个条件，仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 三角形三条高交于一点 D. 一个等边三角形能分成8个全等的直角三角形 7. 如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 8. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯60秒，黄灯3秒，绿灯27秒，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图记录的是某型号光伏发电装置某天从早上6时到下午18时之间，发电功率（W）随时间（h）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 时间越接近12时，发电功率越大 B. 上午8时和下午16时，发电功率相同 C. 从早上10点到下午14点发电功率在逐渐增大 D. 发电功率超过的时间超过8小时 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，表示y与x关系的图象如右图所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 若一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是_______________． 13. 如图，若，则______． 14. 如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是______． 15. 如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是___________． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）用整式乘法公式计算：． 17. 某校购进了50筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育委员经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体跟商家反馈情况如下： 混入次品羽毛球数 0 1 2 筒数 36 m n （1）请写出m与n之间的关系式________； （2）从50筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则________． 在此基础上任意选取一筒，上述三种情况中，________出现的可能性最小． 18. 如图，在三角形中，点D，E分别在上，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，求的度数． 19. 作图题： （1）在如图所示的正方形网格中，画出2个不同的格点，使得与成轴对称； （2）尺规作图，保留作图痕迹：在中，如右图，，请用尺规在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别为，，． 20. 知识改变命运，科技改变未来．某校科技节启用无人机航拍活动，可根据需要调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设某次无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中实线所示，观察图象回答问题： （1）图中的自变量是________，因变量是________； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分； （3）无人机在50米高的上空停留的时间是________分钟； （4）图中的点表示________________． 21. 数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 （1）【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② （2）【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 22 某数学兴趣小组研究如下等式： ；；；；… 观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”． （1）初步感知：请根据你发现的规律，直接快速写出结果______； 任意选择一组两位数按照要求操作，能否得出正确的等式？请写出等式______； （2）猜想：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的运算规律是把______作为积的前两位，把______作为积的后两位（用文字语言表述）； （3）验证：设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，另一个两位数个位数字为c，且（，，），请用含a，b，c的等式表示这个运算规律，并用所学数学知识解释合理性． 23. 如图（1），点P是等边三角形内任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． （1）从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期末评估试卷 七年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2025年3月，国家卫健委提出实施“体重管理年”3年行动．下面运动标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：将数据0.000001125用科学记数法可表示为， 故选：B． 3. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，8 C. 5，5，11 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大的数即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A.较小的两数之和为，等于第三边3，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； B.较小的两数之和为，小于第三边8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； C.较小的两数之和为，小于第三边11，不满足三角形三边关系，不能构成三角形； D.较小的两数之和为，大于第三边13，满足三角形三边关系，能构成三角形； 故选：D 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及零指数幂． 根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方以及零指数幂计算即可． 【分析】解：A：，原计算错误； B：，原计算正确； C：，原计算错误； D：，原计算错误； 故选：B 5. 如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，添加一个条件，仍不能判断的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质和线段的和差关系可证明，，再根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加条件，则，可以根据证明，故A不符合题意； 添加条件，可以根据证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以根据证明，故C符合题意； 添加条件，可以根据证明，故D不符合题意； 故选：C． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 同位角相等 B. 有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 三角形的三条高交于一点 D. 一个等边三角形能分成8个全等的直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质，垂线的性质，三角形的高，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故A不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B不符合题意； C、锐角三角形、直角三角形的三条高交于一点，钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，故C不符合题意； D、连接等边三角形的三边中点，把原等边三角形分成4个小等边三角形，每个小等边三角形的高线把它分成2个全等的直角三角形，因此得到8个全等的直角三角形，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的高，垂线，等边三角形的性质，全等三角形的判定，关键是掌握垂线的性质，等边三角形的性质． 7. 如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 8. 小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯60秒，黄灯3秒，绿灯27秒，当他下次到达该路口时，遇到红灯的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法．用红灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：∵红灯60秒，黄灯3秒，绿灯27秒， ∴遇到红灯的概率是， 故选：D． 9. 如图记录的是某型号光伏发电装置某天从早上6时到下午18时之间，发电功率（W）随时间（h）变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 时间越接近12时，发电功率越大 B. 上午8时和下午16时，发电功率相同 C. 从早上10点到下午14点发电功率在逐渐增大 D. 发电功率超过时间超过8小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．由图象可知，时间越接近12时，发电功率越大，故选项正确，不符合题意； B．由图象可知，上午8时和下午16时，发电功率相同，故选项正确，不符合题意； C．由图象可知，从早上10点到下午14点发电功率先增大后减小，故选项错误，符合题意； D．由图象可知，8时至16时，发电功率超过， ∴发电功率超过的时间超过8小时，故选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是函数的图象，能根据函数图象判断出函数的增减性是解答此题的关键． 10. 如图，在长方形中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，表示y与x关系的图象如右图所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，点P运动到点D处；④当时，点P在线段或上． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键．先由图2为等腰梯形可得的值，判断出①是否正确，还可求得与的值；再根据三角形的面积公式可得的值，判断出②是否正确；然后结合图形可知当时，点运动到点处，判断出③是否正确；最后根据当点在上和当点在上，均可找到使成立的点，判断④是否正确，从而问题得解． 【详解】∵四边形是矩形， ，， ∵动点从点出发，沿的路径匀速运动， ∴那么点从到的运动时间等于点从到的运动时间， ∴图2为等腰梯形， ，故①正确； ， 当点在点时，并达到最大值， 当点在点时， ∴当点到达时，对应图2的，当点到达时，对应图2的， ∴在矩形中，， 此时的面积为， ，故②错误； ∵点运动的路程为，当时，点在上，， ∴当时，点运动到点处，故③正确； 当点在上且时，此时的面积为， 当点在上且时，此时的面积为， 所以当时，点在线段或上，故④正确． 综上，正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂运算，熟记负整数指数幂定义及运算公式求解是解决问题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是_______________． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】首先根据题意，可得：这个三角形的最大的角的度数占三角形的内角和的；然后根据三角形的内角和是，用180乘这个三角形的最大的角的度数占三角形的内角和的分率，求出最大的角的度数是多少，判断出这个三角形是什么三角形即可．此题主要考查了三角形的内角和定理，解答此题的关键是求出这个三角形的最大的角的度数是多少． 【详解】解：依题意 ∵一个三角形的三个内角度数之比为 ∴ 这个三角形的最大的角的度数是， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 13. 如图，若，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 连接，然后利用三角形内角和定理和平行线性质求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题. 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴的最大值为19． 故答案是19． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. 计算下列各题： （1）； （2）用整式乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由平方差公式、完全平方差公式展开，再去括号，最后合并同类项即可得到答案； （2）将恒等变形为，再由平方差公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查计算，涉及平方差公式、完全平方差公式、去括号法则、合并同类项、利用平方差公式进行简便运算等知识，熟练掌握整式乘法运算公式是解决问题的关键． 17. 某校购进了50筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育委员经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体跟商家反馈情况如下： 混入次品羽毛球数 0 1 2 筒数 36 m n （1）请写出m与n之间的关系式________； （2）从50筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则________． 在此基础上任意选取一筒，上述三种情况中，________出现的可能性最小． 【答案】（1） （2）随机；4；筒中混入2个次品羽毛球 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式、随机事件、简单的概率计算，熟练掌握概率的应用是解题关键． （1）根据三种情况的总筒数等于50可得，由此即可得； （2）①筒中有可能混入次品羽毛球，也有可能没有混入次品羽毛球，根据随机事件的定义即可得； ②先根据筒中混入1个次品羽毛球的概率为求出的值，再代入求出的值，然后根据上述三种情况的概率的大小关系即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵购进了50筒羽毛球以供学生使用，发现其中36筒没有混入次品羽毛球，筒有1个次品羽毛球，筒有2个次品羽毛球， ∴“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件， 故答案为：随机． ②∵购进了50筒羽毛球以供学生使用，发现其中36筒没有混入次品羽毛球，筒有1个次品羽毛球，筒有2个次品羽毛球，“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为， ∴， 解得， 又∵， ∴． 在此基础上任意选取一筒，筒中没有次品羽毛球的概率为，筒中混入1个次品羽毛球的概率为，筒中混入2个次品羽毛球的概率为， ∵， ∴筒中混入2个次品羽毛球出现的可能性最小， 故答案为：4；筒中混入2个次品羽毛球． 18. 如图，在三角形中，点D，E分别在上，且． （1）与平行吗？为什么？ （2）若平分，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只要证明即可解决问题． （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，即可得答案． 【小问1详解】 ， 理由：， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， 平分， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 19. 作图题： （1）在如图所示的正方形网格中，画出2个不同的格点，使得与成轴对称； （2）尺规作图，保留作图痕迹：在中，如右图，，请用尺规在边上作一点（点不与点重合），使的三个内角分别为，，． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查复杂作图-作对称图形、作角平分线，熟记对称性质及基本尺规作图-作角平分线的方法步骤是解决问题的关键． （1）根据对称性作图即可得到答案； （2）由题意分析，尺规作的角平分线即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 以上任选2个图即可满足题意； 【小问2详解】 解：中，如右图，， 作的角平分线即可， 如图所示： 点即为所求． 20. 知识改变命运，科技改变未来．某校科技节启用无人机航拍活动，可根据需要调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设某次无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中实线所示，观察图象回答问题： （1）图中的自变量是________，因变量是________； （2）在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分； （3）无人机在50米高的上空停留的时间是________分钟； （4）图中的点表示________________． 【答案】（1）操作无人机的时间，无人机的飞行高度 （2）25 （3）4 （4）当操作无人机的时间为15分钟时，飞行高度为0米，即无人机降落在地面 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，从函数图象中正确获取信息是解题关键． （1）无人机的飞行高度随着操作无人机的时间变化而变化，根据自变量和因变量的定义即可得； （2）根据函数图象可得无人机在时的高度为50米，时的高度为75米，利用上升的高度除以所用的时间即可得； （3）先根据无人机的速度求出的值，再利用6减去即可得； （4）根据无人机的速度建立方程，求出的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵无人机的飞行高度随着操作无人机的时间变化而变化， ∴图中的自变量是操作无人机的时间，因变量是无人机的飞行高度， 故答案为：操作无人机的时间，无人机的飞行高度． 【小问2详解】 解：由图象可知，无人机的速度为（米/分）， 故答案为：25． 【小问3详解】 解：由上已得：无人机的速度为25米/分， 则， 所以无人机在50米高上空停留的时间是（分钟）， 故答案为：4． 【小问4详解】 解：∵无人机的速度为25米/分， ∴， 解得， ∴图中的点表示当操作无人机的时间为15分钟时，飞行高度为0米，即无人机降落在地面， 故答案为：当操作无人机的时间为15分钟时，飞行高度为0米，即无人机降落在地面． 21. 数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型．图形与几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以达到解决问题的目的 （1）【模型探究】如图1，和中，，且，连接．这一图形称为“手拉手模型”． 求证，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴（ ）①． 即． … （ ）② （2）【类比推理】如图2，中，，以B为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求的度数．（提示：可构建手拉手模型，在上找一点E，使） 【答案】（1）等式的性质， （2）42° 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等式的性质可得，则可证明，再利用即可证明； （2）在上取一点E，使，连接，由等边对等角得到，则可证明，进而证明，得到，设和交于点O，由，可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴（等式性质）． 即． 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：在上取一点E，使，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设和交于点O， ∵， ∴． 22. 某数学兴趣小组研究如下等式： ；；；；… 观察发现以上等式均是“十位数字相同，个位数字之和是10的两个两位数相乘，且积有一定的规律”． （1）初步感知：请根据你发现的规律，直接快速写出结果______； 任意选择一组两位数按照要求操作，能否得出正确的等式？请写出等式______； （2）猜想：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的运算规律是把______作为积的前两位，把______作为积的后两位（用文字语言表述）； （3）验证：设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，另一个两位数个位数字为c，且（，，），请用含a，b，c的等式表示这个运算规律，并用所学数学知识解释合理性． 【答案】（1）5621，（答案不唯一） （2）十位数与比它大1的数的乘积，个位数的乘积 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的应用，正确表示出两个乘数是解题的关键． （1）利用所给规律可直接得出答案； （2）根据题干信息的提示，总结归纳即可； （3）两个乘数可以表示为和，积可以表示为，根据多项式乘多项式，结合可证． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：猜想：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的运算规律是把十位数与比它大1的数的乘积作为积的百位及以上部分，把个位数的乘积作为积的后两位（若乘积是一位数，十位补零）； 【小问3详解】 解：用代数式表示规律：； 理由如下： ， ， ∵， ∴左边右边，等式成立． 23. 如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长． （1）从特殊情形入手： ①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________； ②若点P在一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由． （2）若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线． 【答案】（1）①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【小问1详解】 解：①∵点在等边的中心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， ∵， ∴ ∴四边形是矩形，同理四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$