第十章 数的开方（举一反三单元测试·培优卷）数学华东师大版2024八年级上册

第十章 数的开方·培优卷 【华东师大版2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·浙江杭州·三模）下列实数中，属于无理数的是 （    ） A． B．0.4 C．0 D． 2．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的立方根是 4．（3分）（2025·河南南阳·模拟预测）如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（3分）的平方根是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 7．（3分）（24-25八年级下·广东韶关·期末）已知，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．6 8．（3分）（24-25七年级下·全国·期中）若，且a，b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（3分）（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 12．（3分）（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 13．（3分）（24-25七年级下·广东汕头·期末）若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是 ． 14．（3分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）代数式的最小值是 ． 15．（3分）（24-25七年级下·云南文山·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 16．（3分）（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 19．（8分）（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 20．（8分）（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 21．（10分）（24-25七年级下·广西南宁·期末）我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 22．（10分）（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 23．（12分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 24．（12分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：____，____． (2)求的值． (3)已知，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 数的开方·培优卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2025·浙江杭州·三模）下列实数中，属于无理数的是 （    ） A． B．0.4 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是指无限不循环小数．根据无理数的定义判断各选项是否为无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是开方不尽的数，无法表示为分数，属于无理数． 选项B：0.4是有限小数，可写为，属于有理数． 选项C：0是整数，属于有理数． 选项D：是整数，属于有理数． 故选：A． 2．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根，算术平方根，平方根的定义及其特性解答即可． 本题考查了立方根，算术平方根，平方根，任意实数都有立方根，非负性有平方根，熟练掌握定义和条件是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 错误，不符合题意；     D. ，正确，符合题意； 故选：D． 3．（3分）（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的算术平方根是 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题考查平方根、算术平方根及立方根的概念． 需逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A．，3的算术平方根是，故A错误； B．负数没有平方根，无平方根，故B错误； C．0的算术平方根是0，故C正确； D．的立方根是，而是的结果，故D错误； 故选：C． 4．（3分）（2025·河南南阳·模拟预测）如图，数轴上可表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据，进而得，再确定的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 所以数轴上可表示的点是B． 故选：B． 5．（3分）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析： 先将原式化简，再根据平方根的定义进行解答即可. 详解： ∵，而的平方根是， ∴的平方根是. 故选D. 点睛：求一个式子的平方根时，需先将原式化简，再求化简所得结果的平方根即可. 6．（3分）（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：， 则， 解得：． 故选：C． 7．（3分）（24-25八年级下·广东韶关·期末）已知，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性． 根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求出a、b的值，再求和即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即， 解得， ∴． 故选：C 8．（3分）（24-25七年级下·全国·期中）若，且a，b互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，相反数的定义，由相反数的定义可得，设，则没有意义，据此可判断A；，，据此可判断B；，据此可判断C；与，据此可判断D． 【详解】解；∵a，b互为相反数， ∴， ∵， ∴可设， A、没有意义，故此选项不符合题意； B、与不互为相反数，故此选项不符合题意； C、与互为相反数，故此选项符合题意 D、与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 9．（3分）（24-25七年级下·四川绵阳·期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是27，则输出的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， 取算术平方根为，是无理数， 符合题意，可以输出， ∴， 故选：B． 10．（3分）（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了实数的性质，求一个数的立方根，倒数和相反数的定义，掌握以上知识是解题的关键，根据求一个数的立方根，倒数和相反数的定义进行求解． 【详解】解：的相反数是； 的倒数是 故答案为：；． 12．（3分）（24-25七年级下·山东德州·期中） ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义及运算，熟练掌握这些数学概念的定义和性质是解题的关键．本题需要分别根据算术平方根、绝对值、乘方、立方根的定义，逐步化简式子中的各项，然后按照运算顺序进行计算． 【详解】解：原式 故答案为： ． 13．（3分）（24-25七年级下·广东汕头·期末）若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义和性质，即可得出这个数，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义和性质，知道的平方根与它的立方根相等． 【详解】解：由题意，一个数的平方根与它的立方根相等， 则这个数为：． 故答案为：． 14．（3分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）代数式的最小值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴代数式的最小值是0； 故答案为：0． 15．（3分）（24-25七年级下·云南文山·期末）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算， 根据新定义代入，先计算算术平方根，再计算加法即可． 【详解】解：∵对于任意正实数，都有， ∴， 故答案为：15 16．（3分）（23-24七年级下·广西河池·期末）将实数按如图方式进行有规律排列，则第19行的第37个数是 ． 【答案】19 【分析】本题考查实数数字类规律，从题中实数的排列方式中找到规律是解决问题的关键．根据题中所给的实数排列方式，找到规律求解即可得到答案． 【详解】解：将实数按如图方式进行有规律排列，观察发现，具有如下规律： ①第行有个数； ②每行最后一个数字的绝对值等于行数； ③奇数行的最后一个为正； ④偶数行的最后一个为负； ∴第19行有个数， ∴根据如上规律可知，第19行的第37个数是19． 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 18．（6分）（24-25七年级下·广东广州·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 (1)求x与a的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)x的值为1，a的值为36 (2)3 【分析】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； （2）根据立方根的定义求的立方根即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， ， 即x的值为1，a的值为36； （2）解：， 的立方根为． 19．（8分）（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 20．（8分）（24-25七年级下·河南许昌·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)人教版七年级数学教材第59页，我国著名数学家华罗庚计算立方根的方法给小明了一些启示，小明是这样试求出19683的立方根的：先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，由，猜想19683的立方根的十位数是 ，验证得19683的立方根是 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①= ． ②= ． 【答案】(1)2，27 (2)①；② 【分析】本题考查了数的立方根的估算，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键 （1）观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可； （2）根据（2）中的方法先进行猜想，然后进行验证即可 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， ∴19683的立方根是27； 故答案为2，27； （2）解：①∵的个位数是，而，末位数为 ， ∴猜想的立方根的个位数为． 又， ，且 ． ∴猜想的立方根的十位数为7， 验证： ． ∴ ． ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 21．（10分）（24-25七年级下·广西南宁·期末）我们已经学习了平方根和立方根．若，则叫的二次方根（平方根），可表示为．若，则叫的三次方根（立方根），可表示为．平方根具有性质如：正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．请阅读材料，观察下表，类比上述的定义和性质完成以下问题： … 1 16 81 … … … 【定义】（1）若，则叫的________①_________，可表示为______②______； 【性质】（2）请概括①的性质； 【应用】（3）若，直接写出的值： 【拓展】（4）解方程：． 【答案】（1）①四次方根；②；（2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解平方根和立方根定义． （1）类别平方根和立方根定义进行求解即可； （2）仿照平方根的性质进行概括即可； （3）根据四次方根定义进行求解即可； （4）利用四次方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）根据表格可知：若，则叫的四次方根，可表示为； （2）正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根； （3）若，则； （4）， ∴， ∴， ∴． 22．（10分）（24-25七年级下·江西上饶·阶段练习）根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 (1)______，______，______； (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数有______个． 【答案】(1)15.6；154；0.152 (2)158， (3)306 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律． （1）根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； （2）先将进行变形，再根据表格中的数据确定其接近的整数；对于，可根据算术平方根的小数点移动规律进行求解； （3）先对两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数． 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ； ， ． 故答案为：15.6；154；0.152； （2）解： ， 又 ，， 与158最接近； ， ． （3）解：对两边同时平方可得， 计算可得， 的取值范围是， 则满足条件的整数的个数为个． 故答案为：306． 23．（12分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 24．（12分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务． 若任意一个实数设为，则不大于的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．由此善思小组得出结论：若为正整数，则． 任务： (1)填空：____，____． (2)求的值． (3)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，立方根与平方根的定义，理解新定义是解题的关键； （1）根据定义，直接可得到答案； （2）仿照例题求解，估算的大小，结合定义，即可求解； （3）根据进行化简，即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，． （2）解：， ． ． ． （3）根据材料，得 ． ． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$