专题2.9 有理数（章节复习）（知识梳理+26个高频易错考点讲练 共52题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题2.9 有理数（章节复习） （知识梳理+26个高频易错考点讲练 共52题） 考点讲练1：正负数的实际应用 4 考点讲练2：带“非”字的有理数 5 考点讲练3：用数轴上的点表示有理数 7 考点讲练4：利用数轴比较有理数的大小 8 考点讲练5：数轴上点的平移（动点问题） 10 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 12 考点讲练7：化简多重复号 13 考点讲练8：相反数的应用 14 考点讲练9：绝对值得几何意义 16 考点讲练10：绝对值非负性 18 考点讲练11：绝对值得其他应用 21 考点讲练12：有理数的大小比较 23 考点讲练13：有理数大小比较的实际应用 24 考点讲练14：有理数加减中的简便运算 26 考点讲练15：有理数加减中的简便运算的实际应用 28 考点讲练16：有理数乘除的混合运算 30 考点讲练17：有理数的乘方运算 32 考点讲练18：有理数乘方的逆运算 35 考点讲练19：乘方运算的符号规律问题 37 考点讲练20：科学计数法表示绝对值大于1的数 39 考点讲练21：将用科学计数法表示的数变回原数 40 考点讲练22：有理数四则混合运算 41 考点讲练23：有理数四则混合运算的实际应用 44 考点讲练24：程序流程图与有理数计算 45 考点讲练25：算“24”点 46 考点讲练26：含乘方的有理数混合运算 48 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 考点讲练1：正负数的实际应用 1．（20-21七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 【答案】C 【思路引导】用减去前5次各数与8：00的水位和，然后即可做出判断． 【规范解答】解：0-（0.5-0.8+0-0.2-0.3-0.1）=0.9． 故选：C． 【考点剖析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 2．（20-21七年级上·贵州贵阳·阶段练习）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5% 【思路引导】（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩； （2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答． 【规范解答】解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36． （2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%． 【考点剖析】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ． 考点讲练2：带“非”字的有理数 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，． 自然数集{ ……}； 正有理数集{ ……}； 负有理数集{ ……}； 非负数集{ ……}； 整数集{ ……}； 分数集{ ……}． 【答案】见解析 【思路引导】根据有理数的分类：整数和分数统称为有理数；有理数分为：正有理数、零、负有理数，把对应的数填入空中即可． 【规范解答】解：自然数集{、、……}， 正有理数集{、、、……}， 负有理数集{、、、、……}， 非负数集{、、、、、……}， 整数集{、、、、……}， 分数集{、、、、……}． 【考点剖析】本题主要考查了有理数的分类，正确理解相关知识点是解题关键． 4．（22-23七年级上·四川成都·期中）把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，． 正有理数集{______……}                负有理数集{______……}； 非负数集{______……}；                整数集{______……}；                 分数集{______……}． 【答案】，，；，，， ；，0，，；，0，，；，，，． 【思路引导】根据有理数分类逐个判断即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得， 正有理数集：，，， 负有理数集：，，， ， 非负数集： ，0，，， 整数集：，0，，， 分数集：，，，， 故答案为：，，；，，， ；，0，，；，0，，；，，，． 【考点剖析】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握几个定义． 考点讲练3：用数轴上的点表示有理数 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2) (3)点M，N之间的距离为3或9 【思路引导】本题考查数轴上点所表示的数以及两点间距离的计算，解题的关键是根据已知点确定数轴上的单位长度，进而确定各点表示的数，再依据距离公式求解． （1）先确定数轴上的单位长度，从而找出原点及点表示的数． （2）确定B，C，D三点表示的数，计算三点对应数的和并求出的值． （3）确定点M，N可能表示的数，分情况计算两点间的距离． 【规范解答】（1）已知点A表示的数是，点H表示的数是到H的距离为， 因为A到H之间有7个间隔，所以每个间隔的距离为． 从点向左数1个间隔到点，所以表示原点的是点． 点E在点A右侧3个间隔处，那么点E表示的数为， 故答案为：； （2）解：点在点右侧1个间隔处，所以点表示的数是， 点在点右侧2个间隔处，点表示的数是， 点D在点A右侧3个间隔处，点D表示的数是， 所以， ； （3）解：由题意可知F：， 因为点M到点F距离为3，所以点M表示的数是1或 因为点N到点F的距离为6，所以点N表示的数是或4． ；； ；； 综上，点M，N之间的距离为3或9． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“<”连接． 【答案】数轴见解析，． 【思路引导】本题主要考查了数轴表示数、数轴上比较数的大小、数的化简等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先把各数化简，然后在数轴上表示，最后根据大小比较原则排序即可． 【规范解答】解：由，，则在数轴上表示如下： ， 所以． 考点讲练4：利用数轴比较有理数的大小 7．（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知有理数． (1)把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． (2)①在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______； ②在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______． 【答案】(1)数轴表示见解析，＜＜＜＜ (2)①5；②1.5． 【思路引导】本题考查的是数轴上的点，有理数的大小比较以及两点间距离，解答此题的关键是熟知数轴上右边的数总大于左边的数． （1）先在数轴上表示出各数，再按照数轴的特点从左到右用“＜”把各数连接起来即可． （2）①先化简有理数，再根据两点间距离公式求解即可． 【规范解答】（1）解：， 再把在数轴上表示如下： ∴； （2）解：①∴ ∴有理数与对应的两点之间的距离为； 故答案为：5 ②，， ∴与对应的两点之间的距离为 故答案为：1.5 8．（24-25七年级上·海南海口·期中）有理数：、、3.2、0、2、． (1)在下图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； (3)把这6个数分别填入表示它所在的数集的圈里： (4)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有_____． (5)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)、、0、 (5) 【思路引导】此题考查数轴，绝对值，和有理数的分类及比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数的相关概念． （1）先在数轴上表示出各个数即可； （2）由（1）的数轴即可得出答案； （3）根据正数、整数及负数的概念进行解答即可； （2）根据相反数的定义和绝对值的定义得出即可； （3）由（1）的数轴上距离最远的两点作差进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， 如图所示． （2）由（1）数轴可得：； （3）如图所示． （4）负数和0的绝对值等于它的相反数， 这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有、、0、， 故答案为：、、0、； （5）由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是， 考点讲练5：数轴上点的平移（动点问题） 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 【答案】(1)B， (2)B， (3)1 (4)见解析 【思路引导】本题考查用数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移： （1）根据向左移动减求出点B表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向右移动加求出点A表示的数，然后作出判断即可； （3）根据向左移动减求出点C表示的数，用点B所表示的数减去点C所表示的数即可； （4）根据A、B、C有一点不移动，分三种情况讨论． 【规范解答】（1）解：三点表示的数分别是，，， 将点B向左移动4个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （2）解：将点A向右移动3个单位长度后表示的数是：，， 因此点B所表示的数最小，是， 故答案为：B，； （3）解：将点C向左移动6个单位长度后表示的数为：， ， 因此点B表示的数比点C表示的数大1； 故答案为：1； （4）解：有三种不同的移动方法： ①将点A向右移动2个单位长度，将点C向左移动5个单位长度； ②将点A向右移动7个单位长度，将点B向右移动5个单位长度； ③将点B向左移动2个单位长度，将点C向左移动7个单位长度． 10．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【思路引导】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【规范解答】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 11．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 【答案】(1)①；②； (2)A 【思路引导】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断大小关系； （2）根据，，可判断出m和n异号，进而可得p为正数，结合可得n为负数． 【规范解答】（1）解：①由数轴可知； ②由数轴可知，， ，， 故答案为：，； （2）解： ，， m和n异号， 由数轴可知m，n，p中有两个正数，一个负数， p为正数， ， ， n为负数， 表示有理数n的为点A． 故答案为：A． 12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 考点讲练7：化简多重复号 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 【答案】(1)，0，2 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据数轴的意义，写出有理数即可： （2）根据数轴的意义，，再数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上，靠近右边的数大于其左边的数，解答即可． 本题考查了数轴上表示有理数，多重符号化简，数轴上有理数的大小比较，正确理解大小比较的原则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据数轴的意义，得数轴上A，B，C各点分别表示的有理数为：，0，2． （2）解：，数轴表示如下： （3）解：根据题意，得． 14．已知，，的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】②③⑤ 【思路引导】根据数轴先求出a、b和c的取值范围，再逐一进行判断即可得出答案. 【规范解答】由图可得，b<0，0<a<c ∴b+a+(-c)<0，故①错误；-a-b+c>0，故②正确；，故③正确；，故④错误；，故⑤正确；故答案为②③⑤. 【考点剖析】本题考查的是数轴、相反数和绝对值的综合应用，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识. 考点讲练8：相反数的应用 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【规范解答】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 16．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 【答案】(1)，， (2)点表示的数为，两点间的距离为 (3) 【思路引导】（）根据数轴上点的位置及，可得与互为相反数，利用相反数性质计算即可求解； （）根据两点间的距离列出算式，计算即可得到结果； （）根据数轴上点的位置判断出的正负，然后利用绝对值的代数意义化简即可得到结果； 本题考查了数轴与有理数，两点间距离，化简绝对值，掌握数形结合思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由数轴可得，， ∵， ∴数与互为相反数， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：由题意得，， ∴点表示的数为， ∴两点间的距离为； （3）解：由数轴可得，， ∴，， ∴原式 ， ， ． 考点讲练9：绝对值得几何意义 17．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【规范解答】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2) 或； ， 【思路引导】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 考点讲练10：绝对值非负性 19．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)4或2 (3)1 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性．用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个数均为0；数轴上两点的中点可表示为表示这两点的数的和的平均数；表示a和b之间的距离． （1）根据两个非负数的和为0，这两个数均为0解答即可； （2）分别表示出点P和点Q，进而可得它们的中点M，根据的长为1可得t的值； （3）整理的代数式，得到含t的绝对值，根据表示a和b之间的距离求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解：由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为：，点R表示的数为， 点M为的中点， 点M表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：， 又∵表示数轴上表示t的点到3和4的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为1． 20．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 【答案】（）；（）；（）①；② 【思路引导】（）根据非负数的性质解答即可求解； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为，进而由中点公式列出方程即可求解； （）①根据题意即可求解；②由题意可得点对应的数为，点对应的数为，即得，得到式子等于有理数到有理数和的距离之和，可知当时，可知为定值，据此即可求解． 【规范解答】解：（）由题意得，，， ∴，， ∴， 即的中点所对应的数为， 故答案为：； （）由题意得，点对应的数为，点对应的数为， 当的中点所对应的数为时，则， 解得， ∴当时，的中点所对应的数为， （）①由题意得，对应的数为， 故答案为：； ②∵点对应的数为，点对应的数为， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∴， ∴式子等于有理数到有理数和的距离之和， 当时，可知为定值，定值为， ∴存在，使得为定值． 【考点剖析】本题考查了中点坐标公式，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，掌握以上知识点是解题的关键． 考点讲练11：绝对值得其他应用 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查绝对值运算，①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；②根据运算规则，可以一次输入3，6，2，9，可得最大值是8；③根据运算规则，可每四个数输出结果为0，可得最大值为2025． 【规范解答】解：①根据题意可以得出：， 最后输出的结果是2，故①正确； ②对于2，3，6，9，可得：， 全部输入完毕后显示的结果的最大值是8，故②正确； ③依题意，分析可得先每四个数一组，使得输出结果为0， 可以依次输入1，3，4，2；5，7，8，6；9，11，12，10；⋯⋯2021，2023，2024，2022；2025， 根据运算规律可得结果的最大值是2025，故③正确； 所以说法正确的个数是3， 故选：D． 22．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【思路引导】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【规范解答】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 考点讲练12：有理数的大小比较 23．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： .（填“”、“”或“”） 【答案】 【思路引导】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【规范解答】解：，， 故， 故答案为：． 24．（21-22七年级上·广西南宁·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【规范解答】解：A．，故此选项不符合题意； B．，，， ∴，故此选项不符合题意； C．，， ∴，故此选项不符合题意； D．，，， ∴，故此选项符合题意． 故选：D． 考点讲练13：有理数大小比较的实际应用 25．一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【思路引导】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【规范解答】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【考点剖析】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 26．已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 【答案】（1）＜；≥；＜；（2）4b﹣3c． 【思路引导】（1）通过加法、乘法的符号法则，判断a、b的正负，通过绝对值的意义，判断b的正负； （2）根据加法的符号法则，先判断a﹣2b+c、2a+4c、b﹣2c的正负，再根绝绝对值的意义化去绝对值后再计算． 【规范解答】解：（1）因为a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， 所以a＜0，c＜0，b≥0． 故答案为：＜；≥；＜ （2）∵a＜0，c＜0，b≥0． ∴a﹣2b+c＜0，2a+4c＜0，b﹣2c＞0， ∴原式＝﹣（a﹣2b+c）﹣+2（b﹣2c） ＝﹣a+2b﹣c+a+2c+2b﹣4c ＝4b﹣3c． 【考点剖析】本题考查了整式的加减，有理数的加、减、乘法的符号法则，绝对值的意义．解决本题的关键是掌握有理数的加减乘的符号法则． 考点讲练14：有理数加减中的简便运算 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握加法交换律和加法结合律进行计算是解答本题的关键． （1）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （2）化简绝对值，然后利用加法交换律和加法结合律进行计算； （3）利用加法交换律和加法结合律进行计算； （4）利用加法交换律和加法结合律进行计算． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可； （2）根据题意并利用有理数加法交换律和结合律进行计算即可． 【规范解答】（1）解： （2） 考点讲练15：有理数加减中的简便运算的实际应用 29．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）现金业务管理是银行柜员的职责之一，某银行柜员小张在办理业务时，约定存人为正，取出为负，某日他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)为方便办理现金业务，银行会为柜员准备一定金额的备用金，若小张早上领取备用金4000元，那么下班时应交回银行多少元？ (2)若每办一笔业务，银行发给业务员业务金额的作为奖励，则小张这天应得奖金多少元？ 【答案】(1)4400元 (2)7.2元 【思路引导】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义．根据题意，下班时应交回银行的钱数是，再计算即可； （2）奖金等于各数的绝对值的和． 【规范解答】（1）（元）． 答：下班时应交回银行4400元． （2）， 这天小张应得奖金为（元）， 答：这天小张应得奖金为7.2元． 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 【答案】(1)； (2)元． 【思路引导】本题主要考查正负数的实际应用及有理数的混合运算． 首先计算出表格中的和为，再用每天行驶的标准乘以天得到七天的行驶标准为，两数相加求出总路程即可． 利用中的总路程计算出用汽油的总费用和用电的总费用，两数相减即可． 【规范解答】（1）解：由题意得： ， ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了； （2）解： (元)， 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省元． 考点讲练16：有理数乘除的混合运算 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足． (1)_________，_________； (2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ (3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 【答案】(1)；2 (2) (3)4厘米，理由见解析 【思路引导】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数运算的应用等知识． （1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值； （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出3厘米对应的数； （3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再求出M表示的数，从而求得出上的表示的单位长长，然后由“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，可求得数轴上一个单位长度表示的实际长度，进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度． 【规范解答】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：厘米， 刻度“3厘米”所对应数轴上的数是； （3）解：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米，理由如下， 设移动前N表示的数为：n， ∵将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合， ， ∵，a对应的刻度为2.5厘米，b对应的刻度为1厘米， ∴数轴上一个单位长度表示的实际长度为：（厘米）， ∵移动前M的刻度为“厘米”，b表示的数对应的刻度为“1厘米” ∴移动前M表示的数为：， ∴在数轴上表示的单位长度为（个单位长度）， ∴这把刻度尺有刻度一侧的长度为：（厘米）， 答：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米． 32．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘除混合运算．熟练掌握有理数的加法运算，有理数的乘除混合运算是解题的关键． （1）直接进行加法运算即可； （2）先将除法变乘法，然后进行乘法运算即可； （3）先将小数化成分数，然后进行乘除运算，最后进行加法运算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点讲练17：有理数的乘方运算 33．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 34．（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了绝对值、用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，将各数准确表示在数轴上是解题关键． （1）首先化简，然后根据数轴的定义和性质，将各数在数轴上表示出来即可； （2）在数轴上表示的有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，结合数轴比较各数大小即可． 【规范解答】（1）解：， ， 在数轴上表示出来，如图所示； （2）解：由各点在数轴上的位置可知： ． 考点讲练18：有理数乘方的逆运算 35．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2）已知，，则______，______，若，则______，______． 【答案】（1）①相等；②平方相等；（2）；；；； 【思路引导】本题考查了绝对值、平方、相反数，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）①根据绝对值的运算性质即可判断；②根据平方运算的规律，观察得出相应结论； （2）根据（1）中的总结归纳及分类讨论的思想即可求解． 【规范解答】解：（1）∵，；，； ①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②互为相反数的两个数的平方相等； （2），， ∴，， ∵， ∴，． 36．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【思路引导】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 考点讲练19：乘方运算的符号规律问题 37．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【思路引导】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 38．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则______，______，______．（用含的式子表示） 【答案】(1)，， (2) (3)，，． 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，掌握利用数轴上的点表示数是解答本题的关键． （1）利用，得到，，解得，，是最小的正整数，得到． （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，找到其对称点，在找出与点重合的点的数． （3）运动前，、距离为，、距离为，秒钟过后，向左运动的距离为：，向右运动的距离为：，向右运动的距离为：，由此得到、、． 【规范解答】（1）解：由题意知 ， 解得：，， 是最小的正整数， 故答案为：，，． （2）由题意知 若将数轴折叠，使得点与点重合， 点与点的对称点为， ， 若将数轴折叠后，与点重合的点的数为： 故答案为：8 （3）由已知条件，知运动前， 、距离为， 、距离为， 秒钟过后， 向左运动的距离为：， 向右运动的距离为：， 向右运动的距离为：， 故运动后， ， ， ． 故答案为：，，． 考点讲练20：科学计数法表示绝对值大于1的数 39．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将3550000写成其中，n为整数的形式即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 40．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式数据显示，截至年月日，某省新建基站个，基站总数累计达到个，实现了县城以上城区网络全覆盖用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键； 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值即可求解； 【规范解答】解：， 故选：A 考点讲练21：将用科学计数法表示的数变回原数 41．（1）用科学记数法表示下列各数: ①900200        ②11000000        ③－510000. （2）将科学记数法表示的数写为原数: ①6.070×103         ② 6×107          ③ 104 【答案】（1）①9.002×105 ; ②1.1×107 ; ③-5.1×105; （2）①6070 ; ②60000000 ; ③10000. 【思路引导】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数； （2）把科学记数法表示的数a×10n写为原数时，小数点向右移动n位，即可得出原数． 【规范解答】解：（1）①900200 = 9.002×105       ②11000000= 1.1×107        ③－510000=-5.1×105. （2）①6.070×103 =6070        ② 6×107 =60000000          ③ 104=10000 【考点剖析】此题主要考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位． 42．下列说法正确的是（　　　　 ） A．近似数3.9×103精确到十分位 B．按科学记数法表示的数8.04×105其原数是80400 C．把数50430保留2个有效数字得5.0×104 D．用四舍五入得到的近似数8.1780精确到0.001 【答案】C 【思路引导】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字． 注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关． 【规范解答】A、9实际在百位上，应是精确到了百位； B、应小数点向右移动5位，即80 4000； C、正确； D、精确到了0.000 1，错误． 故选C． 【考点剖析】掌握正确的科学记数法；精确到了某一位，即应看这个数字实际在哪一位． 考点讲练22：有理数四则混合运算 43．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 44．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【思路引导】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和顺序是解题的关键．注意应用运算律简便计算． （1）先变形为，再利用加减交换律和结合律计算即可； （2）先计算小括号，再计算中括号，最后计算乘除即可； （3）变形为，再计算括号内的，最后计算乘法即可； （4）先运用乘法分配律计算，再运用加法交换律与结合律简便计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 考点讲练23：有理数四则混合运算的实际应用 45．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 【答案】棵 【思路引导】本题考查小数四则运算的应用，根据题意，这家人使用的家用电器一年排放的二氧化碳量为千克，已知一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克，用除以即可．理解题意，明确题中的数量关系是解题的关键． 【规范解答】解： （棵）， 答：要达到碳中和，这家人要种棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉． 46．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某地气象统计资料表明，海拔每增加，则气温大约升高． (1)某座山相对地面的高度约为，当山脚的地面温度为时，求这座山的山顶的气温； (2)若一座山的山脚的地面温度为，山的某处的气温为，求山的这一处相对于地面的高度． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了有理数混合运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据题意可以列出算式，再计算即可； （2）根据题意可以列出算式，再计算即可． 【规范解答】（1）解：， ∴当山脚的地面温度为时，这座山的山顶的气温是； （2）解：； 答：山的这一处相对于地面的高度是． 考点讲练24：程序流程图与有理数计算 47．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【思路引导】本题考查了程序流程图与有理数混合运算，根据所给数值转换机列式计算即可，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：依题意得： 第一次：， 第二次： ， ∴输出的结果y为， 故选：A． 48．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算； （1）将3代入，根据题中的程序框计算即可； （2）分别将和分别代入计算，即可求解． 【规范解答】（1）解： ∴输出 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 当时， 继续计算： ∴输出 当时， ∴输出 综上所述，，输出结果为或． 考点讲练25：算“24”点 49．（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 【答案】(1)18 (2) (3)1， (4) (5)（答案不唯一） 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，倒数的性质，科学记数法． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据倒数的性质即可确定； （4）根据科学记数法的定义解答即可； （5）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【规范解答】（1）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，则取同号两张卡片， ∴都抽取负数，即卡片是、，乘积的为18，都抽取正数，即卡片是、，乘积的为16， ∴抽取的2张卡片是、，乘积的最大值为18； （2）解：∵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，则选取异号两数， ∴我抽取的2张卡片是、1，商的最小值； （3）解：∵各张卡片的倒数分别为，，，，，0没有倒数， ∴倒数最大是，最小是， ∴我抽取的2张卡片是1、，这两数的倒数分别是1、； （4）解：∵中取出非负数的卡片组成一个最大的数， ∴抽取的卡片是0、2、8、1，最大的数是8210， 用科学记数法表示为：； （5）解：抽取的卡片是、、8、1， 结果为24的算式． 50．（24-25六年级上·山东青岛·期中）从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．小飞抽到的4张扑克牌是：红色Q、黑色Q、红色A和黑色3，将这组扑克牌面上的数字楼成24或的算式是 （写出一个即可）． 【答案】 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 故答案为：． 考点讲练26：含乘方的有理数混合运算 51．（21-22七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 52．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 有理数（章节复习） （知识梳理+26个高频易错考点讲练 共52题） 考点讲练1：正负数的实际应用 4 考点讲练2：带“非”字的有理数 5 考点讲练3：用数轴上的点表示有理数 6 考点讲练4：利用数轴比较有理数的大小 7 考点讲练5：数轴上点的平移（动点问题） 8 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 8 考点讲练7：化简多重复号 8 考点讲练8：相反数的应用 9 考点讲练9：绝对值得几何意义 10 考点讲练10：绝对值非负性 11 考点讲练11：绝对值得其他应用 12 考点讲练12：有理数的大小比较 13 考点讲练13：有理数大小比较的实际应用 13 考点讲练14：有理数加减中的简便运算 13 考点讲练15：有理数加减中的简便运算的实际应用 15 考点讲练16：有理数乘除的混合运算 16 考点讲练17：有理数的乘方运算 16 考点讲练18：有理数乘方的逆运算 18 考点讲练19：乘方运算的符号规律问题 19 考点讲练20：科学计数法表示绝对值大于1的数 20 考点讲练21：将用科学计数法表示的数变回原数 20 考点讲练22：有理数四则混合运算 20 考点讲练23：有理数四则混合运算的实际应用 21 考点讲练24：程序流程图与有理数计算 22 考点讲练25：算“24”点 22 考点讲练26：含乘方的有理数混合运算 23 知识点 重点归纳 常见易错点 正数 负数 正数、负数可以表示生活中具有相反意义的量 通常表示上升、盈利等用正数表示； 通常表示下降、亏损等用负数表示； 这只是一种规定，可以根据实际需要改变 数轴 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度； 2.利用数轴比较两个有理数的大小：左<右 单位长度可以根据实际需要选择 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 4.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即。 1.化简含有字母的绝对值时，要借助分类讨论数学思想，对绝对值内的东西分三种情况讨论，然后利用 将绝对值符号去掉化简； 2.绝对值的几何意义非常重要，要灵活使用这一点解决问题。 3.绝对值的非负性最常见的应用： 由得出 有理数的加法 1. 有理数加法法则：（分类讨论思想） （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 2.加法运算律：(作用：简化计算) 交换律： 结合律： 1.有理数加法法则是最基本的，符号弄错是最常见的错误。 法则理解记忆方法： 可以把两个相加的数想象成打仗时的敌我双方，数的符号表示双方的旗子，数的绝对值代表双方的人数力量。 有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数 将减法转化成加法做，做熟练后就可以不转化了 有理数的乘法 1. 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同0相乘，都得0． 2.有理数乘法运算律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 1.有理数乘法法则简单好记，但写结果时，不要忘记符号，更不要与加法法则符号混淆！ 灵活利用有理数的乘法运算律，可以简化计算，减少计算错误。 有理数的除法 除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。 法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 乘除互为逆运算，可以相互转化 有理数的乘方 1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 即有：. 底数：在中，叫做底数；指数：n叫做指数. 特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即． 3.科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法. 1.乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果． 2.当底数是以下几种情况时，要用括号括起来： 底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。 3.一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写． 4.底数为-1的幂规律要理解记忆，这个最常考。 有理数的混合运算 有理数的混合运算解题步骤： 1.审题：包含哪些运算，能否使用运算律简化运算； 2.计算：按运算律和运算法则进行计算； 3.检查：注意检查符号。 1.有理数的混合运算主要是运算顺序的问题，每一步都要注意查看运算顺序该做哪一步； 2.另外还要注意使用运算法则时的符号问题。 考点讲练1：正负数的实际应用 1．（20-21七年级上·河北沧州·期末）一个水库某天8：00的水位为（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正）．在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.5，，0，；，●（最后一个时刻的水位升降情况被墨水污染），经过6次水位升降后，水库的水位恰好位于警戒线，则被墨水污染的数值是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0 2．（20-21七年级上·贵州贵阳·阶段练习）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0 （1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？ 考点讲练2：带“非”字的有理数 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）把下列各数分别填入相应的集合：，，，，，，，，． 自然数集{ }； 正有理数集{ }； 负有理数集{ }； 非负数集{ }； 整数集{ }； 分数集{ }； 4．（22-23七年级上·四川成都·期中）把下列各数分别填入相应的集合：，0，，，，，，． 正有理数集{ }；  负有理数集{ }； 非负数集{ }；    整数集{ }；               分数集{ }； 考点讲练3：用数轴上的点表示有理数 5．（24-25七年级上·河北邢台·期中）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是，点H表示的数是2． (1)表示原点的是点____________，点E表示的有理数是____________； (2)已知B，C两点间的距离为m，B，D两点间的距离为n．计算B，C，D三点对应的数的和，直接写出的值； (3)已知数轴上有两点M，N，满足点M到点F距离为3，点N到点F的距离为6，则点M，N之间的距离为多少？ 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在数轴上表示下列各数，，0，，．并把它们用“<”连接． 考点讲练4：利用数轴比较有理数的大小 7．（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知有理数． (1)把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． (2)①在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______； ②在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______． 8．（24-25七年级上·海南海口·期中）有理数：、、3.2、0、2、． (1)在下图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来； (3)把这6个数分别填入表示它所在的数集的圈里： (4)这6个数中，绝对值等于它的相反数的数有_____． (5)由（1）可知在数轴上表示这6个数的点中，其中两点之间最大距离是多少？（列式计算） 考点讲练5：数轴上点的平移（动点问题） 9．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在数轴上有三点，请回答下列问题． (1)将点B向左移动4个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (2)将点A向右移动3个单位长度后，点_______所表示的数最小，是_______； (3)将点C向左移动6个单位长度后，点B所表示的数比点C所表示的数大_______； (4)怎样移动中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 10．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 考点讲练6：根据点在数轴上的位置判断式子的正负 11．（23-24七年级上·河北邯郸·期中）点A，B，C在数轴上的位置如图所示． (1)若点A，B，C分别表示有理数a，b，c． ①比较，b，c的大小（用“”连接）； ②比较大小：__________0，__________0（填“”“”或“”）； (2)若有理数m，n，p各自对应着A，B，C三点中的某一点，且，，，那么表示有理数n的为点__________． 12．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 考点讲练7：化简多重复号 13．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）如图所示数轴． (1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数： (2)在数轴上把下列各数分别表示出来：，，； (3)用“”将（1）、（2）中的六个数由小到大连接起来． 14．已知，，的大小关系如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的是 ．（请填写序号） 考点讲练8：相反数的应用 15．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 16．（24-25七年级上·全国·期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： ， ， ； (2)若数轴上有一点表示的数为，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，求点表示的数及两点间的距离； (3)化简：． 考点讲练9：绝对值得几何意义 17．（24-25七年级上·四川乐山·期末）阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值； 的最小值是多少，这时候的取值范围． 考点讲练10：绝对值非负性 19．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 20．（24-25七年级上·福建福州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为． （）在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为______． 【问题探究】 （）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向右运动．设运动时间为秒，求当为何值时，的中点所对应的数为． 【拓展延伸】 （）若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为． ①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为最靠近的等分点，则我们有等分点公式：对应的数为_______． ②在（）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出的范围． 考点讲练11：绝对值得其他应用 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）有一台功能特殊的计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数，只显示不运算，接着再输入整数后则显示的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有下列说法： ①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2； ②若将2，3，6，9这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是8； ③若将1，2，3，…，2025这2025个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是2025．以上说法正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（2023七年级上·四川眉山·竞赛）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 考点讲练12：有理数的大小比较 23．（23-24六年级下·上海闵行·期末）比较大小： .（填“”、“”或“”） 24．（21-22七年级上·广西南宁·阶段练习）下列两数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练13：有理数大小比较的实际应用 25．一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 26．已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 考点讲练14：有理数加减中的简便运算 27．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算． (1)； (2)； (3) ； (4)． 28．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行有理数运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题： 计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是按照我的方法进行解答的过程． 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 小芳：受小军方法的启发，我也有一种方法，解题过程如下． 解：原式 ． 任务：请根据片段中的对话，仿照小军或小芳的方法进行下面的计算． (1)． (2)． 考点讲练15：有理数加减中的简便运算的实际应用 29．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）现金业务管理是银行柜员的职责之一，某银行柜员小张在办理业务时，约定存人为正，取出为负，某日他先后办理了七笔业务：元，元，元，元，元，元，元． (1)为方便办理现金业务，银行会为柜员准备一定金额的备用金，若小张早上领取备用金4000元，那么下班时应交回银行多少元？ (2)若每办一笔业务，银行发给业务员业务金额的作为奖励，则小张这天应得奖金多少元？ 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续七天记录了新车每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原来的汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请计算小明家换成新能源汽车后这七天的行驶费用比使用原来汽油车节省多少钱？ 考点讲练16：有理数乘除的混合运算 31．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足． (1)_________，_________； (2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ (3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 32．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 考点讲练17：有理数的乘方运算 33．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (4) 计算： 34．（24-25七年级上·福建莆田·期中）已知5个数分别为0，，，， (1)将题中5个数在数轴上表示出来； (2)将题中5个数按从小到大的顺序用“”连接起来． 考点讲练18：有理数乘方的逆运算 35．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）善于反思的小聪在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小聪的探究过程． [典例再现]，；，； [总结归纳] （1）观察上述例题，发现结论： ①互为相反数的两个数的绝对值______； ②互为相反数的两个数的______； [知识应用] （2） 已知，，则______，______，若，则______，______． 36．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 考点讲练19：乘方运算的符号规律问题 37．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 38．（23-24七年级上·贵州毕节·期中）如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数______表示的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动．假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则______，______，______．（用含的式子表示） 考点讲练20：科学计数法表示绝对值大于1的数 39．（23-24九年级下·四川绵阳·期中）中国是茶叶的故乡，产量多年位居世界第一，据统计：2023年我国全年茶叶产量为355万吨，将数据3550000用科学记数法表示为 ． 40．（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）的到来不仅仅是上网速度的提升，它与医疗、交通、家居等领域的融合，将推动远程医疗、自动驾驶、智能家居等应用的飞速发展，深刻改变人们的生活方式数据显示，截至年月日，某省新建基站个，基站总数累计达到个，实现了县城以上城区网络全覆盖用科学记数法表示为（   ）． A． B． C． D． 考点讲练21：将用科学计数法表示的数变回原数 41．（1）用科学记数法表示下列各数: ①900200        ②11000000        ③－510000. （2）将科学记数法表示的数写为原数: ①6.070×103         ② 6×107          ③ 104 42．下列说法正确的是（　　　　 ） A．近似数3.9×103精确到十分位 B．按科学记数法表示的数8.04×105其原数是80400 C．把数50430保留2个有效数字得5.0×104 D．用四舍五入得到的近似数8.1780精确到0.001 考点讲练22：有理数四则混合运算 43．（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 (1)； (2)． (3) ； (4)． 44．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）计算： (1) (2) (3) (4) 考点讲练23：有理数四则混合运算的实际应用 45．（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）年中国政府在第七十五届联合国大会上提出，中国争取年前实现碳中和，就是要通过植树等方式，将排放的二氧化碳全部抵消掉． 关于碳排放有以下数据： 一棵中等大小的植物每年吸收二氧化碳千克： 一台电脑每年间接排放二氧化碳千克： 一台洗衣机每年间接排放二氧化碳千克： 一台冰箱每年间接排放二氧化碳千克： 假设某中等城市里的某户人家使用家用电器有：台电脑、台洗衣机、台冰箱． 请回答：要达到碳中和，这家人要种几棵中等大小的植物，才能将这些家用电器间接排放的二氧化碳全部抵消掉？ 46．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某地气象统计资料表明，海拔每增加，则气温大约升高． (1)某座山相对地面的高度约为，当山脚的地面温度为时，求这座山的山顶的气温； (2)若一座山的山脚的地面温度为，山的某处的气温为，求山的这一处相对于地面的高度． 考点讲练24：程序流程图与有理数计算 47．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数x，则可相应的输出一个结果y．若输入x的值为，则输出的结果y为（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 48．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 考点讲练25：算“24”点 49．（23-24七年级下·河北保定·期中）嘉琪有6张写有不同数值的卡片，请按下列要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数乘积最大，最大值是多少？ (2)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数相除的商最小，最小值是多少？ (3)从中取出两张卡片，使这两张卡片上的数的倒数最大和最小，这两数的倒数分别是多少？ (4)从中取出非负数的卡片组成一个最大的数，用科学记数法表示； (5)算24点游戏：从中取出四张卡片，用学过的“、、、”进行运算，使结果为24．写出1个算式即可（运算算式可以加括号）． 50．（24-25六年级上·山东青岛·期中）从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．小飞抽到的4张扑克牌是：红色Q、黑色Q、红色A和黑色3，将这组扑克牌面上的数字楼成24或的算式是 （写出一个即可）． 考点讲练26：含乘方的有理数混合运算 51．（21-22七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (4) (4) 52．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）计算： (1) (2) 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$