精品解析：湖北省武汉市江汉区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题

2024~2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 乘坐飞机时的安全检查． B. 调查某批次汽车的抗撞击能力． C. 调查某省中学生爱好足球的情况． D. 调查某市居民每天丢弃塑料袋数量情况． 3. 如图，从位置到笔直公路共有四条小道，用同样速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线． B. 垂线段最短． C 两点之间，线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为了探究武汉2025年上半年白昼时长的变化规律，收集到1月5日至6月21日部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时间武汉白昼时长的变化趋势，估计4月20日的白昼时长约是（ ） A. 672分钟 B. 702分钟 C. 732分钟 D. 762分钟 7. 下列计算正确的是（　　） A. ＝±4 B. ＝﹣4 C. ＝﹣ D. ＝x 8. 一组数据中，最大数是182，最小数是151，取组距为4，则可以将数据分成（ ） A. 10组 B. 9组 C. 8组 D. 7组 9. 《算法统宗》中有这样一道题：若干位客人一起分银子，若每人7两，还剩4两，若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？客人有多少位？设银子共有两，客人有位，可列方程组是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数______ 12. “与5的和是正数”，用不等式表示是_________． 13. 如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸，则长度l的取值范围是______________． 14. 已知方程组的解满足，则=______． 15. 一种李子的进价是每千克元，销售中估计有的李子正常损耗，商家把售价至少定为_________元，才能避免亏本． 16. 在平面直角坐标系中，点，轴，且，则点的坐标是_________． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. （1）计算：； （2）解方程组： 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 某校为了解七年级学生参加暑期社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图： 时间 频数 百分比 2 4 6 12 28 18 10 20 请根据以上所给信息，解答下列问题： （1）__________，__________，并补全频数分布直方图； （2）若将调查结果绘制成扇形统计图，则时间在“”的扇形的圆心角度数是__________； （3）已知该校七年级共有1500名学生，请估计该年级学生参加暑期社会实践活动时间不低于的大约有多少人？ 20. 如图，分别是三角形边上的点，连接，在上，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中都是格点．已知，三角形沿某一直线方向平移得到三角形，点对应点，点对应点，三角形中任意一点平移后的对应点． （1）画出平面直角坐标系并写出点的坐标； （2）画出三角形并写出平移过程中线段扫过的面积； （3）已知三角形与三角形的面积相等，（不与重合），则在网格中满足条件的格点共有__________个． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 按照如下程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是__________． 23. 在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为16和13，已知，则的值是__________． 24. 如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 25. 已知关于，方程组，下列结论： ①若，则方程组的解是； ②无论为何值，的值始终不变； ③方程组有3组正整数解； ④若，，则的取值范围是． 其中正确的是__________（填序号）． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 某企业为实现碳中和目标，计划投入资金用于技术升级与植树造林．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放量3吨，植树造林每投入1万元可吸收碳排放量2吨，且两种措施的单次投入金额均为整数万元． （1）某企业第一次总投入10万元，通过两种措施共实现碳排放量净减少28吨（减少量吸收量净减少量），求该企业此次技术升级和植树造林分别投入了多少万元？ （2）某企业计划第二次投入资金，此次总投入不超过42万元，要求技术升级投入资金不低于植树造林投入资金的一半，技术升级减少的碳排放量要比植树造林吸收的碳排放量少8吨，则有哪几种投资方案？ 27. 我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． （1）直接写出的值； （2）已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； （3）点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． （1）直接写出点的坐标； （2）点在直线上， ①若三角形的面积是4，求点的坐标； ②直线与轴交点，若三角形的面积与三角形面积的差大于2，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 第Ⅰ卷（本卷满分100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 下列各数中，无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义即无限不循环小数判断即可． 【详解】解：选项A：是整数，属于有理数． 选项B：是整数，属于有理数． 选项C：是整数，属于有理数． 选项D：，因为本身是无理数（无法表示为分数且小数无限不循环），其负数形式仍为无理数． 故选：D 2. 下列调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 乘坐飞机时的安全检查． B. 调查某批次汽车的抗撞击能力． C. 调查某省中学生爱好足球的情况． D. 调查某市居民每天丢弃塑料袋数量的情况． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断全面调查与抽样调查，全面调查（普查）适用于数据要求精确、个体数量较少或必须逐一检查的情况，需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：选项A：乘坐飞机时的安全检查必须对每位乘客进行检查，确保无一遗漏，否则存在安全隐患．因此必须进行全面调查． 选项B：汽车抗撞击能力测试具有破坏性，若对整批汽车逐一测试会导致资源浪费，故采用抽样调查． 选项C：某省中学生数量庞大，全面调查成本过高，通常通过抽样调查获取数据． 选项D：某市居民数量多，全面统计丢弃塑料袋数量不现实，需通过抽样估算总体情况． 故选：A 3. 如图，从位置到笔直公路共有四条小道，用同样的速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线． B. 垂线段最短． C. 两点之间，线段最短 D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可． 【详解】解：用同样的速度行走，选择道路耗时最少，用到的数学知识是垂线段最短．3 故选：B． 4. 把不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可． 【详解】解： 将不等式移项得：， 合并同类项得：， 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：B． 5. 如图，直线，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平角的定义，求出的度数，再根据平行线的性质得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 6. 为了探究武汉2025年上半年白昼时长的变化规律，收集到1月5日至6月21日部分日期的白昼时长数据，绘制出如图所示的散点图，用趋势图描述这段时间武汉白昼时长的变化趋势，估计4月20日的白昼时长约是（ ） A. 672分钟 B. 702分钟 C. 732分钟 D. 762分钟 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查散点图，根据图中信息，估计4月20日的白昼时长，即可求解． 【详解】解：根据图中信息可得月1日和5月1日的白昼时长，估计4月20日的白昼时长在至分钟之间， 故选：C． 7. 下列计算正确的是（　　） A. ＝±4 B. ＝﹣4 C. ＝﹣ D. ＝x 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念、立方根的概念、二次根式的性质计算，判断即可． 【详解】解：A、，本选项计算错误； B、，本选项计算错误； C、，本选项计算正确； D、，本选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根的求法、立方根的求法等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8. 一组数据中，最大数是182，最小数是151，取组距为4，则可以将数据分成（ ） A. 10组 B. 9组 C. 8组 D. 7组 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查确定频数分布表中的组数，熟知确定组距的方法步骤是解答的关键．先求得极差，再根据极差和组距计算分组数，需向上取整确保覆盖所有数据． 【详解】解：1．计算极差：最大值182减去最小值151，得极差为； 2． 确定组数：将极差除以组距4，得到，由于分组数必须为整数，需向上取整为8； 3．验证分组范围：起始点为151，每组的区间为左闭右开，第8组的范围为到，即，最大值182包含在此区间内， 综上，数据可分成8组， 故选：C． 9. 《算法统宗》中有这样一道题：若干位客人一起分银子，若每人7两，还剩4两，若每人9两，还差8两．问银子共有多少两？客人有多少位？设银子共有两，客人有位，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了列二元一次方程组，根据题意，分别建立两种情况下的方程，联立方程组即可． 【详解】解：设银子共有两，客人有位， 根据题意得，． 故选：B． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意； B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意； C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意； D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 的相反数______ 【答案】 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可求解． 【详解】的相反数是． 故答案为． 【点睛】本题考查了相反数的性质，是基础题，需要熟练掌握． 12. “与5的和是正数”，用不等式表示是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，应着重理解正数的含义．正数意思大于0，据此列不等式即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 13. 如图是某机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸，则长度l的取值范围是______________． 【答案】39.8≤l≤40.2 【解析】 【详解】解：从图上可以看出：合格尺寸最小应是40-0.2=39.8；最大应是40+0.2=40.2．故39.8≤l≤40.2．故选C． 14. 已知方程组的解满足，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，观察方程组，可知，继而可得关于的方程，解方程即可． 【详解】， ，得， 由， 得， 解得， 故答案为：． 15. 一种李子的进价是每千克元，销售中估计有的李子正常损耗，商家把售价至少定为_________元，才能避免亏本． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设商家应把售价定为每千克元，根据题意列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：设商家应把售价定为每千克元， 由题意可得， 解得， ∴商家把售价至少定为元，才能避免亏本， 故答案为：． 16. 在平面直角坐标系中，点，轴，且，则点的坐标是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，两点间的距离为纵坐标的差值的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且， ∴或， 即：或； 故答案为：或． 三、解答题（共5小题，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查解二元一次方程组，以及实数的运算，解决本题的关键是正确应用解方程组时的消元的思想及实数的运算法则． （1）原式先计算算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可求解； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ②，得③， ①③，得，解得， 把代入②，得， 所以这个方程组的解是． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴上表示见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示为 19. 某校为了解七年级学生参加暑期社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图： 时间 频数 百分比 2 4 6 12 28 18 10 20 请根据以上所给信息，解答下列问题： （1）__________，__________，并补全频数分布直方图； （2）若将调查结果绘制成扇形统计图，则时间在“”的扇形的圆心角度数是__________； （3）已知该校七年级共有1500名学生，请估计该年级学生参加暑期社会实践活动的时间不低于的大约有多少人？ 【答案】（1）14，36，补全频数分布直方图 （2） （3）时间不低于的大约有840人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，用样本估计总体，求扇形统计图的圆心角，正确理解题意是解题的关键． （1）先由这一组的频数以及百分比求总数，再由总数乘以这一组的百分比即可求解，由这一组的频数除以总数即可求解百分比；然后再补全分布直方图； （2）用乘以对应的百分比即可； （3）用1500乘以后两组的百分比的和即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， 故答案为：14，36； 补全频数分布直方图： 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：时间不低于的大约有840人． 20. 如图，分别是三角形边上的点，连接，在上，． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）利用平行线的性质得到，等量代换得到，即可得到； （2）求出，根据平分线得到，则，由即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中都是格点．已知，三角形沿某一直线方向平移得到三角形，点对应点，点对应点，三角形中任意一点平移后的对应点． （1）画出平面直角坐标系并写出点的坐标； （2）画出三角形并写出平移过程中线段扫过的面积； （3）已知三角形与三角形的面积相等，（不与重合），则在网格中满足条件的格点共有__________个． 【答案】（1） （2）图见解析， （3）9 【解析】 【分析】此题考查坐标系中图形的平移，点的平移、网格中的面积等知识，熟练掌握平移的作图和性质是关键． （1）画出平面直角坐标系即可得到答案； （2）找到平移方式，再作图和求面积即可； （3）分两种情况作的平行线，即可得到答案． 【小问1详解】 解：画出平面直角坐标系如图，则； 【小问2详解】 ∵三角形中任意一点平移后的对应点 ∴三角形是由三角形向右平移5个单位，向上平移3个单位得到， 如图，三角形即为所求， 平移过程中线段扫过的面积为 【小问3详解】 过点C作的平行线，所经过的格点分别即为， 则点均满足需要， 过格点作的平行线，所经过的格点分别即为，则也满足要求， ∴在网格中满足条件的格点共有9个． 第Ⅱ卷（本卷满分50分） 四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置． 22. 按照如下程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解，理解题意，正确列出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 23. 在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为16和13，已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法计算即可得解，熟练掌握加减消元法是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 由可得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 如图，，分别平分和，若，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 25. 已知关于，的方程组，下列结论： ①若，则方程组的解是； ②无论为何值，的值始终不变； ③方程组有3组正整数解； ④若，，则的取值范围是． 其中正确的是__________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，当时，原方程组为，计算即可判断①；解方程组可得，计算出的值即可判断②；求出，结合题意可得或，即可判断③；求出，，由此即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①当时，原方程组为，解得，故①正确； ②解方程组可得，故，即无论为何值，的值始终不变，故②正确； ③由题意可得且，故且，解得， ∵和为整数， ∴或，对应的加为或，仅组整数解，故③错误； ④∵， ∴， 解得， ∴， ∴的取值范围是，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 五、解答题（共3小题，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 26. 某企业为实现碳中和目标，计划投入资金用于技术升级与植树造林．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放量3吨，植树造林每投入1万元可吸收碳排放量2吨，且两种措施的单次投入金额均为整数万元． （1）某企业第一次总投入10万元，通过两种措施共实现碳排放量净减少28吨（减少量吸收量净减少量），求该企业此次技术升级和植树造林分别投入了多少万元？ （2）某企业计划第二次投入资金，此次总投入不超过42万元，要求技术升级投入资金不低于植树造林投入资金的一半，技术升级减少的碳排放量要比植树造林吸收的碳排放量少8吨，则有哪几种投资方案？ 【答案】（1）技术升级投入8万元，植树造林投入2万元 （2）有4种方案，分别为①技术升级投入8万元，植树造林投入16万元；②技术升级投入10万元，植树造林投入19万元；③技术升级投入12万元，植树造林投入22万元；④技术升级投入14万元，植树造林投入25万元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程与不等式组是解此题的关键． （1）设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设技术升级投入万元，则植树造林投入万元，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【小问1详解】 解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元． 由题意可得：， 解得； 答：技术升级投入8万元，植树造林投入2万元． 【小问2详解】 解：设技术升级投入万元，则植树造林投入万元． 由题意可得：， 解得， 因为，是整数 所以，，，，，，，． 故共有种方案：①技术升级投入8万元，植树造林投入16万元；②技术升级投入10万元，植树造林投入19万元；③技术升级投入12万元，植树造林投入22万元；④技术升级投入14万元，植树造林投入25万元． 27. 我们定义一种新的“坐标变换规则”：在平面直角坐标系中，点经过“▲”变换后得到点，其中为常数．同时定义“和谐点判定”：对于点，若满足（为常数），则称点为关于的“和谐点”；若，则称点为关于的“非和谐点”．已知点经过“▲”变换后得到，点经过“▲”变换后得到． （1）直接写出的值； （2）已知点和经过“▲”变换后分别得到和，若点和中至少有一个是关于的“非和谐点”，求的取值范围； （3）点在第二象限，经过“▲”变换后得到的是关于的“和谐点”，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新的“坐标变换规则”列出方程组，即可求解； （2）根据新的“坐标变换规则”，可得，然后根据“非和谐点”的定义，即可求解； （3）根据新的“坐标变换规则”，可得，再由“和谐点”的定义，可得，然后结合点在第二象限，，可得，从而得到关于y的不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： 和， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ， ∴， 当是关于的“非和谐点”时，， 当是关于的“非和谐点”时，， ∵点和中至少有一个是关于的“非和谐点”， ∴的取值范围为； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ∵是关于的“和谐点”， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式组的应用，坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 28. 如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． （1）直接写出点的坐标； （2）点在直线上， ①若三角形面积是4，求点的坐标； ②直线与轴交点，若三角形的面积与三角形面积的差大于2，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①或；②或且 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、二元一次方程组、三角形的面积、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）分别将、代入直线、即可求得、，然后联立两直线得到二元一次方程组求解可得点B坐标； （2）①用x表示y可得，设D的坐标为，然后根据三角形的面积是4，最后列绝对值方程求解即可；②如图：延长交y轴于，连接，过B作，先求得，然后根据点E的不同位置分情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，，解得：，即； ∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时，，解得：，即； 联立，解得：，即． 综上，． 【小问2详解】 解：①直线是二元一次方程的图象，即， 设D的坐标为 ， ∵三角形的面积是4， ∴，即，解得：或1， ∴或， ∴或； ②如图：当点E在点C上方时，延长交y轴于，连接，过B作， ∵， ∴， ∴， 当点E在点C上方时，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：； 当时，点E在直线上，即点D在直线上，此时A、B、D共线，不能构成三角形，不符合题意； ∴且； 如图：当点E在点C下方时，过A作的平行线交y与F，过A作轴交于点G，则点D的横坐标为4， ∴把代入可得：，解得：，即， ∵， ∴直线向下平移个单位得到直线， ∴，即， 如图：当点E在线段上时，点D在二、三象限，即时，显然，不符合题意； 如图：当点E在F的下方时，即，延长交y轴于，过B作，则 ∴， ∴恒成立，即时，三角形的面积与三角形面积的差大于2恒成立． 综上，当或且时，三角形的面积与三角形面积的差大于2恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $